Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 3. Метод законов сохранения и движение в центральном поле Минимальные теоретические сведения Законы изменения и сохранения физических величин и интегралы движения Как было продемонстрировано в предыдущем разделе, задача о дви- жении одной частицы имеет общее решение для сравнительно широкого класса сил. Проблему движения двух частиц также можно решить в квад- ратурах при достаточно общих допущениях о силе взаимодействия между частицами (см. следующий раздел). Однако задача трех и большего коли- чества частиц при общих предположениях о силах взаимодействия встре- чает непреодолимые трудности. Известны только некоторые частные ре- шения этой задачи или решения для очень узкого класса взаимодействий. В связи с этим приобретают огромное значение общие теоремы, спра- ведливые при любом числе частиц, которые часто позволяют получить общие результаты без решения систем дифференциальных уравнений или контролировать правильность приближенных решений. Такими универ- сальными теоремами являются законы изменения и сохранения импульса, момента и энергии механической системы. Законы сохранения физических величин приводят к интегралам дви- жения. Интегралом движения называется такая функция времени, коорди- нат и скоростей частиц, которая при движении механической системы со- храняет постоянное значение, определяемое начальными условиями. Инте- гралы движения, содержащие скорости частиц, называются первыми инте- гралами движения. Вторыми интегралами движения называются такие функции времени, координат частиц и произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения. Наличие интегралов движения существенно облегчает решение сис- Метод законов сохранения и движение в центральном поле 42 темы уравнений движения. Знание, например, s независимых первых инте- гралов движения дает возможность понизить порядок системы дифферен- циальных уравнений на s. Для механической системы, состоящей из N час- тиц, система 6N первых интегралов или 3N вторых интегралов движения эквивалентны общему решению уравнений движения. Сами законы сохранения, следовательно, и интегралы движения, яв- ляются следствием законов изменения физических величин со временем − их частными случаями. Закон изменения импульса системы N материаль- ных точек P получается на основе второго закона Ньютона и имеет вид ex d dt = = P P F & , (3.1) где ex ex 1 N i i = = ∑ F F − сумма всех внешних сил, действующих на точки систе- мы. Для замкнутой, или изолированной, системы, т.е. системы, взаимодей- ствием которой с прочими, не входящими в нее телами, можно пренебречь, внешние силы равны нулю и поэтому 0 1 const N i i i m v = = = = ∑ P P , т.е. имеет место закон сохранения импульса и импульс является первым интегралом движения. Если система будет не замкнута, то в том случае, когда проекция суммы всех внешних сил на некоторую неподвижную ось (скажем ось z) в любой момент времени равна нулю, проекция импульса системы на ту же ось будет сохраняться, т. е. 0 1 N z i i z i P m z P = = = ∑ & Наряду с полным импульсом системы, важную роль в механике игра- ет момент количества движения, или момент импульса системы. Он опре- деляется как сумма моментов импульса отдельных точек системы 1 1 [ ] N N i i i i i = = = = ∑ ∑ M M r p , Теоретическая физика. Механика (практический курс) 43 где i r и i p − радиус-вектор и импульс i-ой точки системы. Закон изменения момента импульса системы имеет вид ex d dt = = M M L & , (3.2) где ex ex 1 [ ] N i i i = = ∑ L r F − момент всех внешних сил, действующих на систему. Для изолированной системы точек ex 0 = L и из (3.2) получаем закон сохра- нения момента количества движения 0 1 [ ] const N i i i = = = = ∑ M r p M , т.е. полный момент количества движения изолированной системы точек остается постоянным и также является первым интегралом движения. Введем полную потенциальную энергию системы U = U ex + U in как сумму ее потенциальной энергии во внешних полях U ex и внутренней по- тенциальной энергии in , 1 ( ) 2 N ki ki i k U U r = ∑ , где ( ) ki ki U r − зависящая от рас- стояния r ki между i-ой и k-ой точками потенциальная энергия их взаимо- действия. Определяя полную механическую энергию системы E = T + U как сумму кинетической T и полной потенциальной энергии U, можно полу- чить закон ее изменения со временем в виде ex d dE U E N dt t ∂ = = + ∂ & . (3.3) Из (3.3) следует, что изменение полной энергии обусловлено нестационар- ностью внешнего потенциального поля и мощностью d d 1 ( ) N i i i N = = ∑ F v всех диссипативных сил d ex.d in.d i i i = + F F F , как внешних ex.d i F , так и внутренних in.d i F . Если диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют и ес- ли потенциальная энергия системы во внешних полях не зависит явно от времени, то полная механическая энергия системы Метод законов сохранения и движение в центральном поле 44 2 ex 0 1 , 1 1 ( ) const 2 2 N N i i ki ki i i k E m v U U r E = = + + = = ∑ ∑ будет сохраняться, т.е. будет интегралом движения. Такую систему назы- вают консервативной. Движение в центральном поле Использование законов сохранения и интегралов движения удобно продемонстрировать на примере рассмотрения задачи о движении частицы в центральном поле. Если сила, действующая на частицу, направлена вдоль ее радиус-век- тора (параллельно или антипараллельно ему), то такая сила называется центральной . Если к тому же модуль этой силы зависит только от величи- ны радиус-вектора, то сила является потенциальной и стационарной. То- гда помещая начало системы координат в силовой центр, в соответствии с (3.2) и (3.3) получим четыре первых скалярных интеграла движения 2 0 0 1 [ ] , ( ) 2 m E mv U r E = = = + = M r v M Из этих четырех интегралов независимы только три, поскольку три компо- ненты момента импульса M x , M y , M z связаны между собой соотношением ( ) ([ ] ) 0 m = = Mv r v v Наряду с первыми интегралами движения, в данной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один из них получается в ре- зультате скалярного умножения вектора момента импульса M на радиус- вектор r ( ) ([ ] ) 0 x y z M x M y M z m = + + = = Mr r v r и представляет собой уравнение плоскости, в которой происходит движе- ние частицы и которая оказывается перпендикулярной направлению со- храняющегося момента M . Два других вторых интеграла движения можно получить направляя ось z по вектору M и вводя на плоскости xOy поляр- ные координаты ρ и ϕ . Для величины момента M и полной энергии час- тицы E тогда найдем Теоретическая физика. Механика (практический курс) 45 2 2 2 2 , ( ) ( ) 2 m M m E U = ρ ϕ = ρ + ρ ϕ + ρ & & & Выражая из 1-го соотношения ϕ& через 2 / M m ρ и подставляя во второе, для энергии частицы будем иметь 2 2 2 ( ) 2 2 m M E U m = ρ + + ρ ρ & Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя по времени от 0 до t, получаем еще один второй интеграл в виде [ ] 1 2 2 2 const 2 ( ) d C t M E U m m ρ = = − − ρ − ρ ∫ . (3.4) Далее, написав d ϕ как 2 M d dt m ϕ = ρ и интегрируя по ϕ от 0 до ϕ , находим 3-ий второй интеграл движения [ ] 2 2 2 2 const 2 ( ) M d C M m E U ρ = = ϕ − ρ − ρ − ρ ∫ . (3.5) Формулы (3.4) и (3.5) в общем виде решают поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между координатами ρ и ϕ , т.е. дает уравнение траек- тории на плоскости, в то время как первая определяет в неявном виде рас- стояние ρ двигающейся частицы от силового центра как функцию времени. В частности, для силы притяжения, меняющейся обратно пропорцио- нально квадрату расстояния до силового центра, т.е. для потенциальной энергии ( ) / U ρ = −α ρ с α > 0 (проблема Кеплера), из (3.5) получим урав- нение траектории в виде ( ) 1 cos p ρ ϕ = + ε ϕ (3.6а) с параметрами p и ε , определяемыми соотношениями 2 2 2 2 , 1 M EM p m m = ε = + α α . (3.6б) Метод законов сохранения и движение в центральном поле 46 Примеры решения задач Задача 1. Автомобиль заданной массы m движется таким образом, что раз- виваемая им мощность в процессе движения сохраняет свое постоянное значение. Показать, что путь, проходимый автомобилем, изменяется со временем по закону S(t) = at 3/2 . Считать, что в начальный момент времени его скорость равна нулю. Решение. Для связи мощности со скоростью движения воспользуемся за- коном изменения кинетической энергии, который следует из (3.3), 0 dT N dt = . (3.7) Здесь N 0 − мощность всех сил (включая и внутренние), действующих на ав- томобиль. По условию задачи N 0 является величиной постоянной. Интег- рируя уравнение (3.7) с учетом начальных условий получим, что величина скорости меняется по закону v(t) = 1/ 2 1/ 2 0 2N t m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.8) Определив закон изменения скорости и интегрируя (3.8) с учетом соотно- шения ds/dt = v(t), находим искомый закон изменения s(t) s(t) = 1/ 2 3 / 2 0 2 2 3 N t m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (3.9) Последняя формула (3.9) дает решение поставленной задачи. Замечание. Получите решение для s(t), если в начальный момент времени скорость автомобиля v 0 ≠ 0. ( ) 3/ 2 2 0 0 0 ( ) 2 / 3 m s t v N m t N ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Задача 2. Найти закон движения частицы массы m и заряда e в магнитном поле H(0,0,H 0 cos(y/a)). Начальные условия в декартовых координатах имеют вид r(0) = 0, v(0) = (0, ωa, 0), где ω = eH 0 /mc. Решение задачи. Умножив векторное уравнение движения Теоретическая физика. Механика (практический курс) 47 [ ] d e m dt c = v v H (3.10) скалярным образом сначала на скорость v, а затем на орт e z || H, можно по- лучить следующие интегралы движения: ( ) 0 const 2 m d m T dt ⎛ ⎞ = → = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ v v v v и ( ) 0 const z z z d m v dt ⎛ ⎞ = → = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ v e v e Учет начальных условий приводит к следующему выражению 2 2 2 0 x y v + = & & = ω 2 a 2 , (3.11а) Разделив на массу x-компоненту уравнения (3.10), имеем [ ] cos( / ) 0 sin( / ) 0 sin( / ) const dx d y y a x a y a x a y a dt dt − ω = → − ω = → − ω = & & & & Опять используя начальные условия, получаем sin( / ) x a y a = ω & . (3.11б) Из системы двух уравнений (3.11) находим 2 2 2 2 cos ( / ) y a y a = ω & . (3.12) Интегрируя (3.12), получаем ωt = 0 1 sin( / ) ln cos( / ) 1 sin( / ) y dy y a a y a y a + = − ∫ . (3.13) Из уравнений (3.11а), (3.13) находим закон движения частицы x& = (aω)th(ωt), x(t) = aln[ch(ωt)], (3.14а) y(t) = aarcsin[th(ωt)]. (3.14б) Задача 3. Найти закон движения заряда в радиально-симметричном (т.е. не зависящем от азимутального угла ϕ) магнитном поле H = H 0 Φ(ρ)e z . На- чальные условия в полярных координатах имеют вид r(0) = (ρ 0 , ϕ 0 ), v(0) = (v ρ (0), ρ 0 ω H , 0); ω H = eH 0 /mc. Решение. Магнитная компонента силы Лоренца в полярных координатах принимает вид F L = ( ) ( ) eH d eH d c dt c dt ρ ϕ ϕ ρ ρΦ ρ − Φ ρ e e . Уравнения Ньютона в полярных координатах запишутся в виде Метод законов сохранения и движение в центральном поле 48 2 1 ( ) , ( ) H H dv d d d d dt dt dt dt dt ρ ϕ ϕ ρ ⎛ ⎞ = ω ρΦ ρ ρ = −ω Φ ρ ⎜ ⎟ ρ ⎝ ⎠ . (3.15) Из последнего уравнения (3.15), переходя к новой независимой перемен- ной ρ, получаем 0 2 0 0 2 ( ) , ( ) ( ) H d M M u u du dt ρ ρ ϕ ρ = ρ = ρ ω − ω Φ ρ ∫ . (3.16) Воспользовавшись определением радиальной компоненты скорости и учи- тывая связь (3.16) угловой скорости и расстояния ρ, первое уравнение в выражении (3.15) можно преобразовать к виду ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 H d M v d ρ Φ ρ ρ = ω ρ ρ . (3.17) Интегрируя последнее уравнение с учетом начальных условий, получаем квадратурные формулы для связи радиальной компоненты скорости и пройденного радиального расстояния со временем 0 2 2 (0) ( ), (0) ( ) d du v U t dt v U u ρ ρ ρ ρ ρ = − ρ = − ∫ . (3.18) Здесь потенциальная функция определяется выражением 0 ( ) ( ) ( ) 2 H u M u U du u ρ ρ Φ ρ = − ω ∫ . (3.19) С учетом последних формул (3.18), (3.19) и связи (3.16) можно полу- чить квадратурную формулу для искомой траектории 0 2 2 0 ( ) (0) (0) ( ) M u du u v U u ρ ρ ϕ − ϕ = − ∫ . (3.20) Формулы (3.18) и (3.20) решают поставленную задачу. Решение этой задачи повышенной трудности мы привели только по одной причине: пока- зать, что существуют силовые поля, которые можно считать обобщением стандартной задачи о движении материальной точки в центральном поле. Любые точные решения нетривиальных уравнений Ньютона в квадратурах Теоретическая физика. Механика (практический курс) 49 для произвольных сил представляют особую ценность для теоретической механики. Замечание. Рекомендуется воспроизвести и проверить эти общие форму- лы, взяв для рассмотрения частный случай: Φ(ρ) = ρ. Задачи Обязательные задачи 3.1. Материальная точка с массой m описывает окружность радиуса a, притягиваясь некоторой точкой О этой окружности. Найти силу притяжения и скорость точки как функции расстояния ρ до центра притяжения (момент импульса материальной точки считать задан- ным и равным М). 2 2 5 2 8 2 , M a Ma v m m ρ ⎡ ⎤ = − = ⎢ ⎥ ρ ρ ⎣ ⎦ F e 3.2. Доказать, что при движении частицы в поле V( ρ) = −α/ρ, где α – по- ложительная константа, величина A = [v M] − αe ρ есть интеграл движения. Найти траекторию частицы, используя при этом постоян- ство вектора А. 3.3. Спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите с эксцен- триситетом е. Найти отношение максимального ϕ • max и минимально- го ϕ • min значений угловой скорости радиус-вектора спутника. [ ϕ • max / ϕ • min = (1 + e) 2 /(1 − e) 2 ] 3.4. Первая космическая скорость v 1 определяется как минимальная ско- рость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусст- венным спутником планеты. Вторая космическая скорость v 2 опре- деляется как минимальная скорость, которую должно иметь тело, чтобы выйти из сферы влияния планеты, и начать инфинитное дви- жение. Оценить величины этих скоростей для Земли и Луны. 1 2 1 1З 1Л , 2, 8 / , 1.7 / v gR v v v км сек v км сек ⎡ ⎤ = = ≅ ≅ ⎣ ⎦ Метод законов сохранения и движение в центральном поле 50 3.5. Тело без начальной скорости падает на Землю с большой высоты Н. Найти зависимость скорости тела от его текущей высоты h. Исследо- вать случаи H/R << 1, h/R << 1 и H/R >> 1, h/R >> 1 (R − радиус Земли). 2 2 ( ) ( ) ( )( ) gR H h v h R h R H ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3.6. Тело падает на Землю с большой высоты h. Пренебрегая сопротив- лением воздуха, найти время Т, по истечении которого тело достиг- нет поверхности Земли, и скорость, которую оно приобретет за это время. Радиус Земли R предполагается известным. 3.7. Найти траектории (изобразить их примерный вид) и закон движения частицы в поле U = −U 0 (при r < R) и U = 0 (при r > R) (сферическая потенциальная яма) при различных значениях начального момента импульса М и энергии Е. 3.8. Найти траектории движения частицы и изобразить их примерный вид, если она двигается в потенциальном поле U( ρ). а) U( ρ) = α/ρ + β/ρ 2 , ( α > 0, β > 0); б) U( ρ) = −α/ρ + β/ρ 2 , ( α > 0, β > 0); в) U( ρ) = −α/ρ − β/ρ 2 , ( α > 0, 0< β < M 2 /2m); г) U( ρ) = −α/ρ − β/ρ 2 , ( α > 0, β > M 2 /2m). 3.9. Показать, что в поле U = −α/r − (F 0 r ), где F 0 – постоянная величина, скалярная величина I = (F 0 [vM ]) − α(F 0 r )/r + [F 0 r ] 2 /2 является инте- гралом движения. 3.10. Обобщить теорему о вириале сил для заряженной частицы, движу- щейся в однородном магнитном поле. 3.11. Найти траекторию материальной точки, полная энергия которой при движении в потенциальном поле 0 2 ln( / ) ( ) r r U r r = −α равна нулю. 3.12. Найти зависимость от координат потенциала центрального поля, в котором материальная точка может двигаться по гиперболической спирали /( ) r p a b = ϕ + , где p, a, b – константы. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 51 Задачи средней трудности 3.13. С какой начальной скоростью v 0 , образующей угол α с горизонтом, нужно запустить ракету с Северного полюса Земли, чтобы она по- пала на экватор? Землю считать однородным шаром радиуса R, гра- витационное поле которого совпадает с полем точки, помещенной в центре Земли и имеющей массу Земли. Найти также оптимальный угол запуска (с точки зрения минимизации необходимой начальной энергии). g − ускорение свободного падения на поверхности Земли. 0 , /8 cos (cos sin ) gR v ⎡ ⎤ = α = π ⎢ ⎥ α α + α ⎣ ⎦ 3.14. Найти закон движения частицы массы m и заряда e в магнитном по- ле Н(0, 0, Н 0 Ф(x/a)). Начальные условия в декартовых координатах имеют вид: r(0) = 0, v(0) = (ωа,0,0), где ω = eH 0 /mc. Функция Ф(u) (u = x/a) определяется соотношением Ф(u) = ( ) d W u du . W(u), в свою очередь, задается следующими функциями: а) W(u) = u 2 + u −2 ; б) W(u) = 1/ch 2 (u); в) W(u) = exp(2u) − αexp(u) (α > 0); г) W(u) = tg 2 (u). 3.15. Материальная точка движется в центрально-симметричном поле при наличии силы трения F тр = −γ(v)v (v – величина вектора скорости). Доказать, что тело будет находиться в плоскости, проходящей через центр силы, при произвольных начальных условиях. 3.16. Частица с зарядом e движется в магнитном поле Н. а) Доказать, что выражение J = (MH) + 2 [ ] 2 e c rH является интегра- лом движения, если поле Н – однородное и постоянное (M – мо- мент импульса частицы). б) Пусть H(r) = H(r)(r/r). Останется ли в этом случае скалярная ве- личина J интегралом движения? Метод законов сохранения и движение в центральном поле 52 3.17. Частица с зарядом e и массы m движется в поле магнитного монопо- ля Н = μr/r 3 . Найти интеграл движения, следующий из закона со- хранения момента импульса частицы. 3.18. Проинтегрировать уравнения движения свободной точки в цилинд- рических координатах. 3.19. Шарик массы m находится на гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент времени ему сообщается скорость v под углом α к горизонту, после чего он начинает подпрыгивать над плоскостью. Постоянный коэффициент восстановления λ (λ = |p y + |/|p y − |, 0 < λ < 1) при ударе предполагается известным. Найти время τ, по истечении которого шарик перестает подпрыгивать. Найти также расстояние L, пройденное шариком по горизонтали за это время. 2 2 sin sin(2 ) , (1 ) (1 ) v v L g g ⎡ ⎤ α α τ = = ⎢ ⎥ − λ − λ ⎣ ⎦ 3.20. Телу массы m, находящемуся в состоянии покоя, сообщается ско- рость v. Как изменится совершаемая над ним работа, если скорость тела увеличится на ту же величину v, но от начального значения скорости v 0 ? [увеличится на величину m(vv 0 )] 3.21. Какие компоненты векторов импульса P и момента импульса M со- храняются при движении в следующих полях: а) поле бесконечной однородной плоскости; б) поле бесконечного однородного цилиндра; в) поле двух точек; г) поле однородного конуса; д) поле однородного кругового тора. 3.22. Найти наибольшую высоту подъема H над поверхностью Земли снаряда, вылетевшего с начальной скоростью v 0 , под углом α к го- ризонту и упавшего на Землю. Полагать силу притяжения Земли об- ратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли, сна- ряд считать точечной массой, силой сопротивления пренебречь. Ус- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 53 корение на поверхности Земли принять равным g, а радиус Земли равным R. ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 0 2 cos 2 v gR g R gR v v H R gR v ⎡ ⎤ − + − − α ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3.23. Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направле- нии вокруг притягивающего центрапо компланарным орбитам, од- на из которых – круговая радиуса r 0 , а другая – эллиптическая с рас- стояниями перигея и апогея r 0 и8r 0 соответственно. Полагая, что спутники путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения своих орбит, а дальнейшее движе- ние продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты. 0 49 23 a r r ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Задачи повышенной трудности 3.24. Получить законы изменения и сохранения импульса и момента им- пульса для системы частиц, обладающими переменными массами. 3.25. При каком условии выполняется закон сохранения полной механи- ческой энергии для системы частиц с переменными массами? 3.26. Три частицы (с массами m 1 , m 2 , m 3 ) расположены в вершинах равно- стороннего треугольника с известной стороной d и взаимодействуют друг с другом по закону Ньютона. Найти угловую скорость враща- тельного движения системы, при котором относительное располо- жение частиц остается неизменным. ( ) 1/ 2 3 1 2 3 / , M d M m m m ⎡ ⎤ Ω = γ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3.27. Спутник выведен на круговую околоземную орбиту. Сила трения, действующая на спутник в верхних слоях атмосферы, равна F v = Av α , где v – полная скорость спутника. Замечено, что скорость изменения радиального расстояния r (dr/dt = −C, где С − положи- тельная константа), обусловленная воздействием этой силы доста- точно мала, так что потеря энергии за один оборот мала по сравне- Метод законов сохранения и движение в центральном поле 54 O нию с полной кинетической энергией спутника Е. Из этих условий найти выражения для A и α. [ α=3] 3.28. Частица массой m движется по круговой орбите радиуса R в поле центральной силы, потенциал которой равен −α/r n . Показать, что если n < 2, то потенциал обладает минимумом и круговая орбита будет устойчивой по отношению к малым колебаниям (т.е. частица осциллирует около круговой орбиты). Вычислить период таких ос- цилляций. 3.29. Материальная точка движется в поле притягиваю- щей центральной силы F = F(x,y,z,t)r/r. Существу- ет ли такая зависимость величины силы F(x,y,z,t) от координат и времени, что траектория самопере- секается, а центр притяжения O лежит вне замкну- той петли. (На рисунке изображена плоскость орбиты). |