лекции. Лекции Общая электротехника. Лекции по дисциплине Общая электротехника для студентов специальностей

• Название: Лекции по дисциплине Общая электротехника для студентов специальностей
• Анкор: лекции
• Дата: 17.04.2022
• Размер: 4.27 Mb.
• Имя файла: Лекции Общая электротехника.docx
• Тип: Лекции; #480717
• страница: 3 из 11

2) Последовательное соединение в цепи переменного тока
На рис. 1,а, изображена электрическая цепь последовательно соединенных катушки индуктивности с активным сопротивлениемR и индуктивностью L и конденсатора с емкостью С. Активное сопротивление может также соответствовать сопротивлению какого-либо резистора.R, L и С- это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость С - обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.

Под действием напряжения u = Umsin t источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи: uR, Ri и на элементе с активным сопротивлением;

на элементе с индуктивностью; (6)

на элементе с емкостью. (7)



Рис. 1. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и С:а - схема; б - изменение напряжения и тока; в - векторная диаграмма напряжений и тока
По второму закону Кирхгофадля данной цепи можно записать:

(8)

В результате решения уравнения (8) находится i(t).Полным решением линейного дифференциального уравнения (8) с постоянными коэффициентами является сумма частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

(9)

Уравнение (9) записано по второму закону Кирхгофа для цепи с последовательным соединением элементов R, L и С, когда напряжение источника питания равно нулю, т. е. когда электрическая цепь замкнута накоротко и электрическая энергия извне в цепь не поступает. В этих условиях ток в цепи может существовать только за счет запасов энергии в магнитном поле катушки или в электрическом поле конденсатора. При протекании тока через элемент с сопротивлением R происходит преобразование электроэнергии в тепловую и рассеяние ее в окружающую среду. Поэтому через некоторое время запасы электроэнергии будут израсходованы. Иными словами, ток, найденный в результате решения уравнения (9), через некоторое время будет равен нулю.Время, в течение которого существует этот ток, является временем переходного процесса в цепи и обычно исчисляется долями секунды.
3) Параллельное соединение в цепи переменного тока
Проведем анализ работы электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, С. Рассмотрим следующую схему.



Рис.2 Электрическая цепь с параллельным соединением элементов R, L, С.

Положим, что заданы величины R₁, R₂, L, С, частота f и входное напряжение U. Требуется определить токи в ветвях и ток всей цепи.

В данной схеме две ветви. Согласно свойству параллельного соединения, напряжение на всех ветвях параллельной цепи одинаковое, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов.

Задача разбивается на ряд этапов

1. Определение сопротивлений ветвей.

Реактивные сопротивления элементов L и С определяем по формулам

X_L = ωL, X_C = 1 / ωC, ω = 2πf.

Полное сопротивление ветвей равны

,  ,

соответствующие им углы сдвига фаз

φ₁ = arctg(X_L / R₁), φ₂ = arctg(X_С / R₂).

2. Нахождение токов в ветвях.

Токи в ветвях находятся по закону Ома

I₁ = U / Z₁, ψ_i1 = ψ_u + φ₁, I₂ = U / Z₂, ψ_i2 = ψ_u + φ₂.

3. Нахождение тока всей цепи.

Ток всей цепи может быть найден несколькими методами: графическим, методом мощностей, методом проекций и методом проводимостей.

Чаще всего используют метод проекций и метод проводимостей. В методе проекций ток I₁ и I₂ раскладываются по две ортогональные составляющие активную и реактивную. Ось активной составляющей совпадает с вектором напряжения U. Ось реактивной составляющей перпендикулярна вектору U (рис. 3).



Рис.3 Метод проекций

Активные составляющие токов равны

I_1а = I₁ cosφ₁, I_2а = I₂ cosφ₂, (10)

I_а = I_1а + I_2а.

Реактивные составляющие токов равны

I_1р = I₁ sin φ₁, I_2р = I₂ sin φ₂, (11)

I_р = I_1р - I_2р.

В последнем уравнении взят знак минус, поскольку составляющие I_1р (индуктивная) и I_2р (емкостная) направлены в разные стороны от оси U.

Полный ток находится из уравнений:

, (12)

φ = arctg(I_р / I_а). (13)

В методе проводимостей также используется разложение на активные и реактивные составляющие. Активные составляющие токов записываются в виде:

, (14)

где через g₁ = R₁ / Z₁² обозначена величина названная активной проводимостью первой ветви. Аналогичным образом получим:

, (15)

где g₂ = R₂ / Z₂²; а величину g = g₁ + g₂ называют активной проводимостью всей цепи.

Реактивные составляющие токов:

,

,

где b₁ и b₂ – реактивные проводимости ветвей b₁ = X_L / Z₁², b₂ = X_C / Z₂². Для реактивной проводимости всей цепи имеем:

b = b₁ - b₂. (16)

Величина тока I и угол φ находятся из соотношений (11) , (12). (13)

4. Анализ расчетных данных.

В зависимости от соотношения реактивных проводимостей b₁ и b₂ возможны три варианта: b₁ > b₂; b₁ < b₂; b₁ = b₂.

Для варианта b₁ > b₂ имеем I_1р > I_2р, φ > 0. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 4.

Рис. 4 Векторная диаграмма

Приb₁ < b₂ токиI_1р < I_2р, φ < 0. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 5.



Рис. 5 Векторная диаграмма

Если b₁ = b₂, то I_1р = I_2р, φ = 0. Цепь имеет чисто активное сопротивление. Ток потребляемый цепью от источника наименьший. Этот режим называется резонанс токов. Векторная диаграмма изображена на рис. 6.


Рис. 6 Векторная диаграмма

Лекция 6.Режимы работы электрических цепей
1) Мощность цепи переменного тока.
Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:р =ui.

Если к цепи приложено напряжение U=U_msinωt, то в общем случае ток в цепи:i= I_msin(ωt -φ) (рис. 1).

Следовательно,

р=U_mI_msinωtsin (ωt -φ) =2UI (sin²tcossintcostsin).

После преобразований получим

pUI [coscos (2t)].(1)

Таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постояннуюUIcosω, не изменяющуюся во времени, и переменную UIcos (2tω) изменяющуюся периодически с частотой 2ω.

Вследствие этого мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой (рис. 1). При этом мощность положительна, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток имеют разные знаки. Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия передается от источника к приемнику, и наоборот.



Рис. 1. Изменение напряжения, тока и мощности в цепи при последовательном соединении элементов с активным и реактивным сопротивлениями

Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее использовать среднее значение мощности P_cp, которое можно найти, вычислив работу, совершаемую за один период:

(2)

откуда

(3)

Подставив вместо р выражение (1), получим



Так как = 0, то (4)

т. е. среднее значение мощности равно постоянной составляющей мгновенного значения мощности.

Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразования в другие виды энергии, т. е. активный необратимый процесс.

Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью и выражают в ваттах, киловаттах и мегаваттах.

P=UI сosω, (5)

Активная мощность цепи синусоидального тока равна произведению действующих значений напряжения и тока и косинуса угла между их векторами.

Для цепи, состоящей из элемента только с активным сопротивлением R

pUI(1 cos2t). (6)

Напряжение и ток (рис. 2, а)совпадают по фазе, и мгновенное значение мощности всегда положительно (рис. 2, б).

Это указывает на то, что при наличии в цепи только элемента с активным сопротивлением вся электроэнергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности или активная мощность Р=UI, так как cosω= 1.

Поскольку напряжение U_a на элементе R совпадает по фазе с током (φ= 0), тоактивная мощность Р цепиможет быть определена как

P U_a I  R I² U²_a /R  GU²_a.


Рис 2. Изменение напряжения и тока: а) мощности; б) в цепи с активным сопротивлением

В цепи с индуктивностью L угол φ=π/2 (рис. 3, а) и формула (1) принимает вид:

рUIsin2t,(7)

т. е. мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую (рис. 3. б).



Рис. 3. Изменение напряжения и тока(а) и мощности (б) в цепи с индуктивностью

Первую четверть периода ток совпадает по направлению с э. д. с. самоиндукции е_Lиндуктивной катушки, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания. Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода ток опять совпадает по направлению с e_L и запасенная в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания (мощность отрицательна).

Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником в приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью Q_L, равной амплитуде мгновенного значения мощности, т. е.

Q_L=UI.

Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных (ВА_р), киловольт-амперах реактивных (кВА_р) и т. д.

Напряжение на элементе с индуктивностью U = U_L= X_LI, поэтому реактивную мощность можно также определить по формулам:

Q_L U_L I  X_L I² U²_L/X_L  B_L U²_L,

где B_L= 1/X_L - индуктивная проводимость.

Если в цепь включен конденсатор с емкостью С, то φ= /2 (рис. 4., а) и мгновенное значение мощности

P=UIsinωt,

которое отличается от (7) только знаком. Изменение мощности для этой цепи показано на рис. 4, б.



Рис 4. Изменение напряжения и токаа) и мощности б) в цепи с емкостью.

В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией между источником питания и конденсатором. При передаче энергии от источника питания в течение четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода энергия электрического поля освобождается и возвращается источнику. Электроэнергетический процесс в цепи характеризуется только реактивной мощностью:

Q_C=U_CI=X_CI²=U²_C/X_C=B_CU²_C,

где B_C=l/X_C- емкостная проводимость.

В общем случае, когда электрическая цепь состоит из элементов с активным R и реактивным X сопротивлениями, угол сдвига по фазе между напряжением и током в цепи φ= 0 -π/2 (рис. 1, а), а мгновенное значение мощности (рис. 1, б) описывается уравнением (1). Заштрихованная площадь, ограниченная положительным значением мощности и осью абсцисс, больше площади, ограниченной отрицательным значением мощности и осью абсцисс. Это означает, что в итоге часть электроэнергии передается от источника приемнику и преобразуется в нем в другие виды энергии. Количественно процесс преобразования электроэнергии оценивается активной мощностью (2).

Составляющая мощности UIcos (2ωt-φ) изменяется с двойной частотой относительно линии, параллельной оси абсцисс и расположенной выше нее на значение активной мощности Р. Амплитуда UI переменной составляющей мощности называется полной мощностью и обозначается S.

Полную мощность выражают в вольт-амперах (ВА), киловольт-амперах (кВА) и т. д. Ее можно вычислять по формулам

SUIZI²U²/ZYU² (8)

где Y= 1/Z- полная проводимость цепи.

То, что мгновенные значения мощности в некоторые промежутки времени принимают отрицательные значения, свидетельствует об обмене электроэнергией между источником питания и приемником электроэнергии. Обмен количественно оценивается реактивной мощностью Q=U_PI. Так как в общем случае реактивная составляющая напряжения U_P=Usinφ, то реактивная мощность цепи

Q=UIsinφ. (9)

Реактивная мощность цепи может быть вычислена как

Q=XI²=U²_P/X=BU²_P,

где В = 1/Х -реактивная проводимость цепи.

Если цепь включает элементы и с индуктивным, и с емкостным сопротивлениями, то ее реактивное сопротивление XX_L Х_С, а

Q (X_LX_C)I²X_LI²X_CI²Q_LQ_C.

Таким образом, реактивная мощность цепи равна разности реактивной индуктивной и реактивной емкостной мощностей. Реактивная мощность положительна, если Q_L>Q_C, и отрицательна, если Q_C>Q_L.

Соотношение между полной, активной и реактивной мощностями можно получить, воспользовавшись формулами (2), (4) и (5);

Р²Q² (UI)² (cos²sin²)  (UI)²S²,

Следовательно, полная мощность равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной мощностей. Крометого,



P  S cos UI cos U_AI; (10)

Q  S sin UI sin U_PI.(11)

Активная мощность определяется произведением составляющих напряжения и тока, совпадающих по фазе, а реактивная мощность - произведением составляющих напряжения и тока, находящихся в квадратуре (сдвинутых по фазена уголπ/2).

Косинус угла сдвига фаз в формуле (4) называют коэффициентом мощности:cosφ=P/(UI) =P/S.

Он показывает, какая доля полной мощности составляет активную мощность или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии.

Когда cos φ= 1, т. е. когда Z = R, активная мощность равна полной мощности.

Коэффициент мощности - важный эксплуатационный параметр электроприемников. Так как I = Р/(Ucоsφ), то чем выше cоs φ, тем при меньшем значении тока в цепи может быть произведено преобразование электроэнергии в другие виды энергии. Это приводит к уменьшению потерь электроэнергии, ее экономии и удешевлению устройств электропередачи.
2) Резонансные режимы работы электрических цепей
а) Общие сведения. Явление в электрической цепи си­нусоидального тока, содержащей участки с индуктивным и емкостным характером, при котором на входе цепи сдвиг фаз напряжения и тока равен нулю, называют резонансом.

Математически это записывается в виде φ =ψu-ψi = 0. Резонансные явления представляют особый режим, при ко­тором двухполюсник, несмотря на наличие реактивных эле­ментов (индуктивностей и емкостей), выглядит как актив­ное сопротивление (рис. 5), так как синусоидальные на­пряжение и ток совпадают по фазе.

Резонансные явления широко применяются в электро­технических и радиотехнических устройствах автоматики, телемеханики, связи, измерительной техники.

Из разновидностей резонансных явлений рассмотрим резонанс напряжений и резонанс токов.

б) Резонанс напряжений. Условия резонанса напряже­ний. Резонансом напряжений называют явление резонанса на участке электрической цепи с последовательным соеди­нением индуктивных и емкостных элементов.



а) б)

Рис. 5
В простейшем случае указанный резонанс возможен при последовательном соединении катушки индуктивности, конденсатора и резистора; в радиотехнике такую цепь на­зывают последовательным колебательным контуром.

Представив эти элементы эквивалентными схемами, по­лучим цепь (рис. 5,б), в которой R = Rpез+RL+Rc, а пара­метры Rpeз, RLи Rc отражают наличие потерь в резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе соответственно.

Рассмотрим условия возникновения резонанса напря­жений.

Из определения резонанса φ = arctg(X/R)= 0 следу­ет, что в схеме рис. 5,б реактивное сопротивление: X = X_L-X_c = 0,

откуда X_L=Xc или ω₀L= 1/ω₀С, где ωо — резонансная час­тота (частота, при которой возникает явление резонанса).

Таким образом, условием возникновения резонанса на­пряжений является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений. Поскольку эти сопротивления зависят от частоты и параметров, то для двух заданных величин из трех (ωo, L, С)резонанс может быть достигнут подбором третьей в соответствии с соотношениями::

L = 1/ω²oС,C =1/ω²oL. ωо = 1/√LC.(1)

Следует подчеркнуть, что активное сопротивление не влияет на возникновение резонанса в последовательном колебательном контуре.

в) Анализ резонанса напряжений. Проведем анализ схемы рис. 5,б, полагая частоту со источника ЭДС равной резонансной ω₀- Полное сопротивление цепи

(2)

равно активному и имеет минимальное значение.

Сопротивления реактивных элементов на резонансной частоте ωо одинаковы:

ωoL = 1/ωo С= √L/C (3)

Сопротивление Z_c не зависит от частоты и называется характеристическим сопротивлением контура.

Ток в цепи, очевидно, будет максимальным и при неиз­менном напряжении Uисточника с учетом (2) составит:I = U/Z = U/R

Напряжение и ток, как известно, совпадают по фазе, а цепь ведет себя как активное сопротивление.

Напряжение на активном сопротивлении R равно на­пряжению источника:UR = RI = U.

При последовательном соединении по элементам L иСпротекает одинаковый ток, а так как и XL = Xc= Zc, то на­пряжения на этих элементах одинаковы: UL = ωоL I = I/ ωoС = Uc = Zc U/R (4)

и противоположны по фазе, компенсируя друг друга.

При ZC>>R напряжения на реактивных элементах могут быть во много раз больше входного.

На рис. 6 показаны векторные диаграммы тока и на­пряжений для резонансного режима при различных харак­теристических сопротивлениях.

Равенство напряжений на реактивных элементах послу­жило названием явления резонанса напряжений.

г) Добротность контура. Отношение напряжений на реактивных элементах при резонансе к напряжению источ­ника или отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению контура называют добротностью контура

UL (ω0)/U = Uс (ω0)/U = ZcR = Q. (5)

Эта величина относительная и показывает, во сколько раз при резонансе напряжение на отдельных реактивных элементах больше входного.

Добротность реального контура меньше добротностей отдельно взятых катушек индуктивности и конденсатора.

Действительно, даже если предположить сопротивление резистора нулевым в схеме рис. 5,б., то



Где QL = Zc/RL — добротность катушки индуктивности; Qc = Zc/Rc — добротность конденсатора.<







Рис.6 Векторные диаграммы тока и на­пряжений для резонансного режима
Добротность Q будет всегда меньше наименьшей из двух величинQLиQc.

е) Признаки резонанса напряжений. Резонанс напря­жений может быть определен и опытным путем, по пока­заниям приборов (рис. 7). Признаки резо­нанса.




Рис.7
Прежде всего показания фазометра φ будут нулевыми, показаниями амперметра А в цепи — максимальными. Ес­ли пренебречь активными сопротивлениями катушки индуктивности (RL<<ωоL) и конденсатора (RС<< 1ωoС/), то входное напряжение и напряжение на резисторе R одина­ковы, а напряжение UL= UC. Ваттметр покажет значение P = UI. Полная мощность S равна активной (средней), так как cosφ = 1.

Резонанс напряжений используется на практике для усиления сигналов, для измерения параметров цепи или частоты. Однако при малых активных сопротивлениях на конденсаторах и катушках индуктивности возможны значительные перенапряжения на этих элементах, что нужно учитывать с точки зрения безаварийной работы устройст­ва и безопасности лиц, обслуживающих эти устройства.

Резонанс токов

Резонансом токов называют явление резонанса на участке электрической цепи, содержащей параллельно со­единенные ветви с индуктивными и емкостными элемента­ми в разных ветвях.

В радиотехнике простейшую электрическую цепь, состо­ящую из двух параллельных ветвей, одна из которых име­ет индуктивный, а другая — емкостный характер, называют параллельным колебательным контуром.

б) Резонанс токов в двухполюснике с потерями. Рас­смотрим двухполюсник, образованный параллельными вет­вями: одной с сопротивлением и емкостью, другой — со­противлением и индуктивностью (рис. 8). Условие возникновения резонанса токов выражается в равенстве суммарной реактивной проводимо­сти нулю:

(6)





а) б)

Рис. 8 Параллельный колебательный контур
Резонанс токов можно получить изменением парамет­ров ветвей R1, R2, L, С или частоты ω.

Однако достичь этого не всегда удается. При четырех заданных величинах и пятой, определяемой из уравнения (6), ее значение может получиться мнимым или комп­лексным. Это свидетельствует о том, что при таком соче­тании параметров резонанс токов невозможен.

Решая уравнение (6) относительно частоты ω, по­лучаем выражение резонансной частоты:

(7)

Чтобы резонансная частота была положительным дей­ствительным числом, необходимо иметь одновременно ZC>R1 и Zc>R2 или ZC
Zс
Если эти соотношения не выполняются, то не сущест­вует такой частоты (ωi- мнимое число), при которой воз­можен резонанс.

Резонансная частота будет одинаковой с резонансной частотой последовательного контура при равенстве актив­ных сопротивлений ветвей,

т. е. R1 = R2 ≠ Zc. Ωi= ωо = 1/√LС. Наконец, при R1 = R2 = Zc = R резонанс токов наблюдается на любой частоте. При этом входное сопротивление контураявляется активным и не зависит от частоты.
(8)

В общем случае при R1R2>Zc или R2>R1>ZC- минимума на частотах, отличных от резонансной. Это означает, что, вы­бирая для питания контура источник тока, можно полу­чать максимум (минимум) входного напряжения, а под­держивая постоянным напряжение источника, получаем минимум (максимум) тока в неразветвленной части цепи.

При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 8,б), токи в параллельных ветвях не обязательно равны друг другу, а равны лишь их реактивные составля­ющие, ток I отличается от своих экстремальных значений. Из энергетических соотношений отметим, что максималь­ные значения энергии магнитного и электрического полей одинаковы, полная мощность равна активной, а реактивная мощность равна нулю.

В устройствах систем электроснабжения резонанс то­ков предусматривается для увеличения cos φ, и это дости­гается путем параллельного подключения батарей конден­саторов к индуктивной нагрузке сети.

Лекция 7.Соединение катушек со взаимной индуктивностью.
Когда две катушки 1, 2 (рис. 1, а) расположены достаточно близко, так что часть Ф₁₂магнитного потока Ф₁ (Ф₁ = Ф'₁ + Ф₁₂), создаваемого током первой катушки, пронизывает вторую, а часть Ф₂₁ магнитного потока Ф₂ (Ф₂ = Ф'₂ + Ф₂₁), создаваемого током второй катушки, пронизывает первую, между катушками возникает магнитная связь ¹. На схемах магнитная связь обозначается фигурной скобкой и буквой М (рис. 1, б).

¹ Картина магнитных полей значительно сложнее, чем та, что условно изображена на рис. 1, а для пояснения явления взаимной индукции. Предполагается, что Ф₁₂ и Ф₂₁ — эквивалентные магнитные потоки, сцепленные соответственно со всеми витками w₂, w₁.

Магнитная связь между катушками проявляется в том, что при изменении тока в катушках изменяются магнитные потоки и в катушках кроме ЭДС самоиндукции е₁ = - w₁ dФ₁/dt,

e₂= - w₂ dФ₂/dt возникают ЭДС взаимной индукции: во второй катушке - от потока Ф₁₂ 

е₁₂ = - w₂ dФ₁₂/dt, в первой - от потока Ф₂₁ е₂₁ = -w₂ dФ₂₁/dt.

Явление наведения ЭДС во втором контуре при изменении тока в первом называется явлением взаимной индукции.

Рассмотрим контур, состоящий из двух соединенных последовательно катушек, согласно (потоки Ф₁, Ф₂ действуют в одном направлении) и встречно (потоки Ф₁, Ф₂ действуют встречно).

Для обозначения согласного или встречного включения начала обмоток обозначаются жирными точками (рис. 1, б). Предполагается, что направления намотки катушек одинаковы (рис. 1, а).

Результирующая ЭДС возникающая в контуре при изменении тока в нем:

при согласном включении (рис. 1, б)

е_эк = е₁ + е₂ + е₁₂ + е₂₁; (1)

при встречном включении

е_эк = е₁ + е₂ - е₁₂ - е₂₁. (2)

ЭДС самоиндукции и взаимной индукции могут быть выражены соответственно через индуктивность L ивзаимную индуктивность М. Если индуктивность L устанавливает количественное соотношение тока в катушке и создаваемого им потокосцепления L = Ψ/I, то взаимная индуктивность М устанавливает количественное соотношение между током первой катушки и создаваемым им потокосцеплением со второй катушкой М₁₂ = Ψ₁₂/I₁ и соответственноМ₂₁ = Ψ₂₁/I₂.сцепления L = Ψ/I, то взаимная индуктивность М устанавливает количественное соотношение между током первой катушки и создаваемым им потокосцеплением со второй катушкой М₁₂ = Ψ₁₂/I₁ и соответственно М₂₁ = Ψ₂₁/I₂.


Рис. 1. К пояснению явления взаимной индукции(а), эквивалентная схема (б)

Выразив в (1) и (2) соответствующие ЭДС через L и М иимея в виду, что M₁₂ = M₂₁ = M,получим ¹:

¹ Так как магнитные потоки Ф₁₂, Ф₂₁ расположены в одном и том же пространстве, магнитные сопротивления R_M потокам будут одинаковыми и тогда Ф₁₂ = I₁w₁/R_M, Ф₂₁ = I₂w₂/R_M. Подставив Ф₁₂ и Ф₂₁ в выражения М₁₂и М₂₁, получим М₁₂ = M₂₁ = w₁w₂/R_M = М.

при согласном включении

Lэк	di	= L1	di	+ L2	di	+ 2M	di	;
	dt		dt		dt		dt

Lэк	di	= L1	di	+ L2	di	- 2M	di	;
	dt		dt		dt		dt

(3)
при встречном включении

(4)

Сократив (3), (4) на di/dt, получим эквивалентные значения индуктивности контура L_эк: при согласном включении

L_эк = L₁ + L₂ + 2M = L₁ + L₂ + 2k√L₁L₂;(5)

при встречном включении

L_эк = L₁ + L₂ - 2M = L₁ + L₂ - 2k√L₁L₂; (6)

где

k =	M	=	√	Ф12Ф21
	√L1L2			Ф1Ф2

- коэффициент магнитной связи между контурами. Т. к. Ф₁₂ < Ф₁,Ф₂₁ < Ф₂, то k < 1.
Умножив правые и левые части выражений (5), (6) на ω, получим:

при согласном включении L_экω = L₁ω + L₂ω + 2Мω, или

х_эк = х₁ + х₂ + 2х_M; (7)

при встречном включении

х_эк = х₁ + х₂ - 2х_M; (8)

где х_эк - эквивалентное индуктивное сопротивление двух контуров, связанных взаимной индукцией; х₁, х₂ — индуктивные сопротивления, обусловленные индуктивностями L₁ и L₂; х_M- индуктивное сопротивление, обусловленное взаимной индукцией М.

Эквивалентное  активное  сопротивление  в   обоих   случаях

r_эк = r₁+ r₂.

Таким образом, электрическая цепь, состоящая из двух последовательно включенных, связанных взаимной индукцией катушек (рис. 2, а), может быть заменена эквивалентной цепью, изображенной на рис. 2, б.

Определение токов в параллельно включенных катушках с r и L, связанных взаимной индукцией (рис. 2, в), производится с помощью совместного решения двух уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа,

I₁(r₁ + jx₁)+ I₂jx_M = U; 
I₂(r₂ + jx₂)+ I₁jx_M = U.

Общий ток I = I₁ + I₂.

Рис. 2. Последовательное (а) и параллельное (в) включения катушек, связанных взаимной индукцией, эквивалентная схема (б) последовательной цепи а; узлы сложных цепей с взаимно связанными индуктивностями (г и д)

В сложных электрических цепях, когда две катушки, связанные взаимной индукцией, включены в разные ветви цепи (рис. 2, г, д),напряжение U₁ имеет две составляющие, обусловленные собственной и взаимной индуктивностями: для схемы рис. 2, г

U₁ = I₁jx₁ + I₂jx_M;

длясхемырис. 2, д

U₁ = I₁jx₁ - I₂jx_M;

Знак плюс перед I₂jx_Mозначает, что направление тока I₂ такое же, что и тока I₁: от начала к концу катушки. Во втором случае ток I₂ имеет направление от конца к началу катушки, а ток I₁ —от начала к концу катушки, поэтому перед I₂jx_Mстоит знак минус.

Лекция 8. Трехфазные цепи
1) Области применения трехфазных устройств, структура трехфазной цепи

Трехфазная система была разработана в конце прошлого века известным русским электротехником М. О. Доливо-Добровольским. Она получила широкое распространение во всех странах мира. В настоящее время вся электроэнергия вырабатывается на электростанциях трехфазными генераторами, передается к местам потребления по трехфазным линиям передачи и основная ее доля используется в трехфазных приемниках.

Преимущества трехфазной системы основываются, по мнению М. О. Доливо-Добровольского, главным образом на двух ее свойствах, которые используются при эксплуатации не только в совокупности, но и порознь. Это экономичная и на большие расстояния передача электроэнергии и превосходное качество двигателей.

В устройствах выпрямления применяют шести- и двенадцатифазные системы, в устройствах автоматики и телемеханики  двухфазные системы.

Трехфазная система электрических цепей представляет собой совокупность электрических цепей, в которых действуют три синусоидальные э. д. с. одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником энергии.



Рис. 1. Трехфазные системы э. д. с.:а - симметричная; б, в- несимметричная

Если все три э. д. с. равны по значению и сдвинуты по фазе на 120° по отношению друг к другу, то такая система э. д. с. называется симметричной (рис. 1, а). Если э. д. с. не равны по значению (рис. 1, б) или сдвинуты друг относительно друга на угол, не равный 120° (рис. 1, в), то такая система э. д. с. называется, несимметричной. Аналогично определяются трехфазные системы напряжений и токов.