лекции по физике - 1 курс 2 семестр. Лекции по физике за второй семестр
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
Лекции по физике за второй семестр I курса Студентка группы СС0604 Пунякова Анастасия Часть III. Колебания и волны. Глава 1. Колебания. § 1.1. Свободные гармонические колебания. Уравнение и начальные условия. Число независимых переменных необходимых для описания механической системы называется числом степенней свободы. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, при описании которых будем использовать одну переменную. Это может быть либо координата, либо заряд, либо угол, и т.п.. В целом ряде задач эта переменная удовлетворяет уравнению вида:  В качестве примера такой системы рассмотрим пружинный маятник без трения:    изменение её (пружины) длины; Заменим соотношением:  Уравнение, изложенное выше называется линейным, дифференцируемым уравнением второго порядка.  Будем искать переменную  в виде:     Последнее выражение есть уравнение гармонических колебаний.  уравнение гармонических колебаний.Система, которая описывает уравнение гармонических колебаний, называется гармоническим осциллятором.   амплитуда колебаний; циклическая частота;СИ:    фаза колебаний;  начальная фаза.T – время, в течение которого фаза колебаний меняется на  , - период колебаний:  Также есть ещё одна величина, характеризующая колебания, – частота колебаний:   Если  то  значит при  система находится в положении равновесия, а величина называется смещением от положения равновесия.Полученное решение содержит две производные постоянных величин A и  Уравнение гармонических колебаний определяет лишь частоту колебаний. В рассмотренном примере для пружинного маятника  Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо дополнительное условие. Обычно используется начальное условие задачи:   Отсюда получим  Амплитуда будет равна  .  § 1.2. Затухающие колебания. Рассмотрим систему, в которую есть сила трения, пропорциональная скорости.  где  коэффициент трения. Надо учесть что  и  Решение затухающих колебаний:  Рассмотрим уравнение, в котором xкомплексная величина. Очевидно, что реальная часть комплексного уравнения является уравнением затухающих колебаний. Поэтому реальная часть решения комплексного уравнения будет решение уравнением затухающих колебаний.    амплитуда затухающих колебаний частота затухающих колебаний фаза колебаний.Периодом колебаний называется время, в течение которого фаза колебаний меняется на   Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшиться в e раз, называется временем релаксации.    Логарифмическое отношение двух амплитуд разделенной одним периодом называется логарифмическим декрементом затухания.  где  называется декрементом затухания.Заметим, что полученное решение будет справедливо, если  - действительная величина, а это возможно, если  в этом случае говорят, что система находиться в «периодическом режиме». Если  то  где  действительная величина. В этом случае никаких колебаний в системе не происходит, она просто стремится к положению равновесия, в зависимости от того, какие были начальные условия, в этом случае говорят, что в системе наблюдается «апериодический режим». Если  то решение называется «критическим режимом». Величину  часто называют либо коэффициентом затухания, либо декрементом затухания.§ 1.3. Энергия свободных колебаний. Колебания рассмотренный в § 1.1 и § 1.2 принято называть свободными, так как они происходят в системах без воздействия внешних сил. Внешнее влияние происходит лишь в начальный момент времени, когда система выходит из состояния равновесия. Рассмотрим полную энергию гармонических колебаний на примере пружинного маятника, координаты которого  Полная энергия  где  кинетическая энергия, а  – потенциальная энергия. Учтём, что   Полная энергия гармонических колебаний постоянна и пропорциональна квадрату амплитуду. Рассмотрим полную энергию затухающих колебаний пружинного маятника координата которого меняется по закону  При этом будем считать, что затухание слабое, то есть    учтём что затухание слабое, поэтому можно считать, что первый сомножитель  практически не меняется за время, в течение которого второй сомножитель меняется очень сильно, то есть за время одного периода колебания. Тогда при вычислении производной можно считать постоянной. Знаем, что   То есть энергия затухающих колебаний будет уменьшаться, точно так же как квадрат амплитуды. Добротность осциллятора называется: Q = 2П (энергия, запасенная осциллятором/ энергия, теряемая за период). Энергия, которую теряет осциллятор, будет:  , и за период осциллятор потеряет энергию равную  Зная добротность можно оценить, сколько колебаний со временем система выделит с помощью  § 1.4. Вынужденные колебания. Анализ решения. Резонансные характеристики. Рассмотрим систему, на которую действует внешняя сила  если это пружинный маятник, то уравнение движения будет иметь вид: Рассмотрим самый важный случай, когда внешняя сила периодична. Тогда уравнение примет вид:  Для того чтобы найти решение этого уравнения, рассмотрим комплексное уравнение реальная часть которого совпадает с нашим уравнением.      надо учесть, что    Таким образом, найденное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармонические колебания, амплитуда которых полностью определяется параметрами осциллятора и частотой  вынужденной силы. То же самое касается и начальной фазы колебаний. Уравнение, здесь полученное, не зависит от начальных условий, а поэтому не является общим и единственным. Это частное решение уравнения вынужденных колебаний. Амплитуда колебаний зависит от параметров системы и частоты  вынужденной силы. Зависимость амплитуды от «омега» называется амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ).ωR, при которой амплитуда максимальная, называется резонансной частотой. Если ω = ωR, говорят, что в системе наблюдается резонанс амплитуд. Для нахождения резонансной частоты надо приравнять к нулю  Легко заметить, что достаточно прировнять к нулю производного подкоренного выражения     при увеличения декремента затухания зависит от внешней силы.Зависимость базового сдвига  от частоты называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).Рассмотрим скорость вынужденных колебаний:  Последнее выражение называется амплитудой скорости. Полученная зависимость называется резонансом скоростей. Для определения частоты, при которой  надо  Полученное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармоническое колебание. В §1.3 говорилось, что полная энергия гармонических колебаний сохраняется, если сумма мощностей всех не потенциальных сил будет равна нулю. В нашей системе таких сил будет две: это сила трения и внешняя сила. Как известно мощность силы будет  Мощность силы трения будет Пусть N – мощность внешней силы, отсюда Очевидно, что среднее значение мощности вынужденной силы будет:  Так как средняя мощность частоты пропорциональна квадрату амплитуды скорости, то резонанс мощности будет происходить при той же частоте, что и резонанс скорости, то есть при собственной частоте. Осциллятор, в котором происходят вынужденные колебания, принято характеризовать полушириной ∆ω резонансной кривой, которая определяется на уровне половины максимальной мощности. Рассмотрим системы со слабым затуханием ∆ω << ω0, так как с уменьшением затухания ширина кривой уменьшается. Nm = γF2/4mγ2 Nm/2 = γF2/8mγ2 = F2/8mγ 8γ2ω0 = 4ω02∆ω2 + 4γ2ω02 ∆ω= γ |