Высшая математика Питерцева. высшая математика питерцева. Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители
 Скачать 2.77 Mb.
|
Возведение комплексных чисел в степеньНачнем со всем любимого квадрата. Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения : Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула: Просто до безобразия. Пример 10 Дано комплексное число , найти . Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали: Тогда, по формуле Муавра: Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол. Таким образом, окончательный ответ запишется так: Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде). Хотя – ни в коем случае не ошибка. Пример 11 Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел. Пример 12 Возвести в степень комплексные числа , , Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить: Пример 13 Возвести в степень комплексные числа , Это пример для самостоятельного решения. Извлечение корней из комплексных чиселНаконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик: Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня: Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку: Что и требовалось проверить. Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: . Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями. Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня. Пример 14 Решить квадратное уравнение Вычислим дискриминант: Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах! По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: , Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение! И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровно корней, часть из которых может быть комплексными. Простой пример для самостоятельного решения: Пример 15 Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители. Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле: , где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения: Пример 16 Найти корни уравнения Перепишем уравнение в виде В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и . Общую формулу можно сразу немножко детализировать: , Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа : Число располагается в первой четверти, поэтому: Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж. Еще более детализируем формулу: , На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось. Подставляя в формулу значение , получаем первый корень: Подставляя в формулу значение , получаем второй корень: Ответ: , При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму. И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: . Пример 17 Найти корни уравнения , где Сначала представим уравнение в виде : Если , тогда Обозначим привычной формульной буквой: . Таким образом, требуется найти корни уравнения В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , , Детализирую общую формулу: , Найдем модуль и аргумент комплексного числа : Число располагается во второй четверти, поэтому: Еще раз детализирую формулу: , Корень удобно сразу же упростить: Подставляем в формулу значение и получаем первый корень: Подставляем в формулу значение и получаем второй корень: Подставляем в формулу значение и получаем третий корень: Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически: Как выполнить чертеж? Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности. Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку . Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку . По такому же алгоритму строится точка Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж. Уравнения четвертого и высших порядков встречается крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами. Для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны Решения и ответы: Пример 6:Решение: Пример 8:Решение: Представим в тригонометрической форме число. Найдем его модуль и аргумент.. Поскольку (случай 1), то. Таким образом: – число в тригонометрической форме. Представим в тригонометрической форме число. Найдем его модуль и аргумент.. Поскольку (случай 3), то. Таким образом: – число в тригонометрической форме. Пример 11:Решение:Представим число в тригонометрической форме: (это число Примера 8). Используем формулу Муавра: Пример 13:Решение: Пример 15:Решение: , Разложим квадратный двучлен на множители: |