3.2.
Крутильный баллистический маятник
Баллистическим маятником называют тяжелое тело, подвешенное на длинной проволоке (нити). Крутильный баллистический маятник – это маятник, совершающий повороты вокруг неподвижной оси то в одну, то в другую сторону.
Крутильный баллистический маятник совершает гармонические колебания при малых углах поворота ϕ, если действующий на него вращающий момент M пропорционален углу поворота
M
D
= − ϕ
,
(1) где D – коэффициент, называемый модулем кручения проволоки
(коэффициентом момента упругих сил или коэффициентом упругости при крутильных колебаниях).
Величина D зависит от длины проволоки, ее диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства материала проволоки.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
M
J
= ε
,
(2) где J – момент инерции тела относительно оси вращения; ε – угловое ускорение, равное второй производной угла поворота φ по времени
2 2
(
)
d
dt
ϕ
ε =
= ϕ
172
Из (1) и (2) получаем
2 2
0.
d
D
J
dt
ϕ
+
ϕ =
Обозначим
2 0
D
J
ω =
2 2
0 2
0
d
dt
ϕ
+ ω ϕ =
(3)
ω
0
– собственная частота колебаний маятника.
Решением уравнения (3) является функция φ(t)
(
)
0 0
cos
t
ϕ=ϕ
ω + α
так как период колебаний связан с частотой соотношением
0 2
T
π
=
ω
Получаем, что модуль кручения можно определить зная период Т
2 2
4
D
J
T
π
=
(4)
Представим маятник в виде подвешенного на проволоке стержня с магнитными мишенями на его концах (рис. 3).
Пуля массы п
m
, летящая горизонтально со скоростью
υ
перпендикулярно к стержню, обладает импульсом п
p
m
υ
=
. Попав в мишень, пуля начинает двигаться по окружности радиуса r . Момент
Рис. 3.
Стержень с мишенями
173
импульса пули относительно оси вращения маятника перед столкновением с мишенью равен п
Lp rmrυ= ⋅ =
⋅ ⋅
Пуля, попав в мишень, останавливается в ней и начинает двигаться с маятником как одно целое. Согласно закону сохранения момента импульса п
mrJυ= ω,
(5) где
J – момент инерции маятника с пулей относительно оси вращения маятника; ω – угловая скорость маятника;
Jω – момент импульса маятника с пулей;
r – расстояние от линии,
вдоль которой движется пуля, до оси вращения маятника.
Момент инерции маятника (
м
J), используемого в данной работе, складывается из момента инерции стационарной части маятника
J0
(проволоки, стержней, мишеней) и момента инерции двух перемещаемых грузов
2
м
0
гр
2
JJm R=
+
, где
R – расстояние от грузов до оси вращения;
mгр
– масса каждого из грузов.
Момент инерции пули
2
п п
Jm r=
Момент инерции маятника с пулей равен м
п
JJJ=
+
2 2
0
гр п
2
Jm Rm r=
+
+
(6)
Упругая сила, возникающая в проволоке при ее закручивании
(повороте), будет противодействовать вращению маятника. Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия маятника (энергия вращательного движения) после взаимодействия с пулей равна потенциальной энергии проволоки при ее закручивании
2 2
2 2
JDω
ϕ
=
,
(7) где φ – угол поворота маятника.
Решая совместно уравнения (5) и (7) получим п
JDm rυϕ
=
(8)
174
С учетом (4) уравнение (8) запишем в виде п
2
J
m r
Т
υ
πϕ
=
(9)
Из уравнения (4) следует
2 2
4
J
T
D
= π
2 2
0
гр п
2 2
4
J
m
R
m r
D
+
+
= π
(10)
Для двух разных положений грузов можно записать
2 1
T
2 2
0
гр 1
п
2 2
4
J
m R
m r
D
+
+
= π
2 2
T
2 2
0
гр 2
п
2 2
4
J
m R
m r
D
+
+
= π
(11)
Из уравнений (11) следует, что
2 2
2 2
гр 1 2 2 1 2
0
п
2 2
2 1
2
(
)
m
T R
T R
J
m r
T
T
−
=
−
−
(12)
После подстановки (12) в (6) уравнение (9) можно записать в виде
2 2
2 2
гр 1 2 2 1 2
1
гр 1 2
2
п 1
п 1 2
1 2
(
)
2 2
2
m
Т R
Т R
J
m R
m rT
m rT
Т
Т
υ
−
πϕ
πϕ
=
=
+
−
или
2 2
гр
1 2
1 2
2
п
2 1
4
(
)
(
)
m
T R
R
m r T
T
υ
π
ϕ
−
=
−
(13)
4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Общий вид лабораторной установки приведен на рис. 4.
Установка представляет собой горизонтальное основание 1, опирающееся на три ножки регулируемой высоты. На основании установлена вертикальная стойка 2 с горизонтальными кронштей- нами 3, 4, 5. На кронштейне 3 укреплена рамка фотодатчика 6.
К кронштейнам 4, 5 на проволоке крепится рамка крутильного баллистического маятника 7. На рамке закреплены подвижные грузы
(8) с помощью резьбовой оси 9 и мишени 10 на оси 11. Отклонение
175
рамки фиксируется с помощью круговой шкалы 12 на горизонтальной платформе 13 и указателя 14, жестко закрепленного на рамке. На пластине 13 установлена катапульта 15, запускающая в маятник пулю. Катапульта должна быть установлена перпенди- кулярно к плоскости рамки маятника и направлена в центр мишени с прикрепленным к ней магнитом. Перед началом работы установку необходимо выровнять в горизонтальной плоскости, используя регулировочные ножки, и подключить к фотодатчику электронный секундомер (16).
Внимание: подключение производить только при отключенном питании электронного секундомера.
Рис.
4.
Унифилярный подвес
176
5. ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1.
Не загромождать рабочее место посторонними предметами
(одеждой, сумками и т.д.).
2. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и оборудованием.
3.
На стреляющем устройстве пулю располагайте строго в направляющем стержне, чтобы она не попала в прозрачную шкалу или в аудиторию.
4.
По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Отключите секундомер.
6. ЗАДАНИЕ
Определение скорости полета пули по измерению периода колебаний и угла поворота крутильного баллистического маятника.
7. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
1.
Подвижные грузы на верхнем горизонтальном стержне маятника максимально приблизить друг к другу (R
1
= R
min
).
Измерить расстояние R
1
между центрами грузов и осью колебания маятника.
2.
Установить катапульту с пулей перпендикулярно плоскости мишени.
3.
В центр мишени со стороны пули прикрепить магнитную пластину.
4.
Взвести механизм, сдвинув катапульту до упора и закрепив специальным рычагом.
5.
Перевести тумблер на задней панели секундомера из положения «Off» в положение «On».
6.
На секундомере с помощью кнопок «+» и «-» выставить требуемое количество колебаний (N=10).
7.
Произвести выстрел.
8.
Определить угол ϕ наибольшего отклонения стрелки маятника по шкале и время 10 колебаний маятника.
9.
Измерить расстояние r между осью колебаний маятника и местом попадания пули на мишень.
10.
Измерения повторить еще 2 раза. По среднему значению времени вычислить период Т
1 колебаний маятника.
11.
Используя измеренные значения ϕ и r, найти их средние значения ϕ
ср и r
ср
177
12.
Максимально отдалить грузы на верхнем горизонтальном стержне друг от друга и измерить расстояние между центрами грузов и осью маятника (R
2
= R
max
).
13.
Прикрепить пулю к магнитной пластине на мишени на расстоянии r
ср от оси колебания маятника.
14.
Отклонить маятник на угол ϕ
ср и измерить секундомером время N=10 колебаний маятника.
15.
Измерения повторить еще 2 раза. По среднему значению времени вычислить период Т
2 колебаний маятника.
16.
По формуле (13) вычислить скорость полета пули, приняв массу пули m
п
=(10,4
± 0,1) г. На верхнем горизонтальном стержне крепятся четыре диска (по два диска вместе с каждой стороны от оси вращения). Масса одного диска m
диска
=(55,0
±
0,5) г. Поэтому массу груза принять равной m
гр
=(111
±
1) г. При расчетах угол ϕ
ср выразить в радианах.
17.
Все результаты измерений и вычислений занести в табл. 1 18.
Рассчитать погрешности определения скорости полета пули.
19.
Окончательный результат записать в виде
(
)
ср м с
/
υ = υ ± ∆ υ
ср
100%
∆ υ
ε =
υ
Таблица 1
№ измер
ϕ
ср
, град
r
ср
, м n
1
t
1
, с t
1 ср
, с T
1
, с
n
2
t
2
, с t
2 ср
, с T
2
, с
1 2
3
Контрольные вопросы
1.
Какой маятник называется крутильным баллистическим маятником?
2.
Как изменится момент инерции и период колебаний крутильного баллистического маятника, если увеличить массу грузов, не передвигая их? Передвинуть грузы ближе к оси, не изменяя их массы?
178
3.
Что называется моментом импульса материальной точки
(твердого тела) относительно неподвижной оси?
4.
Как определяется направление вектора момента импульса?
5.
Как формулируется закон сохранения момента импульса?
6.
Как записывается закон сохранения момента импульса для системы пуля – маятник? Раскройте физический смысл величин, входящих в уравнение.
7.
Как формулируется закон сохранения механической энергии?
8.
Какие силы называют консервативными? Какие силы называют диссипативными?
9.
Как записывается закон сохранения механической энергии для системы маятник – упругая проволока? Раскройте физический смысл величин, входящих в уравнение.
Требования к содержанию и оформлению отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Номер, название и цель лабораторной работы.
2.
Теоретические основы использования колебаний крутильного баллистического маятника для определения скорости полета пули.
3.
Таблицу с результатами измерений и вычислений.
4.
Расчет погрешности измерения скорости полета пули.
5.
Вывод по работе.
Критерии результативности выполнения лабораторной работы Лабораторная работа считается выполненной, если студент:
– усвоил понятия момента импульса, энергии, а также законы сохранения импульса и энергии;
– овладел знанием теоретических основ экспериментального определения скорости пули с помощью крутильного баллистического маятника;
–
правильно выполнил измерения и расчеты;
– оформил отчет в соответствии с предъявляемыми требованиями;
– дал исчерпывающие ответы на все контрольные вопросы.
Список литературы 1.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. – СПб.: Издательство «Лань», 2018.
2.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academia, 2015.
3.
Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Академия, 2016.
179
Лабораторная работа № 107
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
И ЭНЕРГИИ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ КАРЕТОК
ФЛЕТЧЕРА С ПОМОЩЬЮ УСТРОЙСТВА CASSY
1.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определение коэффициентов восстановления скорости и энергии при центральном ударе двух кареток.
2.
ЗАДАЧИ
1.
Закрепление теоретических знаний по теме «Законы сохранения в механике».
2.
Приобретение навыков проведения физических измерений, умения обработки полученных экспериментальных данных.
3.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3.1.
Импульс. Энергия. Законы сохранения
Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называют
механической системой (системой). Систему тел, взаимодей- ствующих между собой и не взаимодействующих с телами, не входящими в данную систему, называют замкнутой.
Векторную величину, равную произведению массы тела m на его скорость
υ
, называют импульсом тела
p m
υ
=
Закон сохранения импульса гласит, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, суммарный импульс тел системы остается неизменным
1
const
n
i
i
i
р
m
υ
=
=
=
∑
Одной из количественных мер движения и взаимодействия материи является энергия. В соответствии с различными формами движения материи выделяют разные виды энергии: механическую, внутреннюю, ядерную и другие. Под полной механической энергией понимают сумму кинетической и потенциальной энергии.
Кинетическая энергия тела обусловлена его движением и зависит только от массы и скорости тела. Кинетическая энергия тела равна работе, которую способно совершить тело в процессе уменьшения
180
своей скорости до нуля. Кинетическая энергия системы
равна сумме кинетических энергий тел, входящих в эту систему.
Потенциальная энергия определяется взаимным расположением тел и их частей и характером взаимодействия между ними.
Согласно
закону сохранения энергии, полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют лишь консервативные силы, остается постоянной. Силу называют консервативной, если работа, совершаемая этой силой, зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит от траектории, по которой оно двигалось. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такую силу называют диссипативной (или неконсерва- тивной). Если в системе тел действуют
диссипативные силы (например, силы трения, силы сопротивления), то для таких систем закон сохранения механической энергии не выполняется.
3.2. Соударение тел В механике под
ударом (
соударением) понимают кратковре- менное взаимодействие двух или более тел, возникающее в результате их соприкосновения. Различают три вида удара: абсолютно упругий, абсолютно неупругий, неупругий удар.
Абсолютно упругим называют удар, при котором механическая энергия не переходит в немеханические виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга, и разлетаются со скоростями, модуль и направление которых определяются законом сохранения импульса и законом сохранения механической энергии. Идеально упругих ударов в природе не существует, так как всегда часть энергии затрачивается на необратимую деформацию тел и увеличение их внутренней энергии.
Однако, для некоторых тел, например, стальных шаров, потерями механической энергии можно пренебречь вследствие их малости.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что
потенциальной энергии деформации не возникает, кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию тел. Столкнувшиеся тела после удара либо движутся вместе
181
с одинаковой скоростью, либо покоятся. Примером такого удара служит удар шаров, изготовленных из пластилина. При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения суммарного импульса тел, а закон сохранения механической энергии не выполняется.
При неупругом ударе часть кинетической энергии упругой деформации переходит в кинетическую энергию теплового движения молекул.
В реальности все удары являются либо абсолютно, либо частично неупругими.
3.3.
Центральный удар
Рассмотрим две каретки, движущиеся навстречу друг другу со скоростями
υ
1
и
υ
2
(рис. 1).
Если каретки после удара движутся отдельно друг от друга со скоростями
1
υ
′
и
2
υ
′
, по закону сохранения импульса
1 1 2
2
m
m
υ
υ
+
=
1 1 2
2
m
m
υ
υ
′
′
+
(1)
Если после удара каретки движутся вместе как одно целое, то закон сохранения импульса запишется как
1 1 2
2
m
m
υ
υ
+
=
1 2
(
)
m
m
υ
+
,
(2) где
υ
– скорость тел после удара.
Различают две характеристики соударения – коэффициент восстановления скорости и коэффициент восстановления энергии.
Коэффициент восстановления скорости К
С
определяется как отношение относительной скорости тел после удара к относительной скорости тел до удара отн
2 1
C
отн
2 1
K
υ
υ υ
υ
υ υ
′
′
′
−
=
=
−
(3)
Для абсолютно упругого удара К
С
=
1. При абсолютно неупругом ударе К
С
=
0. В случае столкновения реальных тел
Каретка 1
Каретка 2
Рис. 1. Движение кареток
182
столкновение не является абсолютно упругим, поэтому
КС
< 1.
Теория и
опыт показывают, что коэффициент восстановления скорости не зависит от масс и относительной скорости соударяющихся тел. Он зависит только от материала, из которого изготовлены соударяющиеся тела. При ударе тела о неподвижную преграду (плиту) коэффициент восстановления скорости для тел из дерева
КС
=
1/2, из стали 5/9, из слоновой кости 8/9, из стекла 15/16.
Коэффициент восстановления энергии
КЭ
равен отношению кинетической энергии тел после удара к их кинетической энергии до удара
2 2
1 1 2 2
Э
2 2
1 1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
2
mmKmmυυυυ′
′
+
=
+
(4)
Скачать 4.4 Mb.