лекции по менеджменту. лекции. Курс лекций по дисциплине Моделирование систем предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавриата 09. 03. 01
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
Контрольные вопросы 1. Перечислите правила построения сетей Петри. 2. Перечислите элементы сети Петри. 3. Как используется маркировка при анализе работы сети Петри? 50 4. Дайте формальное описание принципа работы автомата Мили. 5. Как строится граф смены состояний автомата Мили? 6. Дайте формальное описание принципа работы автомата Мура. 7. Как строится граф смены состояний автомата Мура? 8. Приведите пример недетерминированного конечного авто- мата Мили. 9. Приведите пример недетерминированного конечного авто- мата Мура. 10. Перечислите правила составления агрегатной модели системы. 5.2. Динамические системы Непрерывно-детерминированные модели, пространство состояния, ре- гулятор состояния, наблюдатель состояния, настройка регулятора состоя- ния и наблюдателя состояния. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) Для описания поведения системы может быть использовано ли- нейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициен- тами n-го порядка. Такое уравнение называется уравнением «вход- выход» и оно справедливо для системы, показанной на рис. 5.10. Решение уравнения зависит [2]: от входного воздействия u(t); от начальных условий. Уравнение «вход–выход» представляет собой линейное диффе- ренциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка: 1 1 0 1 , n n n n n n d y d y a a a y K u dt dt (5.13) где K – коэффициент усиления системы, y – выходной сигнал систе- мы, u – входной сигнал системы, a n , ..., a 0 – коэффициенты уравнения. Рис. 5.10. Вход–выход системы Введем в рассмотрение переменные состояния: 1 1 2 1 ; , ..., n n n dy d y x y x x dt dt Для более компактного описания производную можно обозна- чить в виде: dy y dt 51 С учетом введенных обозначений для переменных состояния уравнение (5.13) может быть представлено в матричном виде [10]: , x A x b u y c x d u (5.14) Полученные уравнения – описание системы в пространстве со- стояний. Матрица и вектора ( ) ( 1) (1 ) (1 1) , , , n n n n A b c d Начальные условия 1 (0), ..., (0). n x x Вектор состояния 1 2 n x x x x Матрица системы: 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 1 n n n A a a a a Вектора коэффициентов входных воздействий: 0 0 ; 1 0 0 ... 0 ; 0. n b c d K a Пространство, координатами которого являются переменные 1 2 , , ... , , n x x x называется пространством состояний. Размерность про- странства состояний равна порядку системы дифференциальных уравнений. Если перейти от функции времени к преобразованию по Лапласу, то получают передаточную функцию системы. Для этого введем услов- ное обозначение производной, используя ее изображение по Лапласу: d s dt 52 Получим передаточную функцию системы W(s) на основе выра- жения (5.14): ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ). sx s A x s b u s y s c x s d u s Выполним преобразования: 1 1 ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) [ ( ) ] ( ). sE A x s b u s x s sE A b u s y s c sE A b d u s В результате получим: 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) y s W s c sE A b d u s (5.15) где E – единичная матрица 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 E Передаточная функция определяет характер преобразования системой входного воздействия u в выходной сигнал y. В соответствии с выражением (5.15) для передаточной функции исследуемую систему можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 5.11. Рис. 5.11. Динамическая система: d – коэффициент учета прямого воздействия входного сигнала на выходной сигнала; E – единичная матрица; s – оператор Лапласа; x – вектор параметров состояния 53 Если перейти от матриц и векторов в выражении (5.15) к скаляр- ным величинам получим выражение для передаточной функции в виде: 1 2 2 1 2 2 1 0 ( ) , n n n n n K W s s s s s s (5.16) где 0 1 2 2 1 1 2 2 1 0 ; ; ; ; ; n n n n n n n n n n a a a a a K K a a a a a a При известной передаточной функции системы, всегда можно перейти к описанию системы в пространстве состояний. Рассмотрим пример получения описания в пространстве состояний по передаточ- ной функции: 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 y s K W s u s T s T s Приведем передаточную функцию к виду: 2 1 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 ( ) ; 1 ; ; K W s s s T K K T T T Получим уравнение «вход–выход»: 2 1 0 2 1 0 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); K y s W s u s s s s y s y s s y s K u s ; ( ) ( ); s s t 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ). y t y t y t K u t Введем параметры состояния: 1 2 ( ); ( ). x y t x y t Получим уравнения системы в пространстве состояния: 1 2 2 1 2 0 1 ; x x x x x K u В окончательном виде уравнения примут вид: 1 2 2 1 2 0 1 ; x x x K u x x Матрицы и вектора системы: ; ; x Ax bu y cx 54 0 1 0 1 ; A 0 ; b K 1 2 ; x x x 1 0 y x Регулирование по состоянию Описание системы в пространстве состояний позволяет выпол- нить расчет регулятора состояния для обеспечения желаемого харак- тера изменения выходного сигнала y при подаче на вход системы за- дающего сигнала [10] (рис. 5.12). Рис. 5.12. Система с регулятором состояния: u z – задающий сигнал; u r – сигнал регулятора; k – вектор коэффициентов усиления регулятора; N – масштабный коэффициент усиления задающего сигнала Регулятор состояния получает на вход вектор параметров со- стояния системы, каждый параметр масштабируется коэффициентом усиления вектора k. Полученное скалярное значение вычитается из масштабированного задающего сигнала. Таким образом, регулятор состояния формирует сигнал регулирования в виде [10]: 1 2 [ , , ..., ]; n r z k k k k u u N k x Такой регулятор состояния – регулятор состояния по полному вектору состояния системы. Следует иметь в виду, что регулятор со- стояния может быть рассчитан для систем c не вырожденной матри- цей регулирования R [10]: 2 1 [ , , , ..., ]; n R b Ab A b A b Det R 0. Наблюдатель состояния Практическая реализация регулятора состояния требует изме- рения всех параметров состояния системы. Обычно доступен для из- мерения только выходной сигнал системы. Для получения полной ин- формации о векторе состояния используют наблюдатель [10]. Блок- схема системы с наблюдателем состояния показана на рис. 5.13. 55 Рис. 5.13. Полный наблюдатель состояния: l(n 1) – вектор коэффициентов усиления наблюдателя; y ош = y – y в Наблюдатель состояния – модель системы, которая работает па- раллельно с ней. На входы наблюдателя подают сигнал регулирования и выходной сигнал системы. Выходной сигнал системы y сравнивается с восстановленным сигналом выхода y в и вычисляется разность y ош – ошибка восстановления. Ошибка масштабируется коэффициентами усиления модели наблюдателя и добавляется в модель системы. Ко- эффициенты усиления наблюдателя выбираются таким образом, что бы свести ошибку восстановления к минимуму. Регулятор состояния по восстановленному вектору состояния показан на рис. 5.14. Рис. 5.14. Регулирование по восстановленному вектору состояния Вычисление коэффициентов усиления регулятора состояния Определение коэффициентов усиления требует проведения вы- числения с помощью матричного уравнения 5.17. 2 0 0 1 1 1 1 1 [ , , ..., ] , n n r n n n n n p p A k k T g g g p A p A (5.17) 56 где 1 2 1 n n p p R p p – строка. Вычисления требуют задания характеристического полинома замкнутой системы по состоянию 1 2 1 2 1 0 ( ) n n n Nr s s g s g s g s g При известном характеристическом полиноме передаточной функции 5.16 исходной системы 1 2 1 2 1 0 ( ) n n n N s s s s s Замыкание системы по состоянию приводит к изменению мас- штаба отработки системой задающего сигнала в установившемся ре- жиме. В системе имеет место статическая ошибка. Для ее устранения вычисляют коэффициент масштабирования N задающего сигнала. Выражение для значения N получают с помощью уравнения ( ) 0. A b k x b N u (5.18) Уравнение справедливо для систем с регулятором состояния в установившемся режиме. Получим уравнение для вектора состояния 1 ( ) x A b k b N u (5.19) Выходной сигнал системы в установившемся режиме будет иметь вид , y cx c учетом (5.19) получим 1 ( ( ) ) y c A b k b N u Учитывая, что выход системы в установившемся режиме будет равен входному сигналу , y u получим уравнение для вычисления значения N 1 1 ( ( ) ) . N c A b k b (5.20) Вычисление коэффициентов усиления наблюдателя Расчет коэффициентов возможен только для полностью наблю- даемых систем. У таких систем должна быть не вырождена матица наблюдаемости [10] 2 1 , n c cA O cA cA Det O 0. 57 Вектор коэффициентов усиления наблюдателя вычисляют с по- мощью формулы 0 0 1 1 1 2 1 2 2 1 1 , , , ..., , n o n n n n n n z z l T l t At A t A t z z (5.21) где 1 1 2 [ | | ... | ] n n O t t t t – столбец. Вычисления производят на основе заданного характеристиче- ского полинома наблюдателя 1 2 1 2 1 0 ( ) n n n No s s z s z s z s z При известном характеристическом полиноме передаточной функции системы (5.16). Канонические формы систем В общем виде передаточная функция системы имеет вид: 2 2 1 0 1 2 1 2 1 0 ( ) , ( ) m m n n n b s b s b s b y s u s s s s s (5.22) ( ) ( ) ( ) ( ) y s M s u s N s Структурная схема такой системы показана на рис. 5.15. Рис. 5.15. Структурная схема системы с передаточной функцией при m < n; 1/s – изображение интеграла по Лапласу 58 Создать и исследовать можно только такие системы, для кото- рых справедливо неравенство n m [10]. При 0 0; m b K получим упрощенный вариант передаточной функции: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y s M s K u s N s N s Структурная схема такой системы показана на рис. 5.16. Рис. 5.16. Структурная схема системы с передаточной функцией с коэффициентом усиления в числителе Если записать уравнение системы к канонической регулируемой форме с учетом выражения 5.22: 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ; 0 0 0 0 1 0 1 , , , ..., n n n n n m n n x x x x u x x x x x x y b b b b x x , то процедура вычисления коэффициентов усиления регулятора уп- рощается: 0 0 1 1 1 1 , , ..., n n A b k k g g g (5.23) 59 Если описание системы дано в канонической наблюдаемой форме, то можно упростить вычисление коэффициентов усиления на- блюдателя. 1 0 1 0 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ... 1 n m n n n m n n x x b x x b u x x b x x b x x y x x Коэффициенты усиления наблюдателя определяются в виде: 0 0 1 1 1 1 n n z z A l c l z (5.24) Настройка регулятора состояния и наблюдателя Отработка системой задающего сигнала зависит от расположе- ния полюсов ее передаточной функции W(s) , i p a jb где a – вещественное значение, b – мнимое значение полюса. Полюса – корни характеристического полинома N(s) (рис. 5.17). Чтобы система была устойчивой полюса должны располагаться в левой части ком- плексной плоскости. Характер расположения полюсов на комплексной плоскости определяет качество динамических процессов в системе: вид переходного процесса: монотонный или колебательный; быстродействие системы. Замыкание системы по ее состоянию требует получение таких значений коэффициентов усиления k, чтобы замкнутая система полу- чила передаточную функцию: ( ) ( ) ( ) ( ) y s M s u s Nr s Выбор Nr(s) должен быть таким, чтобы полюса системы были расположены заданным образом [10]. Выбор полинома Nr удобно производить, используя стандартные формы требуемого вида. Стандартная форма – это эмпирически по- 60 лученный полином, обеспечивающий определенный вид переходного процесса в системе. При этом под переходным процессом понимается реакция системы при подаче на ее вход ступенчатого задающего сиг- нала. Приведем примеры стандартных форм для n = 1–3. Рис. 5.17. Полюса системы, система второго порядка Биномиальная форма: 0 2 2 0 0 3 2 2 3 0 0 0 ; 2 ; 3 3 s s s s s s Обеспечивает монотонный характер протекания переходного процесса. Быстродействие системы зависит от параметра 0 . Чем выше это значение, тем быстрее завершается переходный процесс. На рис. 5.18 показан переходный процесс в системе. Видно, что при 0 = 1 переходный процесс протекает быстрее. 0 = 0,5 0 = 1,0 Рис. 5.18. Переходные процессы, биномиальная форма; система третьего порядка 61 Стандартная форма, обеспечивающая минимум функционала: 0 | ( ) | ; I t e t dt ( ) ( ) ( ); z e t u t y t 0 2 2 0 0 3 2 2 3 0 0 0 ; 1,4 ; 1,75 2,15 s s s s s s Переходные процессы показаны на рис. 5.19. Сравнивая пере- ходные процессы двух стандартных форм, можно сделать вывод, что вторая форма обеспечивает более быстрый характер протекания пе- реходного процесса уже при значении 0 = 0,5. При настройке наблюдателя выбирают стандартную форму для No(s ) со значением 0 . Для систем с наблюдателем 0 0 0 = 0,5 0 = 1,0 Рис. 5.19. Переходные процессы; интегральный критерий; система третьего порядка |