лекции по менеджменту. лекции. Курс лекций по дисциплине Моделирование систем предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавриата 09. 03. 01

• Название: Курс лекций по дисциплине Моделирование систем предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавриата 09. 03. 01
• Анкор: лекции по менеджменту
• Дата: 21.12.2020
• Размер: 1.74 Mb.
• Имя файла: лекции.pdf
• Тип: Курс лекций; #162568
• страница: 6 из 8

Контрольные вопросы
1.
Что представляет собой уравнение «вход–выход» для систе- мы с одним входом и выходом?
2.
Как перейти к описанию системы в пространстве состояния по уравнению «вход-выход»?
3.
Что такое передаточная функция системы?
4.
Как перейти к описанию системы в пространстве состояния, если известна ее передаточная функция?
5.
Как строится регулятор состояния системы?
6.
Как строится наблюдатель состояния системы?
7.
Для чего используют канонические формы описания работы систем?

62 8.
Опишите алгоритм расчета регулятора состояния.
9.
Опишите алгоритм расчета наблюдателя состояния.
10.
Как выполняется настройка регулятора состояния?
ЛЕКЦИЯ №6. ЭКСПЕРИМЕНТ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Модели и их виды, методика проведения компьютерного эксперимен-
та, статистическое моделирование классификация экспериментов, регрес-
сионные модели.
Моделирование – замещение одного объекта (оригинала) дру- гим (моделью) для фиксации и изучения свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала. В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая систе- ма. Она имеет множество параметров S и характеризуется опреде- лёнными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристик Y. Система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействий Х.
Виды моделей
Физической моделью обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу.
Виды физических моделей [5]: квазинатуральные; масштабные; аналоговые; математические.
Квазинатуральные модели – совокупность натуральных и мате- матических моделей.
Масштабная модель – это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами.
Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физиче- скую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели тре- буется наличие математического описания изучаемой системы.
Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, математиче- ских соотношений, отражающих процесс функционирования системы.
Математические модели можно классифицировать на: аналитические; численные; имитационные.
Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнений,

63 описывающих ее работу в явном виде, используя известный матема- тический аппарат.
Численная модель характеризуется такими уравнениями, кото- рые допускают только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.
Имитационная модель – это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внут- ренних возмущений.
Математическую схему можно определить как звено при перехо- де от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды.
Имеет место цепочка: описательная модель > математическая схема > имитационная модель. Процесс функционирования системы
S описывается оператором F
S
[5]:
( )
( , ,
, );
s
Y t
F X V H t
(6.1) совокупность Х – входных воздействий на S х
i
Х, i = 1…n
x
; совокупность воздействий внешней среды v
i
V, i =
1…n
v
; совокупность внутренних (собственных) параметров системы
h
k
H, k =
1…n
h
; совокупность выходных характеристик системы y
j
Y, j =
1…n
y
Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые со- стояниями. Совокупность всех возможных значений состояний назы- вается пространством состояний объекта моделирования Z
( )
( ,
, , , ).
Z t
z X V h t
(6.2)
Состояния системы S характеризуются вектором
1
( , ...,
).
k
Z z
z
Статистическое моделирование
Статистическое моделирование – базовый метод моделирова- ния, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности, целью кото- рого является статистическое определение выходных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло.
Пусть требуется найти значение интеграла
2 1
( )
x
x
y
f x dx
(6.3)
График функции f(x) показан на рис. 6.1. Вычислить значение ин- теграла этой функции – это нахождение площади под кривой графика.
Кривую ограничивают сверху, справа и слева. Случайным обра- зом распределяют точки в прямоугольнике поиска. Определяют:
N
1
– количество точек, принятых для испытаний (то есть попав- ших в прямоугольник);

64
N
2
– количество точек под кривой, то есть попавших в закрашен- ную площадь под функцией.
Рис. 6.1. Методика статистического исследования методом Монте-Карло
Количество точек, попавших под кривую по отношению к об- щему числу точек пропорционально площади под кривой (величине интеграла).
2 1
2 1
2 1
(
) (
)
N
y
N
x
x
c
c
(6.4)
Это верно при большом числе испытуемых точек. Значения r
1
и
r
2
на рисунке 6.1 являются равномерно распределенными случайными числами из интервалов (х
1
и х
2
) и (с
1
,
с
2
) соответственно. Эксперимен- ты показывают: чтобы увеличить точность в 10 раз, необходимо объ- ем выборки увеличить в 100 раз. Точность примерно пропорциональ- на корню квадратному из объема выборки: точность объем выборки.
Планирование эксперимента
В планировании эксперимента различают входные (изогенные) и выходные (эндогенные) переменные
y
1
, y
2
…, y
m
Входные переменные х
1
,
х
2
,
…, х
k
называют факторами, а вы- ходные – реакциями. Каждый фактор x
i
, i = 1, 2,
…, k может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемых уровнями.
Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

65
Каждому фиксированному набору уровню факторов соответст- вует определённая точка в многомерном пространстве, называемая факторным пространством.
Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках фак- торного пространства, а лишь в точках, принадлежащих допустимой области.
План эксперимента обычно используется для определения экс- тремальной характеристики объекта. Поэтому планирование экспери- мента называется экстремальным.
Стратегическое планирование – ставит своей целью получение необходимой информации о системе с помощью модели, реализо- ванной на ЭВМ. Тактическое планирование – определяет способы проведения каждой серии испытаний машинной модели.
Эксперимент может быть пассивным или активным. При пассив- ном эксперименте информация об исследуемом объекте накаплива- ется путем наблюдения, то есть информацию получают в условиях обычного функционирования объекта.
Активный эксперимент проводится с применением искусственно- го воздействия на объект по специальной программе. Примером пас- сивного эксперимента может быть анализ работы схемы, которая не имеет входов, а только выходы и повлиять на ее работу невозможно.
Активный эксперимент предполагает возможность воздействия на ход процесса и выбора в каждом опыте уровней факторов. Сово- купности факторов должны отвечать требованиям совместимости и независимости.
Соблюдение первого требования означает, что все комбинации факторов осуществимы и безопасны. Второго – возможность уста- новления фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.
Схемы эксперимента
Рис. 6.2. Объект с одним входом и выходом
Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем вы- полнения n пар измерений в дискретные моменты времени единст- венного входного параметра X и соответствующих значений выходно- го параметра Y (рис. 6.2).

66
Рис. 6.3. Несколько факторов
Многофакторный пассивный эксперимент проводится при кон- троле значений нескольких входных параметров X
i
Его целью являет- ся установление зависимости выходного параметра от двух или более переменных y = F(x
1
, x
2
,
…) (рис. 6.3).
Объект с несколькими входами и возмущением. Параметры: управляющие (входные x
i
); параметры состояния (выходные Y); возмущающие воздействия (W
i
).
Рис. 6.4. Полнофакторный эксперимент
Полнофакторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам
(рис. 6.4). Полнофакторный эксперимент характеризуется тем, что при фиксированных возмущающих воздействиях W
i
минимальное число уровней каждого фактора равно двум. Необходимое число N опытов в полном факторном эксперименте для реализации всех возможных со- четаний уровней факторов N = 2
k
, где k – число факторов.
Эксперимент и концепция черного ящика
В целях исследований часто бывает удобно представить иссле- дуемый объект в виде «черного ящика», имеющего входы и выходы, не рассматривая детально его внутреннюю структуру (рис. 6.5).

67
По степени информированности исследователя об объекте су- ществует деление объектов на три типа «ящиков»:
«белый ящик»: об объекте известно все;
«серый ящик»: известна структура объекта, неизвестны коли- чественные значения параметров;
«черный ящик»: об объекте неизвестно ничего.
Рис. 6.5. Объект с несколькими входами и выходами
Значения на входах и выходах черного ящика можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно.
Задача состоит в том, чтобы, зная множество значений на вхо- дах и выходах, построить модель, то есть определить функцию ящика, по которой вход преобразуется в выход. Такая задача называется за- дачей регрессионного анализа.
В зависимости от того, доступны входы исследователю для управления или только для наблюдения, можно говорить про актив- ный или пассивный эксперимент с ящиком. Рассмотрим правила вы- полнения регрессионного анализа.
Один вход и один выход
Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика. Рассматри- вая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход Y зависит от входа X линейно, и гипотеза имеет вид
1 0
y
A X
A
(6.5)
Нужно определить неизвестные коэффициенты A
0
и A
1
модели.
Ошибки E
i
, для всех n точек наблюдений следует сложить. Чтобы по- ложительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, ка- ждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в сум- марную ошибку F уже одного знака.
2 2
0 1
2 0
1 1
(
) ,
1, ..., ;
(
,
)
i
i
i
n
i
i
E
Y
A
A X
i
n
F A A
E
(6.6)
Цель метода – минимизация суммарной ошибки F за счет подбо- ра коэффициентов A
0
, A
1
.
Необходимо найти такие коэффициенты A
0
,

68
A
1
линейной функции Y = A
1
X + A
0
, чтобы ее график проходил как мож- но ближе одновременно ко всем экспериментальным точкам (рис. 6.6).
Данный метод называется так же методом наименьших квадратов.
Рис. 6.6. Схема линейной регрессии
Суммарная ошибка F является функцией двух переменных A
0
и
А
1
, F(A
0
, A
1
),
меняя переменные, можно влиять на величину суммар- ной ошибки: эксп теор
2 0
1 1
(
);
(
,
)
;
i
i
i
n
i
i
E
Y
Y
F A A
E
(6.7)
0 1
(
,
)
min.
F A A
Для нахождения коэффициентов A
0
, A
1
используют матричное уравнение Крамера:
1 1
0 1
2 1
1 1
n
n
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
n
X
Y
A
A
X
X
X Y
(6.8)
Оценки приемлемости рассчитанных значений A
0
и A
1
выполня- ют путем определения числа точек эксперимента попавших в полосу допуска (рис. 6.7):
Y
теор
+ S; Y
теор
– S, где
1
;
cos(arctg(
))
S
A
F
n
(6.9)

69
Если в полосу допуска попадает более 70% экспериментальных точек, то выдвинутая гипотеза принимается.
Рис. 6.7. Оценка качества регрессионной модели
Система с несколькими входами и одним выходом
Линейная регрессия для объекта с одним входом и несколькими выходами выполняется с помощью выражений 6.10, 6.11 и 6.12:
0 1
1
,
m
m
Y
A
A X
A
X
(6.10)
2 0
1 1
(
,
, ...,
)
min,
n
m
i
i
F A A
A
E
(6.11)
1 2
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 2
1 2
2 2
2 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1
n
n
n
i
i
mi
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
mi
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
mi
i
i
i
i
i
n
n
n
n
mi
i
mi
i
mi
mi
mi
i
i
i
i
n
X
X
X
X
X X
X X
X X
X
X X
X X
X X
X
X X
X X
X X
1 0
1 1
1 2
2 1
1
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
m
n
i
mi
i
Y
A
Y X
A
A
Y X
A
Y X
(6.12)
Ошибка F зависит от выбора параметров А
0
,
А
1
,
…, А
m
.
По ана- логии с одномерной моделью, для каждой точки вычисляется ошибка
E
i
затем находится суммарная ошибка F и значения и S ивыполня- етсяпроверка гипотезы о линейности многомерного черного ящика.
Нелинейные регрессионные модели
Два входа, один выход
Если зависимость выхода от входов напоминает квадратичную, то целесообразно выбрать такую гипотезу:

70 0
1 1
2 2
3 1
2 4
1 1
5 2
2
,
Y
A
A X
A
X
A
X
X
A
X
X
A
X
X
(6.13)
1 1
2 2
1 1
3 2
2
;
;
Z
X
X Z
X
X Z
X
X
(6.14)
Обозначим: Z
1
= X
1
·X
2
; Z
2
= X
1
·X
1
; Z
3
= X
2
·X
2
и подставим эти вы- ражения в предыдущую формулу:
0 1
1 2
2 3
1 4
2 5
3
Y
A
A X
A
X
A Z
A Z
A Z
(6.15)
Таким образом, данная задача сведена к линейной множествен- ной модели (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Приближенная линейная модель
Несколько входов – один выход
Если выход системы можно описать зависимостью
1 2
0 1
2
,
m
A
A
A
m
Y
A
X
X
X
(6.16) то логарифмируя левую и правую части данного уравнения получим:
0 1
1 2
2
ln( )
ln(
)
ln(
)
ln(
) ...
ln(
).
m
m
Y
A
A
X
A
X
A
X
(6.17)
Введем обозначения:
0 0
1 1
2 2
ln( ),
ln(
),
ln(
),
ln(
),...,
ln(
).
m
m
W
Y B
A
Z
X
Z
X
Z
X
(6.18)
Получим линейное уравнение:
0 1
1 2
2
m
m
W
B
A Z
A Z
A
Z
(6.19)
Обратная модель
Пусть выход системы описывается зависимостью:
0 1
1
m
m
k
Y
A
A X
A
X
(6.20)
Заменим:
1
,
j
j
A
W
a
Y
k
Выполним переход к линейной модели:
0 1
1
m
m
W
a
a X
a
X
(6.21)