Курсовая работа СМО Гангур. Курсовая работа методы решения задач оптимизации по дисциплине Методы оптимизации Направление подготовки
 Скачать 490.03 Kb.
|
Многокритериальная оптимизация.Многокритериальная оптимизация - это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определения. Задача многокритериальной оптимизации встречаются во многих областях науки, техники и экономики. Достаточно часто в реальных ситуациях качество эксплуатации исследуемого объекта или системы оценивается не единственным критерием или показателем качества, а совокупностью таких критериев, причем представляющих одинаково значимыми. Такая постановка задачи приводит к задаче оптимизации с векторной целевой функцией, которая должна трактоваться неким определенным образом. Как правило, относительная значимость этих целей в общем неизвестна до тех пор, пока не будут определены все основные свойства системы и не будут полностью истолкованы все возможные взаимосвязи. По мере того, как число возможных целей возрастает, то, очевидно, что эти взаимосвязи образуют сложную структуру и их становятся труднее идентифицировать. В данном случае многое зависит от интуиции исследователя и его или ее умения точно выражать те или иные предпочтения в процессе оптимизации. Таким образом, стратегия построения многокритериальной оптимизации состоит, прежде всего, в способности адекватно определить постановку задачи так, чтобы эта задача допускала свое решение, а также выразить необходимые предпочтения в виде числовых зависимостей и сохранив при этом реальность поставленной задачи. Пример 1.Из железного листа, имеющего форму квадрата со стороной L, требуется скроить коробку максимально возможного объема V при минимальных отходах материала. Вырезав из листа четыре квадрата с неизвестной пока стороной х и ,согнув по линиям, отмеченным пунктиром, мы получим коробку, объем V(x) которой равен (напомним, что объем параллелепипеда равен произведению площади его основания, умноженной на высоту данного параллелепипеда): V(x)= (L – 2x)2∙x. При этом теряется железо общей площадью S(x)=4x2(площадь четырех вырезанных квадратов). По условию задачи требуется одновременное выполнение двух условий (критериев): V(x)=x∙(L – 2x)2→max, S(x)=4x2→min, где0 ≤ x ≤ L/2. Неравенства 0 ≤ x ≤ L/2очевидны: если x = 0, то лист железа вообще не режем; если x=L/2, то весь лист уходит в отходы. Таким образом, переменная задачи x принимает следующие значения:0 ≤ x ≤ L/2. Графики функций y = x∙(L – 2x)2 иy = 4x2, заданных на отрезке [0, L/2] оси OX представлены на рис. 2. Максимум функции V(x) достигается в точке x* = L/6. Минимум функции S(x) достигается в точке x** = 0. Ясно, что одновременно удовлетворить обоим критериям невозможно: минимальные отходы Sminполучаются при х = 0 (не резать вообще), а максимального объемаVmax коробка достигает при х = L/6. Как формируется задача многокритериальной оптимизации?Обозначим через X вектор переменных модели, пусть X = {x1, x2, …, xn}. Обозначим i-й частный критерий оптимальности через Zi, (i=1, …, m). Обозначим через Q множество допустимых значений переменных модели. Тогда для каждого вектора X, принадлежащего множеству Q, определено значение i-го частного критерия оптимальности Zi(Х), (i=1, …, m). В многокритериальной задаче оптимизации каждому допустимому значению вектора X(Xпринадлежит множеству Q)ставится в соответствие вектор критериев Z(X)={Z1(X), Z2(X), …, Zm(X)}. То есть на множестве допустимых решений Q определена вектор-функция Z: Q → Z(Q), такая, что Z(X)={Z1(X), Z2(X), …, Zm(X)}, XQ. Таким образом, вектор критериев Z– это вектор-функция m переменныхZi, (i = 1, …, m); при этом каждая компонента Zi, (i = 1, …, m), ставит в соответствие каждому вектору X из множества Q значениеi-го частного критерия оптимальности Zi(X). Другими словами, на множестве Q задается упорядоченный набор Z= {Z1, Z2, …, Zm}, состоящий из mфункций Zi, (i = 1, …, m), каждая из которых ставит в соответствие векторуX значение определенного критерия Zi(X) где вектор X – произвольное допустимое решение (вектор переменных модели). Если учесть, что изменением знака функции всегда можно свести задачу минимизации к задаче максимизации, то кратко задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом. Z(X)={Z1(X); Z2(X); …, Zm(X)} → max, (1) при условии, что вектор X принадлежит множеству допустимых решений Q. (2) |