лекции. 3 Лекции НСХТ. Лекции по дисциплине Надежность сельскохозяйственной техники Тема 1. Введение. Цель и задачи курса. Цель Изучение теории надежности транспортной техники План
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
Тема №3,4 Случайные события и их вероятности. Независимые случайные события. Цель: Изучение основных понятий теории надежности технологических машин. План: 1. Случайные величины и их характеристика. 2. Статистическая оценка параметров надежности. 3. Характеристика случайности событий применительно к отказу объектов. 4. Формулы теории вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. 3.1 Случайные величины и их характеристика Внезапные отказы определяются случайными неблагоприятными сочетаниями нескольких факторов. Случайность связана с тем, что причины событий остаются для нас скрытыми. Рассеяние ресурсов по критерию усталости (оцениваемое отношением наибольшего ресурса к наименьшему) достигает для подшипников - 40, для зубчатых передач 10-15. Рассеяние ресурсов по износу также велико. Существенное рассеяние имеют действующие нагрузки, механические характеристики материалов и деталей, зазоры и натяги. Поэтому в расчетах надежности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами. Они могут быть непрерывного или прерывного (дискретного) типа. Для каждого числа x в диапазоне изменения случайной величины X существует определенная вероятность Р (Х < х ), что Х не превосходит х. Эта зависимость F(x) = P (X < x) называется функцией распределения или функцией вероятности случайной величины Х. Функция F(x) является неубывающей функцией х (монотонно возрастающей для непрерывных процессов и ступенчато возрастающей для дискретных процессов). В пределах изменения случайной величины Х она изменяется от 0 до1. Производная от функции распределения по текущей переменной F(x) =  (1)называется плотностью распределения. Она характеризует частость повторений данного значения переменной величины. В ряде случаев достаточно характеризовать распределение случайной величины математическим ожиданием (средним значением), модой и медианой, характеризующими положение центров группирования случайных величин по числовой оси, дисперсией, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации, характеризующими рассеяние случайной величины. Математическое ожидание (среднее значение) mx – основная и простейшая характеристика случайной величины Х. Значение математического ожидания, определяемое по результатам наблюдений, называют оценкой среднего значения  : = ∑ xi / N (2)При достаточно большом числе наблюдений полагают, что mx = Дисперсия случайной величины - математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Оценка дисперсии случайной величины- среднее значение квадрата разности между значениями случайной величины и ее средним значением:  =  ∑(xi - )2 (3)Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Так как удобнее пользоваться характеристикой рассеяния, имеющей ту же размерность, что и случайная величина, то была введена характеристика – среднее квадратическое отклонение, представляющее собой корень квадратный из дисперсии. Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, т.е. υx = Sx/mx. Квантилью называют значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Квантиль, соответствующая вероятности 0,5, называется медианой.. Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение или, то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна. 3.2 Статистическая оценка параметров надежности Существенное рассеивание основных параметров надежности предопределяет необходимость рассматривать ее в вероятностном аспекте. Параметры надежности используются в статистической трактовке для оценки состояния и в вероятностной трактовке для прогнозирования. Первые выражаются в дискретных числах, их в теории вероятности и математической теории надежности называют оценками. При достаточно большом количестве испытаний они принимаются за истинные характеристики надежности. Рассмотрим проведенные для оценки надежности испытания или эксплуатацию значительного числа N элементов в течение времени t .Пусть к концу испытания или срока эксплуатации останется Nр работоспособных (не отказавших) элементов и n отказавших. Тогда относительное количество отказов Q(t) = n /N . Если испытание проводится как выборочное, то Q(t) можно рассматривать как статистическую оценку вероятности отказа или, если N достаточно велико, как вероятность отказа. Когда необходимо подчеркивать отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности, оценка снабжается знаком звездочки, в частности Q*(t). Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов P(t) =  = 1 -  (4)Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятности равна 1: P(t) + Q(t) = 1. (5) Распределение отказов по времени характеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа. В статистической трактовке f(t) =  =  , в вероятностной трактовке f(t) =  . Здесь ∆n и ∆Q(t) -приращение числа отказавших объектов и соответственно вероятности отказов за время ∆t.Интенсивность отказов λ(t) в отличие от плотности распределения относится к числу объектов Nр, оставшихся работоспособными, а не к общему числу объектов. Соответственно в статистической трактовке λ(t) =  (6)и в вероятностной трактовке, учитывая, что Nр /N = P(t), λ(t) =  λ(t) (7)Для вероятности безотказной работы может быть получено следующее выражение: P(t) = exp (-  ) (8)Это соотношение является одним из основных уравнений теории надежности. К числу важнейших общих зависимостей надежности относятся зависимости надежности систем от надежности элементов. Исходя из теоремы умножения вероятностей, вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов. Обычно вероятность безотказной работы элементов достаточно высока, поэтому, пользуясь теорией приближенных вычислений, получаем: Рст = 1- nQ(t) (9) Пусть в системе из шести одинаковых элементов P1(t) =0,99. Тогда Q(t) =0,01 и Рст(t) =0,94. Вероятность безотказной работы нужно уметь определять для любого промежутка времени. По теореме умножения вероятностей P(T+t) = P(T) P(t) или P(t) =  (10)3.3 Характеристика случайности событий применительно к отказу объектов В результате технические объекты подвергаются не только переменным, но и случайным воздействиям. Поэтому для анализа и контроля надежности используется теория вероятностей и математическая статистика. Методы исследований надежности основаны на том, что отказ - случайное событие и для его предупреждения необходимо знать физические причины и закономерности возникновения и развития его. В теории вероятности и основанной на ней математической статистике применяют ряд специфических понятий, основными из которых служат следующие: испытание (опыт), событие, случайная величина, вероятность, частота, частость. Испытание (опыт) это практическое создание некоторых условий, влияющих на некоторое физическое явление. Событие-это явление, происходящее в результате испытания (опыта). Достоверным называют такое событие, которое неизбежно произойдет при данных условиях. Невозможным называют событие, которое при тех же условиях произойти не может. Случайным называют событие, которое при данных условиях может произойти, а может и не произойти. С точки зрения количественной характеристики все явления делятся на единичные и массовые. Единичное возникает однократно и при многократном воспроизведении того же опыта практически не повторится. Массовыми называют явления, повторяющиеся при многократном воспроизведении испытаний. Несовместными называют два события, если при испытании появление одного из них исключает появление другого (например: отказ и работоспособность). Совместными называют два события, если появление одного из них не исключает появления второго. Случайная величина – это такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения в определенных пределах. Частота - это число одинаковых или близких появлений события или абсолютных значений случайных величин, соединенных в одну группу(интервал) или разряд. Частость или относительная частота - это частота , выраженная в долях единицы или в процентах от общего числа испытаний или объектов изучаемой совокупности. При проведении большого числа испытаний обнаруживают определенные закономерности в наступлении случайных событий. Изучение этих закономерностей составляет одну из задач теории вероятности. Вероятность – это объективная математическая оценка возможности реализации случайного события или случайной величины. Вероятность события А – это отношение числа случаев, благоприятствующих наступлению данного события, ко всему числу событий. Приближенное равенство P ≈ m/N позволяет определить вероятность Р какого-либо события по эмпирической частости. Вероятность события принято выражать положительным числом, имеющим значения от нуля до единицы, т.е. 0 ≤ Р (А) ≤ 1. Если m = N, то Р(А)=m/N=1 и событие А достоверно(обязательно произойдет); при Р(А)=0 событие невозможно (произойти не может). 3.4. Формулы теории вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей Вероятности случайных событий можно складывать или умножать. Формула сложения вероятностей. Если при испытании может произойти только одно из событий, а вместе они произойти не могут, то они называются несовместными. Это сложное событие событие А называют суммой исходных событий и условно обозначают : А = А1+ А2 + + Аn =  (11)Если вероятности подчиняются таким же соотношениям, что и соответствующие им частоты, то получают формулу (теорему) сложения вероятностей, применяемую для несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких независимых и несовместных однородных (принадлежащих к одной группе событий)событий (или иначе вероятность суммы несовместных событий А1 , А2 , ,Аn) равна сумме вероятностей этих событий: P(A) = P(A1 +A2 + + An )=P(A1) + P(A2) + P(A) + P(An) =  (12)В общем случае для полной группы несовместных событий P(A) = =1 (13)Полная группа событий будет в том случае, если в результате испытаний наступит хотя бы одно из них (например, при длительных испытаниях обязательно появится отказ объекта). Для двух несовместных или противоположных событий А и  , образующих полную группу событий, Р(А) = 1-Р( ) (14)На практике в надежности такими событиями являются состояние работоспособности объекта и отказ. Эти события образуют полную группу, для которой P + q = 1 (15) где Р- вероятность того, что объект будет работоспособным; q – вероятность того, что наступит отказ. Т.к. события противоположны, т.е. появление одного из них достоверно, а совместное появление обоих сразу в одном опыте невозможно, то q = 1 – Р (16) Для двух совместных событий Р(А1+А2)=Р(А1)+Р(А2)–Р(А1,А2) (17) Формула умножения вероятностей. Если два события А и В независимы, т.е. появление одного из них не изменяет вероятности появления другого, то Р(АВ) = Р(А) Р(В), (18) т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. При Р(А) = Р(В) Р(А В) = Р(А)2. Сложное событие А , заключающееся в одновременном осуществлении нескольких событий, называется произведением исходных событий Аi и условно обозначается А = А1 А2 А3 , Аn =  Р(Аi) (19)По теореме умножения вероятностей независимых событий Р(А) = Р(А1 А2 ,Аn) = Р(Аi), (20)если Р(А1) =Р(А2) = Р(А) =Р, то Р(Аi) Рn (21)Для достаточно больших значений P, обозначая через q вероятность противоположного события (Р = 1-q ) Р(А) = (1- q )n (22) Если события несовместны, то произведение таких событий является невозможным событием, вероятность которого равна нулю. Основные характеристики надежности имеют значительный разброс, т.е. они случайные величины, а поэтому при многократном повторении они подчиняются определенным статистически устойчивым законам распределения случайной величины. Список рекомендуемой литературы 1.Ермолов Л.С., Кряжков В.М., Черкун В.Е., - Основы надежности сельскохозяйственной техники. М.: Колос, 1982 2.Ю.Н. Артемьев Качество ремонта и надежность машин в сельском хозяйстве. М, Колос, 1981 3.Д.Н.Решетов, А.С. Иванов, В.З. Фадеев Надежность машины М, Высшая школа, 1988. 4.В.И. Прейсман. Основы надежности сельскохозяйственной техники. Киев-Донецк «Вица школа», 1979. Контрольные вопросы: 1. Как записывается формула плотности распределения случайной величины? 2. Что такое математическое ожидание, дисперсия, коэффициент вариации случайной величины? 3. Как определяется вероятность безотказной работы и интенсивность отказов? 4. Что такое случайная величина, частота, частость, вероятность события А? 5. В каких случаях применяется формула сложения случайных событий и в каких формула умножения вероятностей? Тема № 5,6. Случайные величины и распределение вероятностей. Числовые характеристики распределения вероятностей. Цель: Изучение основных понятий теории надежности технологических машин. План: 1. Место теории вероятности и математической статистики в теории надежности машин. 2. Распределение случайных величин. Закон распределения случайной величины. 3. Характеристики распределения случайной величины. 4. Статистическая оценка надежности. Законы распределения, характеризующие надежность. 5. Критерии согласия. 6. Доверительная вероятность оценки точности определения математического ожидания и дисперсии. 5.1. Необходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики. При работе сельскохозяйственные машины подвергаются воздействию самых различных процессов. Все эти факторы реально существуют и являются объективными. Кроме того, работа машин зависит от субъективности факторов, тоже реально существующих, но связанных с человеком. Перечисленные факторы столь многообразны, что машины одной марки, одного типа будут отличаться по своим характеристикам. Наработку любой машины до отказа или до предельного состояния заранее предугадать нельзя. Любой отказ в работе из-за большого числа действующих факторов следует рассматривать как событие случайное. Закономерности в случайных событиях изучает специальный раздел математики – теория вероятностей. С учетом случайности отказов при работе машин изучение ряда вопросов в теории вероятности строится на основе положения теории вероятностей. Основной характеристикой случайного события является – вероятность. Принято считать, что вероятность достоверного события (такого, которое обязательно произойдет), равна 1. Вероятность же невозможного события (которое в тех же условиях произойти заведомо не может) равна 0. Таким образом, вероятность любого случайного события – есть положительная величина лежащая от 0 до 1. Кроме понятия случайного события в теории вероятности установлено понятие случайной величины, т.е. такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения в определенных пределах. Примерами случайной величины являются ресурс машины, наработка на отказ и др. Различают: непрерывные случайные величины – которые в некотором интервале могут принимать любые значения (величина износа, любой технический параметр машины) и дискретные – которые могут принимать лишь определенные значения (число негодных деталей в партии). Поскольку для установления вероятности какого-либо события необходимо провести бесконечно большое число опытов, то на практике используют раздел теории вероятности – мат. статистику, и вероятность случайного события оценивается статистической вероятностью. Если из N опытов интересующее событие произошло m раз, то статистическая вероятность (частость) отказов W=m/N. При неограниченном увеличении N статистическое значение частости W приближается к некоторому числу Р, называемому вероятностью данного события: Р = limW=lim m/N, т.е. P(A) m/N, (23) где P(A) – вероятность события А; m – число случаев; N – число несовместных, возможных и равнозначных событий. Как правило, при изучении надежности машин имеют дело с несовместимыми случайными событиями, т.е. такими, когда появление одного исключает появление других (например, отказ и работоспособность). Для таких событий в теории вероятности применят теорему сложения вероятностей. Вероятность суммы независимых и несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А) = Р(А1 + А2 +…+ Аn) = P(A0) (24) А также теорему умножения вероятностей: Если два события А и В независимы, т.е. появление одного из них не изменяет вероятность другого, то Р(АВ) = Р(А) * Р(В) – выражает вероятность совместного появления двух независимых событий. |