Главная страница
Навигация по странице:

  • Математические формулы и таблицы

  • Модулем комплексного числа

  • Если угол больше 180 градусов

  • Графики и свойства основных элементарных функций

  • Высшая математика Питерцева. высшая математика питерцева. Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители


    Скачать 2.77 Mb.
    НазваниеКурс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители
    АнкорВысшая математика Питерцева
    Дата26.04.2023
    Размер2.77 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлавысшая математика питерцева.doc
    ТипКурс лекций
    #1091646
    страница12 из 18
    1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   18

    Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа


    В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

    Любое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в тригонометрической форме:
    , где   – это модуль комплексного числа, а   – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

    Изобразим на комплексной плоскости число  . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что  : 


    Модулем комплексного числа   называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

    Модуль комплексного числа   стандартно обозначают:   или 

    По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа:  . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

    Аргументом комплексного числа   называется угол  между положительной полуосьюдействительной оси   и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:  .

    Аргумент комплексного числа   стандартно обозначают:   или 

    Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
    Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

    Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

    Пример 7

    Представить в тригонометрической форме комплексные числа:  ,  ,  ,  .
    Выполним чертёж:


    На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: 

    Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.
    1) Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .
    Очевидно, что   (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:  .

    Ясно, как день, обратное проверочное действие: 

    2) Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .
    Очевидно, что   (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:  .

    Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):


    3) Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .
    Очевидно, что   (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:  .

    Проверка: 

    4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .

    Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:   (270 градусов), и, соответственно:  . Проверка: 

    Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла:   (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что   и   – это один и тот же угол.

    Таким образом, запись принимает вид: 

    Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
    Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

    В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...».  Это действительно очевидно и легко решается устно.

    Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу  . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число  . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

    1) Если   (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле  .

    2) Если   (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

    3) Если   (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

    Пример 8

    Представить в тригонометрической форме комплексные числа:  ,  ,  ,  .

    Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, точертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

    Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:

    Я представлю в комплексной форме числа   и  , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

    Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент.

    Поскольку   (случай 2), то   – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение  , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
     – число   в тригонометрической форме.

    Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

    Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа  . Вы убедитесь, что действительно  . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно  .

    Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент.


    Поскольку   (случай 1), то   (минус 60 градусов).

    Таким образом: 
     – число   в тригонометрической форме.

    А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

    Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол   – это в точности табличный угол   (или 300 градусов):
     – число   в исходной алгебраической форме.

    Числа   и   представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

    В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

    Любое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в показательной форме:
    , где   – это модуль комплексного числа, а   – аргумент комплексного числа.

    Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде  .

    Например, для числа   предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент:  ,  . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:  .

    Число   в показательной форме будет выглядеть так: 

    Число   – так: 

     И т.д.

    Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме  .
    1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   18


    написать администратору сайта