лекции по менеджменту. лекции. Курс лекций по дисциплине Моделирование систем предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавриата 09. 03. 01

• Название: Курс лекций по дисциплине Моделирование систем предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавриата 09. 03. 01
• Анкор: лекции по менеджменту
• Дата: 21.12.2020
• Размер: 1.74 Mb.
• Имя файла: лекции.pdf
• Тип: Курс лекций; #162568
• страница: 7 из 8

Экспоненциальная модель
Выход системы описывается выражением:
0 1
1 2
2
m
m
B
B X
B X
B
X
Y
e
(6.22)
Прологарифмируем левую и правую части уравнения:
0 1
1 2
2
ln( )
m
m
Y
B
B X
B
X
B
X
(6.23)

71
Выполним замену W = ln(Y) и получим линейную модель:
0 1
1 2
2
m
m
W
B
B X
B
X
B
X
(6.24)
Контрольные вопросы
1.
Перечислите виды физических моделей систем.
2.
Что такое математическая и имитационная модели?
3.
Опишите алгоритм использования метода Монте-Карло?
4.
Как выполняется планирование и проведение эксперимента?
5.
В чем разница между пассивным активным экспериментом?
6.
Дайте классификацию экспериментов.
7.
Как выполнятся линейная регрессия для систем с одним вхо- дом и выходом?
8.
Как выполняется линейная регрессия для систем с нелиней- ным выходом?
ЛЕКЦИЯ №7. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Понятие случайной величины, характеристики случайной величины, опи-
сательная статистика, статистические параметры, законы распределения
случайной величины.
Случайная величина (СВ) – это численная характеристика, из- меряемая по ходу опыта и зависящая от случайного исхода. Каждая
СВ задает распределение вероятностей. Вероятность показывает степень возможности осуществления данного события, явления, ре- зультата. Вероятность невозможного события равна нулю, достовер- ного события – единице (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1 – в зависимости от того, насколько это событие случайно.
Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, только тогда, когда событие наблюдается не каждый раз, либо собы- тие может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события
( )
n
f A
m
(7.1)
Это отношение числа случаев появления n (благоприятных ис- ходов) события к общему числу наблюдений m.
Существует два вида выборок СВ: зависимые и независимые.
Если результаты измерения некоторого свойства у объектов первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки, то такие выборки считаются независимыми.
В тех случаях, когда результаты одной выборки влияют на ре- зультаты другой выборки, выборки считают зависимыми. Событие А

72 не зависит от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло или нет событие В. События А и В независимы, если
(
)
( ) ( ).
P AB
P A P B
(7.2)
Случайная величина бывает дискретной (можно пронумеровать ее возможные значения), например, выпадение игральной кости = 4,
6, 2, 1, 5, 3.
Непрерывной (ее функция распределения F(x) – непре- рывна), например, время службы осветительной лампы. Случайная величина имеет две характеристики.
Математическое ожидание – числовая характеристика СВ, при- ближенно равная среднему значению СВ
1 1
2 2
( )
,
n
n
M x
x p
x p
x p
(7.3) где p
i
– вероятность появления значения случайной величины x
i
Дисперсия случайной величины
2 2
2 1
1 2
2
( )
(
)
(
)
(
) ,
n
n
D x
p x
x
p x
x
p x
x
(7.4) где x – арифметическое среднее значение СВ.
Для непрерывно распределенной случайной величины X боль- шую роль в ее описании играет функция, обозначаемая обычно p(x),
называемая плотностью вероятности (или дифференциальным зако- ном распределения).
Содержательный смысл р(х)заключается в том, что для всякой точки x
0
[a; b
] и взятого около нее малого приращения dx произведе- ние p(x
0
)dx
является вероятностью того, что случайная переменная примет значение, заключенное между х
0
и x
0
+ dx.
Поскольку какое-нибудь значение из [а; b]случайная величина примет наверняка, то
( )
1.
b
a
p x dx
(7.5)
Это условие нормировки для р(х).
Оценивая выборку, следует предварительно сделать заключе- ние о том, какой вид имеет функция распределения величины X, либо каковы значения наиболее часто используемых параметров распре- деления (таких, как математическое ожидание, дисперсия).
Правдоподобную гипотезу о форме функции p(x) (плотности ве- роятности) можно попытаться сформулировать по столбчатой диа- грамме (гистограмме), построенной с помощью случайной выборки.
Допустим, что случайная величина X ограничена отрезком [a; b]
(если a, bзаранее неизвестны, то в качестве них можно принять наи- меньшее и наибольшее из выборочных значений х).Разделим отрезок
[a; b]
на m равных частей и подсчитаем n
i
– число членов выборки, по- падающих в i-й участок (при этом m берется таким, чтобы в каждую часть попало много членов выборки, т.е. заведомо m много меньше n).
На рис. 7.1 показан типичный вид гистограмммы.

73
Рис. 7.1. Гистограмма
b
a
h
m
Описательная статистика
Раздел математической статистики предназначен для представ- ления данных в удобном виде и описания информации в терминах математической статистики и теории вероятностей. Основной величи- ной в статистических измерениях является единица статистической совокупности. Единица статистической совокупности характеризуется набором признаков или параметров.
Значения каждого параметра или признака могут быть различ- ными и в целом образовывать ряд случайных значений x
1
,
х
2
, …, х
n
Переменная – это параметр измерения, который можно контро- лировать или которым можно манипулировать в исследовании.
Относительное значение параметра – это отношение числа объектов, имеющих этот показатель, к величине выборки. Выражается относительным числом или в процентах (процентное значение).
Удельное значение признака – это расчетная величина, показы- вающая количество объектов с данным показателем, которое содер- жалось бы в условной выборке, состоящей из 10, или 100, 1000 и т.д. объектов.
Рассмотрим показатели описательной статистики, используемые для оценки результатов эксперимента.
Минимальное и максимальное значения переменной.
Среднее (оценка среднего, выборочное среднее) – сумма значе- ний переменной, деленная на n (число значений переменной).
1 1
2
N
i
i
N
x
x
x
x
x
N
N
(7.6)

74
Выборочное среднее. Это значение случайной величины сумма отклонений наблюдений от которой равна 0. Формально это записы- вается следующим образом:
1 2
(
) (
) ... (
)
0.
n
x
x
x
x
x
x
(7.7)
Для оценки степени разброса (отклонения) какого-то показателя от его среднего значения, наряду с максимальным и минимальным значе- ниями, используются понятия дисперсии и стандартного отклонения.
Дисперсия выборки или выборочная дисперсия – это мера из- менчивости переменной. Термин впервые был введен Фишером в
1918 году. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
2 2
1
(
)
N
i
i
x
x
N
(7.8)
Дисперсия меняется от нуля до бесконечности. Крайнее значе- ние 0 означает отсутствие изменчивости, когда значения переменной постоянны.
Стандартное отклонение, среднее квадратическое отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии и обозначается .
Чем выше дисперсия или стандартное отклонение, тем сильнее разбросаны значения переменной относительно среднего.
Медиана разбивает выборку на две равные части. Половина зна- чений переменной лежит ниже медианы, половина значений лежит вы- ше. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены зна- чения переменной, иными словами, где находится ее центр. Для нахож- дения медианы измерения записывают в ряд по возрастанию значений.
Если число измерений N нечетное, то медиана численно равна значе- нию этого ряда, стоящему точно в середине, или на (N + 1)/2 месте.
Например, медиана пяти измерений:
10, 17, 21, 24, 25
– равна 21. Это значение, стоящее на третьем месте (N + 1)/2 = (5 + 1)/2 = 3.
Если число измерений четное, то медиана численно равна сред- нему арифметическому значений ряда, стоящих в середине, или на
N
/2 и N/2 + 1 местах.
Например, медиана восьми измерений:
5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9
– равна 7,5 (7 + 8)/2 = 7,5. Это среднее ариф- метическое значение ряда, стоящее на четвертом и пятом местах ря- да. Так как N/2 = 8/2 = 4 и N/2 + 1 = 4 + 1 = 5.
Квартили (от слова кварта – четверть) представляют собой зна- чения, которые делят две половины выборки разбитые медианой еще раз пополам.
Различают верхнюю квартиль, которая больше медианы и делит пополам верхнюю часть выборки (значения переменной больше ме-

75 дианы), и нижнюю квартиль, которая меньше медианы и делит попо- лам нижнюю часть выборки.
Нижнюю квартиль часто обозначают символом 25%, это означа- ет, что 25% значений переменной меньше нижней квартили.
Верхнюю квартиль часто обозначают символом 75%, это озна- чает, что 75% значений переменной меньше верхней квартили.
Мода представляет собой максимально часто встречающееся значение переменной (иными словами, наиболее «модное» значение переменной). Редкая совокупность имеет единственную моду. (На- пример: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 – мода = 9).
Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мульти модально или много модально (имеет два или более «пика»).
Асимметрия – это свойство распределения выборки, которое ха- рактеризует несимметричность распределения СВ. На практике сим- метричные распределения встречаются редко и чтобы выявить и оце- нить степень асимметрии, вводят следующую меру:
3 33 3
(
) /
i
x
x
n
A
(7.9)
Асимметрия бывает положительной и отрицательной. Положи- тельная асимметрия сдвигает влево кривую распределения относи- тельно математического ожидания, а отрицательная – вправо.
Эксцесс – это мера крутости кривой распределения. Эксцесс равен:
4 4
(
) /
3.
i
x
x
x
x
n
E
(7.10)
Виды распределений, дискретные законы распределения
Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения x
i
. В этом случае ряд значений веро- ятностей p(x
i
) для всех (i = 1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.
Биномиальное распределение (распределение Бернулли). Воз- никает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых на- блюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.
Пусть известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем, тогда (1 – p) = q – ве- роятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется по- купателем.
Если x – число покупателей из общего числа n посетителей, то ве- роятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна:
(
)
!
,
!(
)!
k
n k
k
k
n k
X k
n
n
P
p q
C p q
k n
k
(7.11) где k = 0, 1, … n.

76
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслужи- вания где в течение определенного времени может происходить слу- чайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефон- ных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).
Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром = аТ, где а > 0 – па- раметр задачи, отражающий среднюю частоту событий [1, 5, 11].
(
)
!
k
Z k
P
e
k
(7.12)
Вероятность k событий в течение большого интервала времени.
Непрерывные законы распределения
Нормальное распределение занимает центральное место в тео- рии и практике вероятностно-статистических исследований. Непре- рывная случайная величина Х называется распределенной по нор- мальному закону, если ее плотность распределения равна:
2 1
1
( )
exp
(
) ,
2 2
,
0,
x
p x
x
(7.13)
Рис. 7.2. Плотность вероятности для нормального распределения;
S
1
, S
2
, S
3
– стандартное отклонение
Математическое ожидание случайной величины, s = стандарт- ное квадратичное отклонение. Нормальное распределение с пара- метрами = 0 и = 1 называется нормированным
2 2
1
( )
2
x
p x
e
(7.14)

77
Равномерное распределение
Плотность вероятности равномерного распределения равна:
1
( )
p x
N
(7.15)
Равномерное распределение вероятностей является простей- шим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же.
Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а; b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю (рис. 7.3):
0 при
,
1
( )
при
,
0 при
x
a
p x
a
x
b
b
a
x
b
(7.16)
Рис. 7.3. Плотность вероятности равномерного распределения
Равномерно распределенное случайное число можно получить, если использовать стандартный генератор случайных чисел ЭВМ. Для генерации числа используется формула:
2 1
1
(
1)
p
n
n
r
n
(7.17)
Здесь n
2
> n
1
границы диапазона генерации случайного числа r – равномерно-распределенное случайное число, полученное от ГСЧ [3, 4].
Генерация случайного числа в коде Java:
double n2=20,n1=5;
double r=(n2-n1+1)*Math.random()+n1;

78
Контрольные вопросы
1.
Охарактеризуйте понятие случайной величины.
2.
В чем разница между вероятностью и частотой появления события?
3.
Что такое математическое ожидание и дисперсия случайной величины?
4.
Что такое плотность распределения случайной величины?
5.
Как получить закон распределения случайной величины?
6.
Перечислите параметры описательной статистики.
7.
Приведите примеры законов дискретных законов распределе- ния случайной величины.
8.
Приведите примеры непрерывных законов распределения слу- чайной величины.
9.
Как выполняется генерация равномерно случайного числа пу- тем использования встроенного генератора случайных чисел ЭВМ?
ЛЕКЦИЯ №8. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ
Понятие статистической гипотезы, нулевая гипотеза, ошибки при про-
верке гипотезы, методы проверки статистической гипотезы.
Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах слу- чайных величин или событий, которое нужно проверить по имеющим- ся данным.
Нулевая гипотеза – это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений вы- борочных характеристик.
Например: имеется механическое устройство, выходное звено которого совершает вращательное движение.
Гипотеза: увеличение скорости вращения выходного звена не влияет на устойчивость процессов внутри механизма.
Другое проверяемое предположение (не всегда строго противо- положное или обратное первому) называется конкурирующей или альтернативной гипотезой.
Нулевая гипотеза обозначается Н
0
, а альтернативная как Н
1
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, по- этому возникает необходимость проверить ее. Так как проверку про- изводят статистическими методами, то данная проверка называется статистической.
При проверке статистических гипотез возможны ошибки (оши- бочные суждения) двух видов:
H
0
= TRUE;
H
1
= FALSE.

79
Можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода);
Если имеет место:
H
0
= FALSE;
H
1
= TRUE.
Можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка второго рода).
Ошибка, состоящая в принятии нулевой гипотезы, когда она ложна, качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении гипотезы, когда она истинна. Эта разница очень существенна вслед- ствие того, что различна значимость этих ошибок.
Допустимая вероятность ошибки первого рода (Р
кр
) может быть равна 5% или 1% (0.05 или 0.01). Уровень значимости – это вероят- ность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность оши- бочного отклонения нулевой гипотезы). Альтернативные гипотезы при- нимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза.
Риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтерна- тивную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода: первый уровень – 5% (р = 5%), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экс- периментов; второй уровень – 1%, т.е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста; третий уровень – 0,1%, т.е. допускается риск ошибиться толь- ко в одном случае из тысячи.