Статистика. Курс лекций по теории статистики

• Название: Курс лекций по теории статистики
• Анкор: Статистика
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 3.05 Mb.
• Имя файла: Teoria_statistikiLektsii.doc
• Тип: Курс лекций; #347192
• страница: 27 из 37

9.7. Ранговые коэффициенты связи

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг - это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена( ) и Кендалла ( ). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками.
Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:
(8.19)
где - квадраты разности рангов;

- число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале .

Пример. По данным группам предприятий, выставившим акции на чековые аукционы в 1996 г. определить с помощью коэффициента Спирмена зависимость между величиной уставного капитала и количеством выставленных акций.

Таблица 8.12

Расчет коэффициента Спирмена

№ предприятия	Уставной капитал (млн. руб.) (X)	Число выставленных акций (Y)	Ранги		Разность рангов
1	2	3	8	9	10	11
1	2954	856	9	7	2	4
2	1605	930	1	9	-8	64
3	4102	1563	10	10	0	0
4	2350	682	6	5	1	1
5	2625	616	7	3	4	16
6	1795	495	4	2	2	4
7	2813	815	8	6	2	4
8	1751	858	3	8	-5	25
9	1700	467	2	1	1	1
10	2264	661	5	4	1	1
						120

(связь слабая).

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла ( ) также может использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:

(8.20)

где - число наблюдений;

- сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1. Значения ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2. Значения располагаются в порядке, соответствующем значениям ;

3. Для каждого ранга определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа определяется величина , как мера соответствия последовательностей рангов по и и учитывается со знаком (+);

4. Для каждого ранга определяется число следующих за ним значений рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через и фиксируется со знаком (-);

5. Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

В приведенном примере (таблица 8.12)





Таким образом:



что свидетельствует о практическом отсутствии связи между рассматриваемыми признаками.
Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме совокупности значения данных коэффициентов имеют следующую зависимость:



Связь между признаками признается статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) , который вычисляется по формуле:

(8.21)

где - количество факторов

- число наблюдений

- отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Пример. Одновременно с проведенными выше расчетами определялась теснота связи между уставным капиталом, числом выставленных акций и числом занятых на этих предприятиях.

Таблица 8.13
Расчет коэффициента конкордации

№ предприятия	Уставной капитал (млн. руб.) (X)	Число выставленных акций (Y)	Число занятых на предприятиях (Z)				Сумма строк	Квадраты сумм
1	2954	856	119	9	7	1	17	289
2	1605	930	125	1	9	2	12	144
3	4102	1563	132	10	10	3	23	529
4	2350	682	141	6	5	4	15	225
5	2625	616	150	7	3	5	15	225
6	1795	495	165	4	2	6	12	144
7	2813	815	178	8	6	7	21	441
8	1751	858	181	3	8	8	19	361
9	1700	467	201	2	1	9	12	144
10	2264	661	204	5	4	10	19	361
							165	2863

,

что свидетельствует о слабой связи между рассматриваемыми признаками.
Ранговые коэффициенты Спирмена, Кендалла и конкордации имеют то преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.