лекции по физике - 1 курс 2 семестр. Лекции по физике за второй семестр
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
§ 2.2 Параметрические волны. Рассмотрим волновую функцию   - циклическая частота или частота волны - волновой вектор - фаза волны - амплитуда волныФункция  называется гармонической, или монохроматической волной. Для того, чтобы рассматриваемая функция являлась решением волнового уравнения  , и  должны удовлетворять некоторому уравнению  , которое называется дисперсионным уравнением.Для того чтобы получить это уравнение в нашем случае подставим гармоническую функцию в уравнение. При этом учтем, что    Решая это дисперсионное уравнение, мы можем найти частоту, как функцию  Полученное решение называется дисперсионным соотношением. Точки в пространстве, фазы которых одинаковы  , образуют поверхность, которая называется волновым фронтом.Градиент любой функции направлен перпендикулярно к поверхности, на которой она постоянна:.  Так как,  постоянен по величине и направлению, то волновая поверхность будет плоская, поэтому данная гармоническая волна называется плоской гармонической волной.При этом направление распространения волны будет совпадать с направлением вектора .   Расстояние вдоль X, на котором фаза волны меняется на  , называется длиной волны   Время, в течение которого фаза волны меняется на , называется периодом волны  Пусть направлен вдоль оси X, тогда формула для плоской гармонической волны будет  , так как  Скорость, с которой распространяется точка в пространстве, где фаза волны постоянна, называется фазовой скоростью волны. Для определения этой скорости продифференцируем по времени условие постоянной фазы    Следует заметить, что фазовая скорость - это не скорость какой-либо материальной точки, поэтому фазовая скорость может быть любой, в том числе и больше скорости света. Если фазовая скорость постоянна, т.е. не зависит от и , то говорят, что нет дисперсии.Рассмотрим сферически симметричную волну  У такой волны волновой фронт – сферическая поверхность. Вектор - волновой вектор, в каждой точке волнового фронта направлен перпендикулярно по радиусу. Все остальное так же, как у плоской волны.§2.3. Распространение волн в ограниченной среде. Стоячие волны. Рассмотрим одномерный случай. В §2.1 было показано, что  Рассмотрим среду одномерную ограниченную с одной стороны в точке  Пусть в такой среде распространяется волна, то   Таким образом, в ограниченной среде происходить изменение направления распространения на границе раздела среды. Такое явление называется отражением. Изменение знака волновой функции в рассмотренном примере связано исключительно с видом граничного условия. Рассмотрим гармоническую волну, которая распространяется в ограниченной среде с нулевыми граничными условиями.   В рассмотренном случае гармонического возмущения в ограниченной среде никакого распространения волны наблюдаться не будет. Каждая точка среды будет совершать гармонические колебания с частотой и постоянной амплитудой, величина которой определяется координатами точки  . Полученное возмущение называется стоячей волной. Точки, в которых амплитуда колебания равна 0, называются узлами. При переходе через узел стоячей волны, фаза колебания меняется на  .Если среда ограничена с двух сторон нулевыми граничными условиями:         Полученные решения называются собственными модами колебаний. В полностью ограниченной среде возможны стоячие волны (собственные моды). Лишь с определенной длинной волны (частотой), которая меняется дискретно. §2.4. Интерференция волн двух источников. Рассмотрим два точечных источника, которые излучают сферически-симметричные гармонические волны с одинаковой частотой. Расстояние между источниками  . Определим волновую уравнение в точке  . Так как волновое уравнение линейно, то волновая функция в точке будет равна сумме волновых функций каждого источника: Сначала рассмотрим случай, когда фаза колебаний источников одинакова. Решить задачу в общем случае довольно сложно, поэтому рассмотрим приближение, когда точка находится на большом расстоянии от источников, настолько большом, что можно считать, что амплитуды колебаний от каждого источника одинаковы.  и  - параллельны.Выясним условия применимости такого приближения.      L = d2/λ Если условие выполняется, то говорят, что можно пользоваться приближением далекого поля или волновой зоной.    - геометрическая разность ходаУсловия для максимума амплитуды:  ,  Геометрическая разность хода равна целому числу длин волн. Условия минимума амплитуды:  ,   Геометрическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн. Рассмотрим общий случай, когда 2 источника излучают волны с различными начальными фазами.  В этом случае амплитуда колебаний в точке:   - начальная разность фаз колебаний двух источников.В этом случае условия максимума амплитуды будет:  , Определим угловое расстояние  между двумя ближайшими максимумами. Условие максимума n-ого порядка будет: Условие максимума  порядка:   Для малых углов   Рассмотрим случай, когда источники расположены далеко друг от друга. d = λ, тогда угловое расстояние между ближайшими максимумами  будет много меньше единицы.В §1.3. было показано, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому энергия излучения двух источников будет пропорциональна квадрату их амплитуд. Так как угловое расстояние между ближайшими максимумами при d = λ мало, то на небольшом участке поверхности  будет располагаться большое количество максимумов и минимумов амплитуды. Поэтому среднее значение энергии излучения на единицу площади поверхности будет  Т.е. энергия излучения   , где - амплитуда излучения одного источника.Интенсивность излучения одного источника  Так что, если излучаю два источника  Рассмотрим близко расположенные источника  Тогда  Тогда  1) Источники работают в одной фазе:    2) Источники работают в противофазе:  ..  |