лекции кристаллография. Кристаллография наука, изучающая процессы образования, формы, структуру и физикохимические свойства кристаллов

• Название: Кристаллография наука, изучающая процессы образования, формы, структуру и физикохимические свойства кристаллов
• Анкор: лекции кристаллография.doc
• Дата: 06.03.2017
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: лекции кристаллография.doc
• Тип: Лекция; #3456
• Категория: Промышленность. Энергетика
• страница: 2 из 9

Пример

Гексаэдр.
рис.2

У гексаэдра 9 плоскостей симметрии, из которых 6 диагональных и 3, которые проходят через середины граней и ребер, перпендикулярно им. На рис.2.а показаны 4 грани, 2 из них диагональные; на рис.2.б — одна, на рис.2.в. — 4 диагональных.

Вращение

Элемент симметрии — линия, ось вращения.

Ось симметрии — прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части кристалла.

Теорема

Элементарный угол поворота любой оси симметрии содержится целое число раз в 360⁰.

=360⁰

n , где n — порядок оси.

n=1, =360⁰ (это ось первого порядка, присутствует всегда)

n=2, =180⁰

n=3, =120⁰

n=4, =90⁰

n=6, =60⁰

L₁, L_2, L_3, L_4, L₆ — порядки осей в учебной символике.

1,2,3,4,6 — в международной символике.

В кристаллах нет осей симметрии пятого порядка, поскольку кристалл нельзя упаковать с помощью правильных пятиугольников.

Инверсия

Элемент симметрии — точка.

Центр инверсии — особая точка внутри кристалла, характеризуемая тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) части кристалла.

Практическое указание

При наличии центра симметрии каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная первой (рис.3)

В

А Д

С

Д₁ А₁

В₁

Рис.3

Отражение-вращение

Элементы симметрии — зеркально-поворотные оси. Обозначение —L_2nⁿ.Зеркально-поворотная ось порядка 2n — это обычная поворотная ось порядка n.

L₄² — зеркально-поворотная ось четвертого порядка.

Точку А₂ можно получить двумя путями.

А А

90⁰ Ось второго порядка L₂¹ соответств

Р ует центру симметрии.

А₁

А₂ 90⁰

Рис.4

Вращение-инверсия

Учебная символика: L_in.

Международная — n.

Например: L_i2(2)

Инверсионная ось — прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением центральной точки кристалла как в центре инверсии, кристалл самосовмещается сам с собой.

Порядки осей: L_i1(1), L_i2(2), L_i3(3), L_i4(4), L_i6(6).

Самостоятельное значение имеют оси четвертого и шестого порядка, а остальные можно заменить.

Пример: L_i1=С — центр инверсии.

L_i2=Р — плоскость симметрии.

L_i3=L₃C — ось симметрии третьего порядка+центр симметрии.

Порядок оси можно определить по количеству сходящихся в одной точке ребер.

Пример

Ось четвертого порядка.

А Ось Li₄ можно заменить на L₂

А₁
С


L₄ А₂

Рис.5

Таким образом, существует 8 элементов симметрии, которые имеют самостоятельное значение:




С(1), P(m), L₂ (2), L₃ (3), L₄ (4), L₆ (6), L_i4(4), L_i6(6).
Сочетание восьми элементов симметрии называется формулой или видом симметрии, точечной группой. Всего их 32.

Запись вида симметрии очень строгая. Сначала указывают оси высшего порядка, потом — по убыванию, затем плоскости симметрии, и, наконец, центр симметрии. Перед каждым элементом симметрии указывают их количество. Запись сплошная, без пробелов и знаков препинания.

Пример

Гексаэдр.

L₃ L₄ Оси симметрии 4-го порядка проходят

попарно через середины граней; оси

3-го порядка проходят попарно через вер

L₂ шины; 2-го — попарно через середины

ребер.

3L₄4L₃6L₂9РС

Кубы — высокосимметричные кристаллы.

Взаимодействие элементов симметрии (теоремы сложения).

2 элемента симметрии неизменно влекут за собой третий элемент (равнодействующий), действие которого равно сумме действий первых двух.

Теорема №1

Линия пересечения двух плоскостей симметрии всегда является осью симметрии, действие, которой равно сумме действий обеих плоскостей.

Элементарный угол поворота в 2 раза больше угла между плоскостями.

О

А А₂

n 2 m



Р₁ Р₂

А₁

Рис.7

Обратная теорема

Действие одной поворотной оси равносильно действию двух зеркальных плоскостей, пересекающихся вдоль упомянутой оси. При этом первая плоскость проводится произвольно, а вторая плоскость должна образовывать (в направлении поворота оси) с первой плоскостью угол, равный половине элементарного угла поворотной оси.

Теорема №2

При наличии двух пересекающихся осей симметрии всегда следует искать третью равнодействующую ось, проходящую через точку пересечения первых двух (теорема Эйлера).

Лекция 3

Теорема №3

1. 
   При наличии центра инверсии и четной оси, перпендикулярно последней проходит плоскость симметрии (рис.1)
   

С

Р
L_2n

рис.1

2. 
   При наличии центра инверсии и проходящей через него плоскости симметрии, перпендикулярно последней проходит четная ось симметрии (рис.1)
   
3. 
   При наличии четной оси L_2n и перпендикулярной ей плоскости симметрии всегда присутствует центр инверсии.
   

Следствие

При наличии центра инверсии сумма четных осей равна сумме плоскостей симметрии, причем каждая четная ось перпендикулярна плоскости симметрии.

Пример

• 
  Куб:3L₄4L₃6L₂9РС
  

(3+6)L_2n=9P

• 
  Тетрагональная призма: L₄4L₂5РС
  

(4+1)L_2n=5P

Теорема №3

(Следствие из теоремы Эйлера)

В присутствии осей симметрии n-го порядка и перпендикулярных к ней осей симметрии второго порядка имеем всего n осей второго порядка

L_n L₂nL₂

L_n PnL₂, лежащих в плоскости Р.

Теорема 5

(Следствие из теоремы 1)

В присутствии осей симметрии порядка n и плоскости симметрии, проходящей параллельно этой оси, имеем всего n таких плоскостей.

L_n РnР

Понятие о единственном направлении.

Единственное не повторяющееся в кристалле направление является единичным.

Например, гексагональные пирамида(L₆Р₆) и призма(L₆6L₂7РС)имеют такое направление — ось L_6.

Повторяющиеся в кристалле направления, сввязанные элементами симметрии, называются симметрично равными.

Пример: В кубе нет единичных направлений, все симметрично равные.

Расположение элементов симметрии относительно единичного направления.

1. 
   Е В присутствии единичного направления возможен
   

С центр симметрии, лежащий в середине кристалла.
Е₁

Рис.2

2. 
   Е В присутствии оси n-го порядка, параллельной
   

единичному направлению, оно всегда будет

Е₁L_n единичным.

Рис.3

3. 
   Е Если есть ось симметрии, перпендикулярная единичн
   

ому направлению, то оно останется единичным.

L_n
Е₁

Рис.4

4. 
   Е Единичное направление останется единичным, если
   

есть плоскость симметрии, перпендикулярная ему.

Р
Е₁

Рис.5

5. 
   Е Единичное направление останется единичным, если
   

есть плоскость симметрии, параллельная ему


Р

Е₁ Рис.6

Виды симметрии кристаллов.

1. 
   Виды симметрии кристаллов, обладающих единичным направлением.
   

Таблица I.

	Вид симметрии
	n=1	n=2		n=3	n=4		n=6
1. Е=Е1 Ln	L1 (1)	L2		L3 (9)	L4 (14)		L5 (21)
2. Е=Е1 С	L1С = С (2)	L2С L2РС		L3С (10)	L4РС (15)		L6РС (22)
3. LnР	L1Р=Р			Li6
4. LnР	L1Р=Р (3)	L2 2Р (6)		L3 3Р (11)	L4 4Р (16)		L6 6Р (23)
5. Ln L2	L1L2=L2 (4)	L22L2 =3L2 (7)		L23L2 (12)	L44L2 (17)		L66L2 (24)
Присоединяются всевозможные сочетания элементов симметрии (одновременно несколько)
6.С,Р,параллельнаяединичному направлению.	L2 РС (5)	3L2 3РС (8)	L2 3L23РС (13)		L44L25С (18)	L66L27РС (25)
7. Единичное направление совмещено с единственной инверсионной осью n-го порядка Е-Е1; Lin					Li4 (19)	Li6 (26)
8. К исходному единичному направлению, совпадающему с инверсионной осью n-го порядка, присоединяется плоскость, проходящая параллельно ему.					2L22Р (20)	Li63L23Р (27)

Зачеркивание штриховой линией обозначает, что этот элемент симметрии повторяется и его не нужно считать еще раз. Цифры в скобках — номер вида симметрии. Всего их 27.

1. 
   L_n— порождающий элемент. Это обозначение условно, на самом деле, никаких элементов симметрии нет.
   

Виды симметрии — примитивные.

2. 
   Плоскость симметрии появляется по теореме сложения. Виды симметрии — центральные.
   
3. 
   Виды симметрии аналогичны центральным.
   
4. 
   Виды симметрии — планальные
   
5. 
   Виды симметрии — аксиальные.
   
6. 
   Виды симметрии — планаксиальные.
   
7. 
   Виды симметрии — инверсионно-примитивные.
   
8. 
   Виды симметрии — инверсионно-планальные.
   

2. 
   Виды симметрии кристаллов без единичных направлений.
   

Из каждого направления выводится симметрично равное.

1. 
   Примитивные.
   

3L₂4L₃

2. 
   Центральные
   

3L₂4L₃3РС

3. 
   Планальные
   

3L_i44L₃6Р

4. 
   Аксиальные
   

3L₄4L₃6L₂

5. 
   Планаксиальные.
   

3L₄4L₃6L₂9PC — куб.

Сингония — группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими элементами симметрии (с обязательным учетом осей симметрии порядка, выше второго) при одинаковом числе единичных направлений.

Сингонии:

1. 
   Триклинная
   
2. 
   Моноклинная I группа
   
3. 
   Ромбическая
   
4. 
   Тригональная (L₃)
   
5. 
   Тетрагональная (L₄) II группа
   
6. 
   Гексагональная (L₆)
   
7. 
   Кубическая III группа.
   

I группа: низшая категория (нет осей симметрии порядка, выше 2 –го, есть несколько единичных направлений)

II группа: средняя категория (есть одно единичное направление, совпадающее с единственной осью порядка, выше второго).

III группа: высшая категория (нет единичных направлений, все направления симметрично равные). Обязательный признак — наличие четырех осей 3-го порядка.

Лекция 4

Характеристика сингоний.

Таблица 1

Категории	Сингонии	Число единичных напрвлений	Характерные элементы симметрии.
Низшая.	Триклинная	Все	С
	Моноклинная	Множество	Р, L2, L2РС
	Ромбическая	Три	L22Р, 3L23РС
Средняя	Тригональная	Одно	L3
	Тетрагональная	Одно	L4, Li4
	Гексагональная	Одно	L6, Li6
Высшая	Кубическая а=в=с ===900	Нет	4L3

Обозначение плоскостей и направлений в кубических кристаллах.

x/n + y/m + z/p = 1 — это уравнение плоскости в отрезках.

Z


О Y

X рис.1

На рис.1 показан правильный выбор системы координат для установки кристалла.

Кристаллографические индексы Миллера — это наименьшие целые положительные и отрицательные числа, которые относятся между собой как величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

Z X Y Z

1 2 4 1

½ ¼ 1

4 2/4 ¼ 4/4

Y

2 2 1 4

X

Рис.2 табл.2

Приведенное уравнение: hx + ky + lz = D. Здесь h, k, l — кристаллографические индексы.

(214) — кристаллографические индексы плоскостей, записываются в круглые скобки без знаков препинания и читаются поцифирно.