лекции по менеджменту. лекции. Курс лекций по дисциплине Моделирование систем предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавриата 09. 03. 01
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
Статистика критерия Статистика критерия (Т) – некоторая функция от исходных дан- ных, по значению которой проверяется нулевая гипотеза. Всякое пра- вило, на основе которого отклоняется или принимается нулевая гипо- теза, называется критерием для проверки данной гипотезы. Статистический критерий – это случайная величина, которая служит для проверки статистических гипотез. Критическая область – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу от- вергают. Анализ двух выборок может производиться с помощью парамет- рических критериев. Данные методы основываются на предположе- нии о том, что распределение выборок подчиняется нормальному за- кону распределения. Рассмотрим два критерия: критерий Стьюдента и критерий Фишера. Критерий Стьюдента (t-критерий) Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный 80 критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности». В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равен- стве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двух выборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная выборка и экспериментальная выборка, количество зна- чений в выборках различно. Статистика критерия вычисляется по формуле (8.1). Стандартное отклонение вычисляется по формулам (8.2) или (8.3). Формула (8.3) используется, если n 1 = n 2 = n. эмп ; x y x y t (8.1) 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 ; 2 i i x y x x y y n n n n (8.2) 2 ( ) ( ) ( 1) i i x y x x y y n n (8.3) Подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле 1 2 2. k n n (8.4) При численном равенстве выборок 2 2. k n (8.5) Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порожда- ет числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зави- симыми, связанными. Расчет ведется по формулам (8.6) и (8.7). _ эмп ; ; i i i d d t d x y S (8.6) 2 2 1 1 ( ) ( 1) n i n i i i d d d n S n n (8.7) Далее необходимо сравнить полученное значение t эмп с теорети- ческим значением t – распределения Стьюдента. Если t эмп < t крит , то ги- потеза H 0 принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвер- гается и принимается альтернативная гипотеза. Критерий Фишера Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления статистики критерия F ЭМП нужно найти отношение дисперсий двух выборок, при- чем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в чис- лителе, а меньшая – в знаменателе. 81 2 x ЭМП 2 y F (8.8) Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение F ЭМП все- гда будет больше или равно единице. Число степеней свободы определяется по формулам: k 1 = n 1 – 1 для первой выборки (величина дисперсии которой больше); k 2 = n 2 – 1 для второй выборки. Если t эмп < t крит , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная. Непараметрический анализ выборок Непараметрические критерии анализа выборок позволяют про- водить анализ, не учитывая закон распределения. Такой анализ мо- жет быть проведен с помощью критерия знаков (G-критерий). Крите- рий предназначен для сравнения состояния некоторого свойства у членов двух зависимых выборок на основе измерений, сделанных по шкале не ниже ранговой. Пусть имеется две серии наблюдений над случайными пере- менными X и У, полученные при рассмотрении двух зависимых выбо- рок. На их основе составлено N пар вида (х i , у i ), где х i , у i – результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта. Элементы каждой пары х i , у i сравниваются между собой по величине, и паре присваивается знак: «+», если х i < у i , «–», если х i > у i , «0», если х i = у i Нулевая гипотеза формулируется следующим образом: в со- стоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т.е. состояния изучаемого свойства существенно различны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерени- ях этого свойства. Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости 0,05, если наблюдаемое значение T < n – ta, где значение n – ta определяется из статистических таблиц для критерия знаков. Пример. Студенты выполняли контрольную работу, направлен- ную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати студентам затем предложили электронное пособие, составленное с целью фор- мирования данного понятия у студентов с низким уровнем обучаемо- сти. После изучения пособия студенты снова выполняли ту же кон- 82 трольного работу, которая оценивалась по пятибалльной системе. Ре- зультаты проверки приведены в табл. 8.1. Таблица 8.1 Статистика критерия Студент № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Первое выполнение, x i 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 Второе выполнение, y i 2 3 3 4 3 2 3 4 4 3 4 3 2 4 4 Знак разности 0 + + + + – 0 + + 0 + + – + + Подсчитаем значение статистики критерия Т, равное числу по- ложительных разностей отметок, полученных студентами. Согласно данным таблицы Т = 10. Исключим нулевые пары, в результате полу- чим n = 12 не нулевых пар. Для уровня значимости а = 0,05 при n = 12 табличное значение n – ta = 9. Следовательно выполняется неравен- ство Т > n – ta = 10 > 9. В соответствии с правилом принятия решения нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости 0,05 и принимается альтернатив- ная гипотеза, что позволяет сделать вывод об улучшении знаний сту- дентов после самостоятельного изучения пособия. Контрольные вопросы 1. Что такое статистическая гипотеза? 2. Что называется нулевой гипотезой? 3. Какие ошибки можно выделить при проверке статистической гипотезы? 4. Опишите алгоритм использования критерия Стьюдента для проверки статистической гипотезы. 5. Опишите алгоритм использования критерия Фишера для про- верки статистической гипотезы. 6. Опишите алгоритм использования критерия знаков для про- верки статистической гипотезы. 83 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная 1. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко. – М.: «Наука», 2007. – 430 с. 2. Ким, Д.П. Теория автоматического управления. В 2 ч. Ч. 1. Ли- нейные системы / Д.П. Ким. – М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2007. – 312 с. 3. Мезенцев, К.Н. Моделирование систем в среде AnyLogic 6.4.1. В 2 ч. Ч. 1: учебное пособие / К.Н. Мезенцев; под ред. А.Б. Николаева. – М.: МАДИ, 2011. – 105 с. 4. Мезенцев, К.Н. Моделирование систем в среде AnyLogic 6.4.1. В 2 ч. Ч. 2: учебное пособие / К.Н. Мезенцев; под ред. А.Б. Николаева. – М.: МАДИ, 2011. – 112 с. 5. Советов, Б.Я. Моделирование систем: учебник / Б.Я. Советов. – М.: «Высшая школа», 2009. – 343 с. 6. Язык UML. Руководство пользователя / пер. с англ. Н. Мухин; Г. Буч [и др.]. – 2-е изд. – М.: «ДМК Пресс», 2006. – 496 с. Дополнительная 7. Богданов, А.А. Тектология. Всеобщая организационная наука / А.А. Богданов. – М.: «Финансы», 2003. – 496 с. 8. Винер, Н. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине / пер. с англ. И.В. Соловьева и Г.Н. Поварова; Н. Винер; под ред. Г.Н. Поварова. – 2-е изд. – М.: «Наука», 1983. – 344 с. 9. Карпов, Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5 / Ю. Карпов. – Спб.: «БХВ», 2005 – 400 с. 10. Красовский, А.А. Справочник по теории автоматического управ- ления / А.А. Крассовский. – М.: «Наука», 1987. – 711 с. 11. Осипов, Л.А. Проектирование систем массового обслужива- ния / Л.А. Осипов. – М.: «Адвансед Солюшнз», 2011. – 111 с. 12. Пригожин, И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой / пер. с англ. общ. ред. В.И. Аршинова, Ю.Л. Климонтовича и Ю.В. Сачкова; И. Пригожин. – М.: «Прогресс», 1986. – 432 с. 13. Рассел, С. Искусственный интеллект: современный подход / пер. с англ.; С. Рассел. – 2-е изд. – М.: «Издательский дом Вильямс», 2006. – 1408 с. 14. Эшби, У.Р. Введение в кибернетику / пер. с англ. Делир Лаху- ти; У.Р. Эшби. – М.: «Либроком», 2009. – 432 с. 84 СОДЕРЖАНИЕ ВЕДЕНИЕ ..................................................................................................... 3 ЛЕКЦИЯ №1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ........................................... 4 Контрольные вопросы .................................................... 10 ЛЕКЦИЯ №2. ИНФОРМАЦИЯ В СИСТЕМАХ ........................................ 10 Контрольные вопросы .................................................... 17 ЛЕКЦИЯ №3. СИСТЕМНАЯ ИНЖЕНЕРИЯ ............................................ 17 Контрольные вопросы .................................................... 30 ЛЕКЦИЯ №4. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ................ 31 Контрольные вопросы .................................................... 42 ЛЕКЦИЯ №5. СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ........................................... 43 5.1. Обзор современных схем моделирования ............. 43 Контрольные вопросы ............................................. 49 5.2. Динамические системы ............................................. 50 Контрольные вопросы ............................................. 61 ЛЕКЦИЯ №6. ЭКСПЕРИМЕНТ И МОДЕЛИРОВАНИЕ .......................... 62 Контрольные вопросы .................................................... 71 ЛЕКЦИЯ №7. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ................................................ 71 Контрольные вопросы .................................................... 78 ЛЕКЦИЯ №8. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ ............... 78 Контрольные вопросы .................................................... 82 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................... 83 |