ЛабПрактикумМеханика. Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения
 Скачать 4.4 Mb.
|
|
4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Общий вид установки для исследования столкновения шаров представлен на рис. 2 В состав установки входят: детектор CASSY 1, тайм-бокс или таймер 2, трек 3, 2 тележки 4 с дополнительными грузами, кольцо для столкновений 5, 2 фотосчетчика 6, 2 многожильных 6 – контактных кабеля 7, ПК с установленной программой CASSY Lab Рис. 2. Установка для изучения соударения тел 183 Горизонтальное расположение платформы с треком 3, можно регулировать с помощью опор. К платформе крепятся два фотосчетчика со световыми воротами 6, которые подключают на входы Е и F тайм-бокса 2. Световые ворота располагают так, чтобы столкновение тележек (кареток Флетчера) происходило между ними. Флажки на тележках должны пересечь лучи света при прохождении своих ворот (рис. 3), поэтому каретки на треке устанавливают таким образом, чтобы световые ворота были расположены со стороны движения каждой из кареток. Скорость тележек до и после столкновения измеряют по времени затемнения на обоих световых воротах. Всего в работе может быть реализовано 3 различных варианта первоначального расположения кареток: – обе тележки за воротами; – левая тележка между воротами, правая за воротами; – правая тележка между воротами, левая за воротами. 5. ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ 1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой. 2. Проверьте заземление лабораторной установки (компьютера) и изоляцию токоведущих проводов. Немедленно сообщите преподавателю или лаборанту о замеченных неисправностях. 3. Не оставляйте без присмотра лабораторную установку. 4. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место, отключите компьютер. 6. ЗАДАНИЕ Определение коэффициента восстановления скорости и коэффи- циента восстановления энергии при центральном ударе кареток. Световые ворота E Световые ворота F Каретка 1 Каретка 2 Рис. 3. Расположение световых ворот и кареток 184 7. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 1. Расположить каретки на треке. Для упругого удара на каретке 2 установить кольцо (для неупругого удара – кольцо снять). Включить компьютер. Выполнить команду «ПУСК», затем «CASSY Lab ». Нажать «?» или F1. Появится окно «CASSY Lab». Нажать «Примеры экспериментов». 2. При появлении надписи «Experiment examples» нажать «Physics ». При появлении надписи «Experiment examples physics» нажать «Conservation of momentum and energy (collision)». Появится надпись «Conservation of momentum and energy (collision)». Найти пункт «Carrying out the experiment» и нажать кнопку «Load settings» слева от надписи. 3. Ввести массы m 1 и m 2 (выбрать m 1 ≠ m 2 , по указанию преподавателя). Для установки массы m 1 навести курсор в поле ввода на m 1 , щелкнуть правой кнопкой мыши и в появившемся окне ввести числовое значение параметра (в кг). Масса каретки без груза равна 400 г. Нажать кнопку «Закрыть». Аналогично ввести числовое значение массы m 2 4. Настроить один из параметров измерений до столкновения по отношению к воротам E и F ( 1 υ , 2 υ , 1 υ ′ или 2 υ ′ ). Для этого навести курсор на одно из окон 1 υ , 2 υ , 1 υ ′ или 2 υ ′ в поле ввода и нажать 1 раз правой кнопкой мыши. Появится окно «Установки измерительного канала». Выбрать в нем вариант движения тел: – тела движутся навстречу; – тело 1 покоится; – тело 2 покоится. 5. Выполнить команду → 0 ←. Провести эксперимент (привести обе каретки или одну из них в движение). На экране в окнах скоростей 1 υ , 2 υ , 1 υ ′ или 2 υ ′ появятся их измеренные значения. 6. Если необходимо повторить измерения, то для этого нажать «Конец столкновения», затем → 0 ←. Закрыть окно «Установки измерительного канала». 7. Нажать клавишу F9 – снятие и запись результата. Программа вычислит импульсы и энергии тел. 8. Для просмотра числовых значений импульсов тел до и после столкновения необходимо нажать в главном окне «Impuls» (высвечиваются окна с параметрами p 1 и p 2 – импульсы первой 185 и второй каретки до удара, 1 p ′ и 2 p ′ – импульсы кареток после удара, p и p′ – импульсы системы до и после соударения).Результаты измерений занести в табл. 1. 9. Для просмотра числовых значений энергии нажать в главном окне «Energie» (высвечиваются окна с параметрами Е 1 и Е 2 – энергии кареток до соударения, 1 Е ′ и 2 Е ′ – энергии после соударения, Е и Е′ – энергии системы до и после удара, ΔЕ – потеря энергии при ударе). Результаты измерений занести в табл. 1. 11. Для просмотра числовых значений импульсов соударяющихся тел до и после удара можно также выбрать закладку «Gesamtimpuls », просмотра значений энергии тел до и после удара – закладку «Gesamtenergie», потери энергии при ударе – закладку «Energieverlust». 12. Рассчитать коэффициенты восстановления скорости и энергии. Полученные результаты внести в табл. 1. Таблица 1 m 1 , кг m 2 , кг 1 υ , м/с 2 υ , м/с 1 υ ′ , м/с 2 υ ′ , м/с р, кг·м/с p′ , кг·м/с К С Е, Дж Е′ , Дж К Э 13. Проанализировать полученные результаты. Сделать заключение о выполнении или невыполнении законов сохранения импульса и энергии при соударениях тел. 14. Провести эксперимент для упругого удара при трех указанных выше вариантах движения тел по п. 4–13. 15. Снять кольцо с каретки 2 и провести эксперимент для неупругого удара. Рассмотреть три варианта движения тел: – тела движутся навстречу; – тело 1 покоится; – тело 2 покоится. В табл. 2 занести результаты измерений и рассчитанные значения коэффициентов восстановления скорости и энергии. 186 16. Закрыть окна настройки. Закрыть программу, нажав × в правом верхнем углу монитора. При предложении сохранить измерение, выбрать «НЕТ», компьютер закроет программу. Таблица 2 m 1 , кг m 2 , кг 1 υ , м/с 2 υ , м/с υ , м/с p, кг·м/с p′ , кг·м/с К С Е, Дж Е′ , Дж К Э Контрольные вопросы 1. Что понимают под импульсом тела? 2. Что такое энергия? Какие виды энергии вы знаете? 3. Что называют кинетической энергией тела? 4. Как формулируются законы сохранения импульса и энергии? 5. Что такое удар? Какой удар называют абсолютно упругим (неупругим)? 6. Какие законы сохранения можно использовать при абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударе? 7. Что понимают под коэффициентом восстановления скорости? 8. Что понимают под коэффициентом восстановления энергии? 9. Что представляет собой экспериментальная установка для изучения законов соударения тел и как с ее помощью определяют коэффициенты восстановления скорости и энергии? Требования к содержанию и оформлению отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Название, номер и цель лабораторной работы. 2. Краткую теорию и основные формулы для выполнения расчетов. 3. Таблицы с результатами измерений и вычислений. 4. Выводы по результатам работы (обобщение того, что сделано в работе, заключение о выполнении или нарушении законов сохранения, предложения по усовершенствованию лабораторной установки и по проведению работы). 187 Критерии результативности выполнения лабораторной работы Лабораторная работа считается выполненной, если студент: – усвоил понятия механическая система, импульс, механическая энергия, соударение, формулирует законы сохранения импульса и энергии и приводит примеры их практического использования; – умеет рассчитывать коэффициенты восстановления скорости и энергии при соударении; – решает типовые задачи с использованием законов сохранения импульса и энергии; – правильно выполнил экспериментальную и расчетную части работы; – составил отчет в соответствии с предъявляемыми требованиям; – сформулировал выводы по проделанной работе; – дал полные ответы на все контрольные вопросы. Список литературы 1. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. – СПб.: Издательство «Лань», 2018. 2. Детлаф А. Н., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academia, 2015. 3. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Академия, 2016. 188 Лабораторная работа № 108 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучение движения тела брошенного под углом к горизонту в вязкой среде в неинерциальной системе отсчета в виртуальной среде «Ballistica». 2. ЗАДАЧИ 1. Получение углубленных теоретических знаний о степени влияния сил различной природы на характер движения тел в атмосфере. 2. Интерактивное моделирование движения бейсбольного мяча и снаряда и анализ результатов. 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ На выброшенное под углом к горизонту и с определенной скоростью тело действует сила тяжести и комплекс аэродинамических сил и моментов. В данной работе изучается движение бейсбольного мяча и снаряда. Рассмотрение движения тела начнем с действия на него силы тяжести. Запишем уравнение динамики в векторном виде 2 2 d r m m g dt ⋅ = ⋅ , (1) где r – радиус-вектор, проведенный из начала системы координат в точку, определяющую положение тела в пространстве; m – масса тела; g – вектор ускорения свободного падения. 189 Рис. 1. Стартовая система координат: а – на плоскости; б – в пространстве [1] Введем систему координат (рис. 1). Ее начало совместим с начальным положением бросаемого тела, ось x направим горизонтально в сторону движения мяча, ось y вертикально вверх. Решением уравнения (1) в данной системе координат будет иметь вид хорошо известный из курса школьной физики (2). 0 2 0 cos( ) sin( ) 2 0 x t V g t y t V z = ⋅ ⋅ θ ⋅ = ⋅ ⋅ θ − = (2) На всякое тело, движущееся в воздухе, действует сила сопротивления воздуха (рис. 2). Ньютоном было установлено, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости движения тела, площади его поперечного сечения и плотности воздуха (сейчас известно, что квадратичный закон сопротивления справедлив для дозвуковых скоростей). Силу сопротивления можно разложить на две составляющие: параллельную и перпендикулярную скорости движения тела. 190 Рис. 2. Сила сопротивления воздуха [2] Перпендикулярная составляющая силы сопротивления возникает только при наличии асимметрии тела по отношению к направлению движения (подъемная сила), а также из-за неодинаковой скорости воздушного потока, по разные стороны тела, вызванные его вращением (эффект Магнуса). Для мяча, форма которого близка к сферической, подъемная сила мала, и ею можно пренебречь. Параллельная составляющая силы сопротивления возникает всегда. Она направлена в сторону противоположную движению, и стремится затормозить тело. Ее называют лобовым сопротивлением d F 1 2 d d F S C v v = − ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , (3) где ρ – плотность воздуха; S – площадь поперечного сечения; d C – коэффициент лобового сопротивления; v V W = − – вектор скорости относительно воздуха, где V – скорость тела относительно Земли; W – скорость ветра. Поскольку Земля в силу суточного вращения является неинерциальной системой отсчета, необходимо учесть силы инерции. На движущееся тело будет действовать сила Кориолиса 2 ( ) C F m V = ⋅ ⋅ × Ω , (4) где Ω – угловая скорость вращения Земли. 5 2 / ((23 60 56) 60 4) 7, 292 10 рад/сек − Ω = π ⋅ + ⋅ + = ⋅ 191 Поскольку сила Кориолиса определяется векторным произведением скорости тела на вектор угловой скорости необходимо задавать широту местности (φ) и азимут (А) (рис. 3). Действие силы Кориолиса на свободно падающее тело изображено на рис. 4. Рис. 3. Система координат связанная с Землей Рис. 4. Действие силы Кориолиса Учтем также, что ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты местности: 2 0 9,78034 (1 0,00528 sin ) g = ⋅ + ⋅ ϕ Уравнение динамики с учетом силы тяжести, силы сопротивления и силы Кориолиса запишется 2 2 a T c d r m F F F dt ⋅ = + + (5) 192 Полученное уравнение (5) в общем виде не имеет решения (аналитические формулы имеются только для частных случаев: падение тела с высоты строго вниз, или бросание тела с очень не большим углом), для его решения необходимо воспользоваться численными методами решения дифференциальных уравнений. Аэродинамические силы, действующие на снаряд в полете На ранних этапах развития артиллерии, скорость снарядов была невысокая и сферическая форма снаряда, была оптимальной (практична и технологична). Для артиллерии главной задачей была и остается дальность стрельбы, ее увеличивали всеми возможными способами, особо остро этот вопрос встал при увеличении скоростей до близких к скорости звука. Для того чтобы уменьшить силу сопротивления воздуха d F , необходимо уменьшить коэффициент лобового сопротивления d C который сильно зависит от формы снаряда (рис. 5). Следовательно, надо менять форму снаряда, для эффективного преодоления звукового барьера нужен продолговатый снаряд с заостренной кромкой, которая будет эффективно рассекать набегающий воздушный поток. Рис. 5. Значения коэффициента лобового сопротивления для снарядов различной формы [3] ( где а = 340 м/с – скорость звука) Но возникает новое затруднение: в продолговатом снаряде центр масс (ЦМ) не совпадает с центром приложения аэродина- мических сил (ЦД) (рис. 6), в результате чего возникает момент, который стремится опрокинуть снаряд. Снаряд в определенный 193 момент своего полета подставит набегающему потоку свою боковую поверхность, в результате чего коэффициент лобового сопротивления увеличится в разы, и потеряет большое количество кинетической энергии, полет такого снаряда будет не стабилен (рис. 7). Рис. 6. Аэродинамические силы, действующие на снаряд [1] Рис. 7. Полет нестабилизированного снаряда [2] Стабилизировать полет продолговатого снаряда можно двумя способами: придать снаряду вращение или сделать снаряд оперенным. Остановимся на разборе первого случая (второй характерен для ракет). Снаряду начали придавать вращение, тем самым используя свойство гироскопа сопротивляться всяким попыткам изменить положение его оси. Современные снаряды совершают от 12000 до 30000 оборотов в минуту, а пули более 60000 оборотов в минуту. Гироскоп «сопротивляется» изменению положения своей оси, но все-таки, он под действием внешних сил отклоняет свою главную ось, смещение происходит по направлению к моменту создаваемой этой силой. Если сказать проще то гироскоп поворачивается в сторону, куда должна прийти через 3/4 оборота точка получившая толчок, при условии что толчок происходил по нормали к его оси (рис. 8). Представим что в начальный момент, 194 вылетев из ствола орудия, наш снаряд имеет небольшой угол возвышения. Набегающий на него поток воздуха будет «толкать» снаряд снизу вверх, в результате чего ось снаряда отклонится вправо, теперь уже набегающий поток действует слева направо и снаряд отклонит свою ось вниз, затем влево и вверх, тем самым снаряд описывает своим острием коническую поверхность (рис. 9). Зададимся вопросом, а одинаково ли сопротивление воздуха испытывают все части боковой поверхности летящего снаряда? На первый взгляд может показаться, что одинаковое он ведь последовательно поворачивается вправо, вниз, влево, вверх, но не надо забывать, что на снаряд постоянно действует сила тяжести. Снаряд «давит» на воздух, а воздух по третьему закону Ньютона отвечает ему тем же, мы имеем постоянную силу, которая действует на снаряд снизу вверх, и как мы только что, определили, наш снаряд должен отклоняться вправо при вращении снаряда по часовой стрелке (если смотреть со стороны дна снаряда). Этот эффект называется деривацией, который заключается в том что снаряды выпущенные из ствола с правыми нарезами отклоняется вправо от линии бросания, а снаряды выпущенные из орудия с левыми нарезами отклоняется влево от линии бросания. Рис. 8. Действие сопротивления воздуха на снаряд [2] 195 Рис. 10. Полет стабилизированного вращением снаряда [2] Мы видим, что вращающийся снаряд, опи- сывая коническую поверх- ность, постоянно образует угол с вектором скорости (угол атаки) из-за чего возникает вертикальная составляющая сопротив- ления воздуха – подъемная сила l F ( см. рис. 6). Для ее учета, нам необходимо знать какой угол образует главная ось снаряда с вектором скорости. В общем случае движение снаряда можно разделить на три составляющие: 1) поступательное движение центра масс; 2) вращение снаряда вокруг собственной оси; 3) движение снаряда около центра масс. 1. Поступательное движение цента масс Уравнение движения центра масс запишется 2 2 a T c d r m F F F dt ⋅ = + + , (6) где a F – комплекс аэродина- мических сил; T F – сила тяжести; c F – сила Корио- лиса. Особое место занимаю аэродинамические силы, их действие в основном направ- ленно на уменьшение скорости полета. Мы ограничимся тремя из них, оказывающих наибольшее влияние на полет тела: сила сопротивления d F , подъемная сила l F , сила Магнуса m F a d l m F F F F = + + (7) Рис. 9. Коническое вращение головной части снаряда [2] 196 При отклонении снаряда на угол δ (см рис. 6) в плоскости сопротивления возникает подъемная сила l F , величина которой зависит от угла, калибра и длины снаряда. Поскольку в общем случае ось снаряда не совпадает с вектором скорости по направлению, то имеется поперечная составляющая скорости потока, которая, складываясь со скоростью циркулирующего потока, создает с одной стороны снаряда область повышенного давления с другой – пониженного. В результате возникает сила Магнуса m F (рис. 11). Рис. 11. Схема возникновения силы Магнуса Подъемная сила l F , сила Магнуса m F [2] определяются следующими выражениями: 1 ( ( )) 2 l l F S C v i v = ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ × × , (8) ( ) 1 2 m d F S v C v i m v ω⋅ = ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × , (9) где ρ – плотность атмосферы; S – поперечное сечение снаряда; v – вектор скорости снаряда (относительно воздуха); i – единичный вектор, связанный с главной осью снаряда; , , d l m C C C – коэффициенты соответствующих сил; d – калибр снаряда. Все аэродинамические силы зависят от плотности воздуха. Атмосферу разделяют на пять основных слоев, мы ограничимся самой нижней – тропосфера (границы которой простирается до высоты 11000 м в средних широтах, а в экваториальных широтах 197 до 16000 м), отличительная черта тропосферы – понижение температуры воздуха с увеличением высоты. Плотность воздуха зависит от температуры [1] 0 1 1 0 R T T − − ⋅α + α ρ = ρ ⋅ , (10) где 0 ρ – плотность воздуха в начальной точке; 0 T – температура в начальной точке; α – градиент температуры; R – универсальная газовая постоянная. 2. Вращение снаряда вокруг собственной оси Вращательное движение происходит под действием моментов всех выше перечисленных сил: момент поверхностного сопротивления воздуха s M (11), опрокидывающий момент o M (12), момент Магнуса m M (13) [3]: 2 1 2 s s d M v S d C i v ω⋅ = ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , (11) 1 ( ) 2 o o M S d v C v i = ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × , (12) ( ) 1 2 m Mm d M v S d C v i v ω⋅ = ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × , (13) где , , s o Mm C C C – коэффициенты соответствующих моментов; i – единичный вектор, связанный с главной осью снаряда. Необходимо заметить, что все коэффициенты сил и моментов для снаряда, сами являются сложными зависимостями. Итоговое уравнение динамики для вращательного движения снаряда [3] s o m d L M M M dt = + + , (14) где L – момент импульса снаряда. 3. Движение снаряда около центра масс Движение снаряда около центра массвыражается уравнением определяющим положение единичного вектора i связанного с главной осью снаряда (рис. 6). Снаряд рассматривается с точки 198 зрения прецессионной теории гироскопа. Момент импульса мы можем представить в виде [3] ( ) p t d i L I i I i dt = ⋅ ω⋅ + ⋅ × , (15) где p I – полярный момент инерции снаряда; t I – экваториальный момент инерции снаряда. Уравнение движения снаряда около центра масс имеет вид [3] t d i L i dt I × = (16) Математическая модель, описывающая движение снаряда в общем виде будет иметь следующий вид: 2 2 d l m T c s o m t d r m F F F F F d t d L M M M d t d i L i d t I ⋅ = + + + + = + + × = (17) Движение бейсбольного мяча В случае бейсбольного мяча можно ограничиться только рассмот- рением поступательного движения (рис. 12), так как мяч полностью симметричен и центр масс совпадает с центром действия аэродинамических сил, следовательно, отсутствует подъемная сила, силу Магнуса выразим следующим образом 1 ( ) 2 m m v F S C v = ′ ω× ′ ⋅ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω (18) Рис. 12. Силы, приложенные к бейсбольному мячу 199 |