Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 9. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Уравнения Гамильтона. Основные положения и формулы Для механической системы с n степенями свободы существуют урав- нения Лагранжа (5.15): n дифференциальных уравнений второго порядка, содержащие q •• j , q • j и q j . Свойства механической системы заложены в функ- ции Лагранжа L(q,q • ,t) = T − U, зависящей от n независимых переменных: обобщенных координат q(q 1 ,q 2 ,…,q n ), а обобщенный импульс p j определя- ется соотношением p j = ∂L ∂q • j . (9.1) Гамильтонов формализм классической механики 1 связан с введением 2n независимых обобщенных переменных: к обобщенным координатам до- бавлено n обобщенных импульсов p(p 1 ,p 2 ,…,p n ). Свойства механической системы заложены в функции Гамильтона 2 H(q,p,t) – обобщенной энер- гии системы. Движение механической системы в отсутствие диссипатив- ных сил можно определить, решив соответствующие уравнения Гамиль- тона: систему 2n дифференциальных уравнений первого порядка j j j j H p q H q p ∂ ⎧ = − ⎪ ∂ ⎪ ⎨ ∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ & & (j = 1,2,…,n). (9.2) 1 Для аналитического решения в случае простых систем лагранжев подход часто оказывается более удобным. Однако в более сложных случаях – при переходе к квантовой механике, в статистической механике, при численном решении уравнений и т.д. – предпочтителен га- мильтонов формализм. 2 Часто функцию Гамильтона, особенно в квантовой механике, называют гамильтонианом. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 186 Окончательно, с учетом 2n начальных условий (q 0 ,p 0 ) можно записать за- кон движения данной системы как q j = q j (q 0 ,p 0 ,t) и p j = p j (q 0 ,p 0 ,t), где j = 1,2,…,n. Уравнения Гамильтона в записи (9.2) иногда называют кано- ническими уравнениями движения. Таким образом, для решения уравнений движения в гамильтоновом формализме (9.2) необходимо определить процедуру нахождения функции Гамильтона для любой механической системы. Покажем, как можно найти функцию Гамильтона, зная функцию Ла- гранжа. Проще всего воспользоваться определением обобщенной энергии системы H (см. также замечание к задаче 5 на странице 91) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ,..., ; , ,..., , ) ( , ,..., ; , ,..., , ) n n n j j n n j H q q q p p p t p q L q q q q q q t = = − ∑ & & & & . (9.3) Справа в этом выражении присутствуют как "нужные" переменные q,p,t, так и "лишние" переменные q • j . Чтобы найти, как эти "лишние" обобщен- ные скорости выражаются через "нужные" переменные, т.е. q • j = q • j (q,p,t), необходимо воспользоваться определением (9.1) 1 2 1 2 ( , , ) ( , ,..., ; , ,..., , ) j j n n j L t p p q q q q q q t q ∂ = = ∂ q q & & & & & (j = 1,2,…,n). (9.4) и решить полученную систему алгебраических уравнений относительно q • j После чего осталось подставить найденные соотношения q • j = q • j (q,p,t) в вы- ражение (9.3), привести подобные члены и получить искомую функцию Гамильтона. Иногда возникает необходимость в решении обратной задачи, в нахо- ждении функции Лагранжа по известной функции Гамильтона. Для этого воспользуется (9.3) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ,..., ; , ,..., , ) ( , ,..., ; , ,..., , ) n n n j j n n j L q q q q q q t p q H q q q p p p t = = − ∑ & & & & , (9.5) а "лишние" p j как функции "нужных" переменных p j (q,q • ,t) найдем из сис- темы алгебраических уравнений (см. второе выражение в (9.2)) 1 2 1 2 ( ; , ) ( , ,..., ; , ,..., , ) j j n n j H t q q q q q p p p t p ∂ = = ∂ q p & & (j = 1,2,…,n). (9.6) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 187 Подставим найденные импульсы p j (q,q • ,t) в (9.5) и, после приведения по- добных слагаемых, получим функцию Гамильтона. Циклические переменные в гамильтоновом формализме Если какая-либо обобщенная переменная (например, q k ) не входит яв- ным образом в функцию Гамильтона, т.е. является циклической коорди- натой 1 , то соответствующий этой координате 2 обобщенный импульс p k яв- ляется интегралом движения, т.е. не меняется со временем. Действительно, пусть H(q 1 ,…,q k −1 ,q k +1 ,…,q n ; p 1 ,…,p k −1 ,p k ,p k +1 ,…,p n ,t), тогда это напрямую следует из уравнений Гамильтона (см. первое выраже- ние в (9.2)) 1 1 1 1 ( , , , , , ; , , ; ) 0 const k k n n k k k H q q q q p p t p p q − + ∂ = − ≡ → = ∂ K K K & . (9.7) Циклической переменной может быть и время t, т.е. H(q 1 , …,q n ,p 1 ,…,p n ). В этом случае в отсутствие диссипативных сил сохраняется обобщенная энергия, т.е. функция Гамильтона H(q 1 , …, q n , p 1 ,…, p n ) = const, и механи- ческая система является обобщенно-консервативной. Как мы видим, нали- чие циклических переменных упрощает решение уравнений Гамильтона. Напомним также, что обобщенную энергию H можно записать как (2) (0) H T U T = + − (9.8) (см. (5.19) и (5.20)). Отсюда видно, что, если на систему наложены только стационарные связи, то обобщенная энергия совпадает с обычной полной энергией системы: (2) H T U T U E = + = + = . В общем же случае, при наличии диссипативных d j Q либо других непо- тенциальных сил нп j Q первые n уравнений Гамильтона (9.2) приобретут вид нп j j j H p Q q ∂ = − + ∂ & , 1 Напомним, что циклическая координата не будет явно содержаться и в функции Лагранжа (см. замечание к задаче 5 на странице 91). 2 Часто говорят " сопряженный этой координате" импульс, а q j , p j называют сопряженными переменными (j – любое). Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 188 а закон изменения обобщенной энергии системы записывается так d 1 1 ( ,..., , ,..., , ) n n dH H q q p p t N dt t ∂ = + ∂ , (9.8) где d d 1 n j j j N Q q = = ∑ & – мощность диссипативных сил. Примеры решения задач Задача 1. Найти функцию Гамильтона и провести анализ движения систе- мы в гамильтоновом формализме для простейших механических систем: a) свободной частицы; б) гармонического осциллятора; в) частицы в центральном поле. Решение. Действуем по алгоритму: сначала находим функцию Лагранжа L(q,q • ,t) = T(q,q • ,t) − U(q,t) ( для данных систем функция Лагранжа найдена в задаче 5 из раздела 5 ), затем выражаем с помощью (9.4) обобщенные скорости через коор- динаты и импульсы, эти выражения подставляем в определение (9.3). а) Функция Лагранжа свободной частицы в декартовых координатах име- ет вид 2 2 2 ( / 2)( ) L m x y z = + + & & & (число степеней свободы n = 3 и q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z). Находим соответствующие обобщенные импульсы , , x y z L L L p mx p my p mz x y z ∂ ∂ ∂ = = = = = = ∂ ∂ ∂ & & & & & & , (обобщенные импульсы совпадают с обычными, кинематическими им- пульсами 1 !), следовательно, x • = p x /m, y • = p y /m, z • = p z /m. Подставляем полу- ченные скорости в определение функции Гамильтона (9.3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , , , , ) ( / 2)( ) ( ) / ( ) /(2 ) 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z H x y z p p p xp yp zp m x y z p p p p p p p m p p p m m m = + + − + + = + + = + + − + + = = & & & & & & 1 В общем случае размерность обобщенных импульсов может не совпадать с размерностью ки- нематических импульсов (см., например, ниже p ϕ ниже в пункте в данной задачи). Теоретическая физика. Механика (практический курс) 189 Допустима векторная запись: L = mv 2 /2 = m(vv)/2 = m(r • r • )/2 → p = ∂L/∂r • = mr • → r • = p/m → → H(r,p) = (pr • ) − mr • 2 /2 = p 2 /m − p 2 /2m = p 2 /2m. Поскольку в гамильтониан координаты вообще не входят, то все компонен- ты импульса – интегралы движения. Уравнения Гамильтона (9.2) приобре- тают вид p • = −∂H/∂r = 0 и r • = ∂H/∂p = p/m. Решения – p = p 0 , r = p 0 t/m + r 0 б) Функция Лагранжа одномерного линейного гармонического осциллято- ра L(x,x • ) = mx • 2 /2 − mω 2 0 x 2 /2. Следовательно, p = ∂L/∂x • = mx • и x • = p/m. Тогда функция Гамильтона H(x,p) = px • (p) − L(x,x • (p)) = p 2 /2m + mω 2 0 x 2 /2 и она совпадает с полной энергией гармонического осциллятора E. Запись уравнений движения в гамильтоновом формализме также элементарно p • = −∂H/∂x = −mω 2 0 x, x • = ∂H/∂p = p/m. После дифференцирования по времени второго уравнения и подстановки p • в первое, мы имеем стандартное уравнение гармонического осциллятора x •• + ω 2 0 x = 0 с известным решением (см., например, раздел 8). в) Лагранжиан частицы в центральном поле (две степени свободы: q 1 = ρ, q 2 = ϕ – полярная система координат): L(ρ,ϕ,ρ • , ϕ • ) = mρ • 2 /2 + mρ 2 ϕ • 2 /2 −U(ρ). Попутно замечаем, что ϕ является циклической координатой в лагранже- вом формализме, поскольку не входит в явном виде в функцию Лагранжа. Обобщенные импульсы, сопряженные координатам ρ и ϕ соответственно: 2 , L L p m p m ρ ϕ ∂ ∂ = = ρ = = ρ ϕ ∂ρ ∂ϕ & & & & Выражаем обобщенные скорости через импульсы и координаты 2 , p p m m ρ ϕ ρ = ϕ = ρ & & Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 190 Эти выражения подставляем в определение функции Гамильтона (9.3) и решаем задачу, находя H = H( ρ,ϕ,p ρ ,p ϕ ), 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 p p p p p p m m H p p U U m m m m m m ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ = + − − + ρ = + + ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ ρ ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Подчеркнем, что ϕ является циклической координатой и в гамильтоновом формализме 1 . Это означает, что соответствующий обобщенный импульс p ϕ (физический смысл: z-компонента момента импульса M z !) является инте- гралом движения, что напрямую следует из уравнений Гамильтона и за- метно упрощает их решение 2 0 3 0 2 2 0 const; ; p H H U p p p p m p p p H H p p m m m ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ∂ ∂ ∂ = − = → = = = − = − ∂ϕ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ ∂ ϕ = = = ρ = = ∂ ∂ ρ ρ & & & & Во всех рассмотренных выше случаях (а-в) циклической переменной является также и время, что приводит к сохранению обобщенной энергии 1 (функции Гамильтона) H(q,p) = E = const, что в данном случае (в отличие от случаев а, б) действительно упрощает решение уравнений движения. После подстановок получаем известное уравнение, используемое для ана- лиза движения частицы в центральном поле (см. раздел 3), 2 0 2 2 2 ( ) 2 p E U m m ϕ ⎡ ⎤ ρ = − ρ − ⎢ ⎥ ρ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & Задача 2 . Найти функцию Гамильтона и написать канонические уравнения движения системы, функция Лагранжа которой имеет следующий вид ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 2 L q q q q q q q q q q = + + − + + + & & & & Решение. Система имеет три степени свободы. Сначала используем опре- деление обобщенных импульсов (9.4) и найдем q • j = q • j (q,p,t) = q • j (q,p) (j = 1,2,3) 1 См. замечание на странице 91. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 191 1 1 3 1 2 2 1 2 2 3 1 3 L p q q q L p q q q L p q q ⎧ ∂ = = + ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ = = ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂ = = ⎪ ∂ ⎩ & & & & & & & → 1 3 2 2 2 1 3 1 3 q p p q q q p p ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = − ⎩ & & & Подставляем их в определение функции Гамильтона (9.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 2 3 1 3 3 3 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 2 1 1 ( , , ) 2 1 1 2 2 2 2 p p H t p p p p p p p p p p q q p p q q q q q p p q q q q q q ⎛ ⎞ = + + − − + − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + − + = + − + + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ q p Канонические уравнения Гамильтона тогда запишутся как 2 2 1 1 3 2 2 3 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2 1 ; ; ; ; p p q q p q q p q q q p q p q q p p q = − + = − + = + = = = − & & & & & & Задача 3 . Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона системы имеет следующий вид ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 1 2 2 1 1 2 2 2 p p H p p q q q q q q = + + + + − + Решение. По смыслу задача является обратной по отношению к предыду- щей, а функция Гамильтона очень похожа на ответ предыдущей задачи. Отличие в одном знаке. Нам нужно исключить "лишние" импульсы, после чего воспользоваться соотношением (9.5). С помощью уравнений Гамильтона, а именно, q • j =∂H/∂p j составим уравнения на неизвестные p j и найдем их Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 192 1 3 1 2 2 2 2 1 3 1 3 3 H q p p H p q p q H q p p p ⎧ ∂ = = ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ = = ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂ = = + ⎪ ∂ ⎪⎩ & & & → 1 1 3 2 2 1 2 3 1 p q q p q q p q = − + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ & & & & Функция Лагранжа (9.5) ( ) ( ) 2 2 1 3 1 1 2 1 3 1 ( , , ) ( , , ) , ( , , ), n j j j L t p t q H t t q q q q q q q = = − = − + + + − ∑ q q q q q p q q & & & & & & & & & & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q − − + − − − + + + = = − + + − + + + & & & & & & & & & , Разница с функцией Лагранжа в задаче 2 также в одном знаке. Задачи Обязательные задачи 9.1. Составить функцию Гамильтона: а) свободной материальной точки в цилиндрических и сферических координатах; б) частицы, двигающейся в однородном поле тяжести; в) частицы в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью Ω. 9.2. Найти функцию Гамильтона для частицы с зарядом e и массой m, двигающейся в неоднородном электромагнитном поле со скаляр- ным потенциалом ϕ и векторным потенциалом А. ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ H = 1 2m ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ p + e cA 2 + e ϕ 9.3. а) Найти функцию Гамильтона математического маятника, функция Лагранжа которого ( ω – константа) L = ϕ • 2 /2 − ω 2 (1 − cosϕ). Теоретическая физика. Механика (практический курс) 193 б) Найти функцию Гамильтона этого математического маятника, выбирая в качестве обобщенной координаты x = [(1 − cosϕ)/2] 1/2 [ ] б) H = p 2 (1 − x 2 /4)/2 + ω 2 x 2 /2 9.4. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения механической системы, лагранжиан которой имеет вид (a, b – константы) а) L = (q • 2 1 + q • 2 2 )/2 − a(q 1 −q 2 ) 2 /4 − b(q 1 + q 2 ) 2 /4; б) L = (q • 2 1 + q • 2 2 )/4 a + (q 2 q • 1 − q 1 q • 2 )/2 a + (q 2 1 + q 2 2 )/4 a; в) L = q • 2 1 /2 + (q • 2 2 /2)sin 2 q 1 + acosq 1 ; г) L = (q 2 1 + q 2 2 )( q • 2 1 + q • 2 2 − 2a)/2; д) L = q • 1 q • 2 − q 1 q 2 9.5. Найти функцию Лагранжа механической системы, гамильтониан которой имеет вид (a, b, c – константы) а) H = p 2 2 m + (ap) + U(r), a – постоянный вектор; б) H = p 2 1 /6 + p 2 2 /2 + q 2 1 + q 2 2 /2 + q 1 q 2 ; в) H = [p 2 1 + 5p 2 2 − 2p 1 p 2 cos( q 1 − q 2 )]/{2[4 + sin 2 ( q 1 − q 2 )]} − − 3cosq 1 − cosq 2 ; г) H = (p 1 + p 2 ) 2 /(2 at 2 ) + p 2 2 /2 + acosq 2 ; д) H = p 2 1 /(4 a) + p 2 2 /[4( c 2 + b 2 cos 2 q 1 )]; е) H = 2(q 1 p 2 1 + q 2 p 2 2 )/( q 1 + q 2 ) + p 2 3 /(2 q 1 q 2 ) − a/(q 1 + q 2 ) + b(q 1 − q 2 ); ж) H = p 2 1 + p 2 2 + 3p 2 3 + 3p 2 4 − 2p 1 p 3 −2p 2 p 4 )/2 +2(q 2 1 + q 2 2 − q 1 q 2 ) + + (q 2 3 + q 2 4 )/4; 9.6. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой H(x,p) = p 2 /2 + ω 2 0 x 2 /2 + λ(p 2 /2 + ω 2 0 x 2 /2 ) 2 [ ] x = acos(ωt + ϕ), p = −aω 0 sin( ωt + ϕ), где ω = ω 0 (1 + 2 λA), A = a 2 ω 2 0 /2 Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 194 9.7. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения для механических систем, описанных в задачах: а) Задача 4, решенная в разделе 5 (уравнения Лагранжа); б) 5.9; в) 5.11; г) 5.12; д) 5.14; е) 5.15; ж) 5.16; з) 5.19; и) 5.23. 9.8. С помощью уравнений Гамильтона найти закон движения для час- тицы с массой m и зарядом е, двигающейся а) в постоянном электрическом поле с потенциалом ϕ; б) в постоянном магнитном поле H = He z с векторным потенциалом A (0, Hx,0); в) одновременно в постоянном электрическом и магнитном полях. 9.9. Тяжелое колечко массы m может скользить по гладкой проволочной окружности массы М и ра- диуса R, которая вращается вокруг своего верти- кального диаметра. Написать функцию Гамиль- тона и составить канонические уравнения системы. 2 2 2 2 2 cos ( 2 sin ) 2 p p H mgR R M m mR ϕ ψ ⎡ ⎤ = + + ψ ⎢ ⎥ + ψ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 9.10. Составить канонические уравнения движения материальной точки массы m, двигающейся по гладкой сфере радиуса R в однородном поле тяжести. 2 2 2 2 1 cos 2 sin p H p mgR mR ϕ θ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + + θ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ θ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Задачи средней трудности 9.11. Составить функцию Гамильтона свободно двигающегося симмет- ричного волчка (главные моменты инерции J 1 , J 2 = J 1 , J 3 ), используя в качестве координат эйлеровы углы ϕ, θ, ψ. [ ] H = p 2 θ /2J 1 +(p ϕ − p ψ cos θ) 2 /2J 1 sin 2 θ + p 2 ϕ /2J 3 m ψ ϕ • Теоретическая физика. Механика (практический курс) 195 ϕ • x α 9.12. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения для механических систем, описанных в задачах: а) 5.25; б) 5.30. 9.13. Найти функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функ- ция Лагранжа которого L = x • 2 /2 − ω 2 x 2 /2 − αx 3 + βxx • 2 , ω, α, β – кон- станты. [ ] H = p 2 /[2(1 + 2 βx)] + ω 2 x 2 /2 + αx 3 9.14. а) Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона кото- рой имеет следующий вид: H = c|p| n(p,r), где c – константа, а n(p,r) – произвольная функция радиус-вектора r и импульса частицы p. Примечание. Данный гамильтониан описывает распространение света в прозрачной среде с показателем преломления n. "Частицей" является волновой пакет, r(t) – закон его движения, r • – его групповая скорость, а вектор p, перпендикулярный волновому фронту, определяет волновой вектор. 2 2 , c cp n cp n np n n ⎡ ⎤ ∂ ∂ = − = ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ p r p p r & & б) Найти траекторию, если n(r) = ax (a – константа). [ ] x = C 1 ch(y/C 1 + C 2 ) Задачи повышенной трудности 9.15. Треугольная призма массы М может сколь- зить по гладкой горизонтальной плоскости. Однородный цилиндр массы m и радиуса r может катиться без проскальзывания по бо- ковой грани призмы, образующей угол α с горизонтом. Найти функцию Гамильтона системы, составить кано- нические уравнения движения и решить их. 2 2 2 2 2 3 2( ) 4 cos sin 2 3 (1 sin ) x x mr p m M p mrp p H mgr mr M m ϕ ϕ ⎡ ⎤ + + − α ⎢ ⎥ = − ϕ α ⎡ ⎤ + + α ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 196 9.16. Записать функцию и уравнения Гамильтона для механических сис- тем, описанных в задачах: а) 5.27; б) 5.33. 9.17. Найти функцию Лагранжа частицы, функция Гамильтона которой имеет следующий вид H = c|p| n(r), где c – константа, а n(r) – произ- вольная функция радиус-вектора (см. выше задачу 9.14). 9.18. Составить канонические уравнения пространственного движения однородного стержня массы m и длины 2l в однородном поле тяже- сти. Найти первые интегралы движения. 9.19. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения двойного плоского маятника, состоящего из двух одина- ковых стержней массы m и длины l. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 197 Скобки Пуассона. Основные положения Пусть f и g – произвольные функции обобщенных координат, импуль- сов и времени: f(q 1 ,…, q n ; p 1 ,…, p n , t), g(q 1 ,…, q n ; p 1 ,…, p n , t). Скобка Пуассона определяется следующим образом: { } 1 , n j j j j j f g f g f g p q q p = ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∑ . (9.9) Основные свойства скобок Пуассона (здесь f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t) – функции, а α k – константы) (1) {f, g} = −{g, f} (a) {f, f} = 0 (2) {f, α} = {α, g} = 0 (3) { ∑ k α k f k , g} = ∑ k α k { f k , g} (a) { αf, g} = α{f, g} (b) {f 1 + f 2 , g} = {f 1 , g} + {f 2 , g} (4) { ∏ k f k , g} = ∑ l f l { ∏ k≠l f k , g} (a) {f 1 f 2 , g} = f 1 { f 2 , g} + f 2 { f 1 , g} (5) ∂ ∂t{f, g} = { ∂f ∂t, g} + {f, ∂g ∂t } (6) {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} = 0 (тождество Якоби) Очень просто вычисляются элементарные, или фундаментальные, скобки Пуассона: { q j , q k } = 0, {p j , p k } = 0, {p j , q k } = δ jk . (9.10) Зачем нужны скобки Пуассона? a. С их помощью можно единообразным способом записать уравнения Га- мильтона (9.2) q • j = {H, q j }, p • j = {H, p j }. (9.11) б. Для произвольной функции f(q,p,t) уравнения движения (полная произ- водная по времени) имеют похожий вид df(q,p,t) dt = ∂f ∂t + {H, f}. (9.12) Так, например, подставив вместо f(q,p,t) гамильтониан H(q,p,t) и восполь- зовавшись следствием a первого свойства скобок Пуассона, мы мгновенно Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 198 получаем соотношение (9.8). в. Если f и g – интегралы движения, то их скобка Пуассона, {f, g}, – также интеграл движения (теорема Пуассона). В ряде случае это помогает нахо- дить дополнительные интегралы движения и упрощает решение задач. г. Наконец, скобка Пуассона является классическим аналогом коммутато- ра, играющего важную роль в квантовой механике. Примеры решения задач Задача 4 . Вычислить скобки Пуассона: (а) {x, M y }; ( б) { ϕ, ψ}, где ( ) ( ) 2 3 3 2 1 1 cos , sin n n j j j j j j p q p q = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ϕ = + ψ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ Решение. Можно сразу вычислить скобку Пуассона, "в лоб", исходя из оп- ределения (9.9), а можно найти скобку Пуассона, используя свойства этих скобок и постепенно сводя искомую скобку к более простым и даже из- вестным. На примере (а) покажем оба варианта. (а) В задаче предполагается 3 степени свободы: обобщенные координаты совпадают с обычными декартовыми ( q 1 = x 1 = x, q 2 = x 2 = y, q 3 = x 3 = z), обобщенные импульсы (p 1 = p x , p 2 = p y , p 3 = p z ) – с компонентами обычного импульса. Компонента момента импульса M y = [r p] y = M 2 = zp x − xp z = = x 3 p 1 − x 1 p 3 I способ – вычисление "в лоб": { } { } ( ) 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2 2 1 3 1 1 3 3 1 1 1 , , y j j j j j j j j j j j x M x M x M x M x M p x x p x p M M x p x p x z p p p = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ = − δ = − = − − = − = − ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ II способ – использование свойств, сведение к известным скобкам. { } { } { } { } { } { } { } { } { } (3) (4a) 1 2 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 1 1 3 3 1 1 3 1 0 0 0 , , , , , , , , , y x M x M x x p x p x x p x x p x x p p x x x x p p x x x z =− = = = = = − = − = = + − − = − = − В данном случае мы свели все к фундаментальным скобкам (9.10), их зна- чения написаны под скобками. Над знаками равенства приведены номера Теоретическая физика. Механика (практический курс) 199 свойств, которые были применены при вычислениях. Теперь можно при решении других задач использовать полученный результат и считать { x, M y } – " известной" скобкой Пуассона 1 (б) В этой задаче главное не ошибиться при вычислении частных произ- водных от сложных функций ϕ(q,p) и ψ(q,p) ( ) ( ) 2 3 2 3 1 1 1 sin 2 2 sin n n n j j j jk k j j j j j k p q p p p q p = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ϕ = − + δ = − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ; ( ) 2 2 3 1 3 sin n k j j j k q p q q = ⎡ ⎤ ∂ϕ = − + ⎢ ⎥ ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ; ( ) ( ) 2 3 2 3 2 1 1 3 cos ; 2 cos n n k j j k j j j j k k p p q q p q p q = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ψ ∂ψ = + = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ Подставим их в определение (9.9), в котором поменяем индекс суммирова- ния ( j → k) { } ( ) 2 2 2 3 1 1 9 , 2 sin 2 2 n n k k k k j j k j k k k k p q p q p q p q q p = = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ⎛ ⎞ ϕ ψ = − = − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ ∑ Задача 5 . Показать, что, если функция Гамильтона зависит от переменных q 1 и p 1 лишь опосредовано через функцию f(q 1 , p 1 ), т.е. H = H(f(q 1 , p 1 ), q 2 , p 2 ,…, q n , p n ), то f(q 1 , p 1 ) – интеграл движения. Решение. Другими словами нужно показать, что f(q 1 , p 1 ) не изменяется во времени, т.е. является константой. С помощью скобок Пуассона решение укладывается в одну строчку. Воспользуемся определением 2 1 1 1 1 { , } 0 n j j j j j df H f f H f f H f H f H f dt f p q f q p p q q p = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⋅ − ⋅ + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ , тогда первых два члена, где вычислены производные от сложной функции H = H(f,q 2 , p 2 ,…, q n , p n ), отличаются только знаками, а в последней сумме производные от f тождественно равны 0. Отсюда следует, что 1 Из соображений симметрии, кстати, сразу следует, что { y, M z } = −x, {z, M x } = −y. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 200 f(q 1 , p 1 ) = const. Более того, очевидно обобщение этого результата, если функция Гамильтона имеет вид H = H(f(q 1 , p 1 ,…, q k , p k ,), q k +1 , p k +1 ,…, q n , p n ), то f(q 1 , p 1 ,…, q k , p k ) – интеграл движения. Задачи Обязательные задачи 9.20. Вычислить скобку Пуассона { ϕ, ψ}, где а) ϕ = q 2 + p 2 , ψ = arctg(p/q); б) ϕ = ϕ(q 2 + p 2 ), ψ = arctg(p/q); в) ϕ = ϕ(q 2 + p 2 ), ψ = ψ(arctg(p/q)); г) ϕ = q j , ψ = ψ(q 1 ,..., q n , p 1 ,…, p n , t); д) ϕ = p j , ψ = ψ(q 1 ,..., q n , p 1 ,…, p n , t); е) ϕ = ϕ(q 1 , p 1 ), ψ = ψ(ϕ(q 1 , p 1 ), q 2 ,..., q n , p 2 ,…, p n , t); ж) ϕ = ϕ(g((q 1 ,..., q n , p 1 ,…, p n , t)), ψ = ψ(g((q 1 ,..., q n , p 1 ,…, p n , t)); з) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 cos , sin n n j j j j j j p q p q = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ϕ = + ψ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ; и) ( ) ( ) 2 3 2 3 1 1 , n n j j j j j j p q p q = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ϕ = ϕ + ψ = ψ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ 9.21. Вычислить скобки Пуассона: а) {М i , х j }, б) {М i , p j }, в) {М i , М j }, г) {М 2 , М j }, где х j , p j – декартовы координаты и компоненты импульса частицы, М j – компоненты ее момента импульса относительно начала коор- динат, а М 2 = М 1 2 + М 2 2 + М 3 2 ; д) {(ap), (br)}, е) {(aM), (br)}, ж) {(aM), (bM)}, з) {(aM), (bp)}, где a и b – постоянные векторы. Примечание. При вычислениях удобно использовать элементы единично- го антисимметричного тензора 3 ранга e ijk , которые обладают следую- щими свойствами: e ijk = e jki = e kij = − e jik = − e kji = − e ikj . Вследствие чего эле- менты, имеющие хотя бы 2 одинаковых индекса, обращаются в нуль. Среди оставшиеся 6 элементов с разными индексами элементы с "пра- вильной" последовательностью индексов равны единице, т.е. e 123 = e 312 = e 231 = 1, а с "неправильной" – −1, т.е. e 213 = e 321 = e 132 = −1. С Теоретическая физика. Механика (практический курс) 201 помощью единичного антисимметричного тензора 3 ранга легко записы- вается в матричном виде векторное произведение A = [B C]: , , ijk i j k i j k e B C = ∑ A e , где e k – соответствующий единичный орт, и его компо- нента – , k ijk i j i j A e B C = ∑ ) , ) , ) , ) 0; ) ( ), ) ([ ] ), ) ([ ] ), ) ([ ] ) ijk k ijk k ijk k k k k а e x б e p в e M г д е ж з ⎡ ⎤ − − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ab ab r ab M ab p 9.22. Вычислить скобку Пуассона { ϕ, ψ}, где ϕ = qcosωt + (p/ω)sinωt, ϕ = pcosωt – qωsinωt. Рассмотреть два случая: а) n = 1 и б) n > 1, ко- гда p и q суть модули векторов p и q. Здесь n – число степеней сво- боды. Задачи средней трудности 9.23. а) Доказать, что значение любой функции координат и импульсов системы f [p(t),q(t)] выражается через значения p и q в момент вре- мени t = 0 формулой f [p(t),q(t)] = f + t 1!{H, f} + t2 2!{H, {H, f}} + …, где f = f [ p(0),q(0)], H = H [ p(0),q(0)]. ( Ряд предполагается сходящимся. ) Вычислить с помощью этой формулы q(t), p(t), q 2 ( t), p 2 ( t) для: б) частицы в однородном поле F = −∂U/∂r = const, в) гармонического осциллятора. 9.24. Показать, что три функции f = p 2 x + y 2 , g = x 2 + p 2 y , h = {f, g} являют- ся независимыми первыми интегралами системы с двумя степенями свободы, описываемой гамильтонианом H = p x p y + xy. 9.25. Вычислить скобки Пуассона { α i , α j }, где α 1 = (x 2 + p 2 x − y 2 − p 2 y )/4, α 2 = (xy + p x p y )/2, α 3 = (xp y − yp x )/2, α 4 = x 2 + y 2 + p 2 x + p 2 y 3 4 1 { , }= , { , }=0 ( , 1,2,3) i j ijk k i k e i j = ⎡ ⎤ α α − α α α = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 202 Задачи повышенной трудности 9.26. Найти { v i , v j } для частицы в магнитном поле H( H x , H y , H z ). 3 2 1 ijk k k e e H mc = ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 9.27. В квантовой теории гармонического осциллятора важную роль иг- рают следующие комплексно-сопряженные комбинации координат и импульсов a = (2mω) −1/2 ( m ωx + ip), a* = (2mω) −1/2 ( m ωx − ip) (им со- ответствуют операторы уничтожения и рождения квантов). а) Найти скобку Пуассона {a, a*}. Выразить через a и a* функцию Гамильтона гармонического осциллятора H = p 2 /2 m + mω 2 x 2 /2. б) Повторить вычисления для величин ae i ωt , a*e −iωt 9.28. Показать, что: а) { ϕ, М z } = 0, где ϕ – любая скалярная функция радиус-вектора и импульса частицы; б) {f, M z } = [e z f ], где f – векторная функция радиус-вектора и им- пульса частицы, а e z – единичный вектор в направлении оси O z. 9.29. Вычислить скобки Пуассона {f, (aM)} и {(fM), (gM)}, где a = const, а f – векторная функция радиус-вектора и импульса частицы. 9.30. Для частицы в центральном поле U = −α/r существует интеграл движения A = [vM] − αr/r (см. задачу 3.2). а) Вычислить скобки Пуассона {A i , x j }, { A i , p j }, { A i , М j }, { A i , A j }. б) В случае финитного движения (H = E < 0) для векторов J 1,2 = [M ± (m/2|E|) 1/2 A ] вычислить скобки Пуассона { H, J 1,2 }, {J 1i , J 2j }, { J 1i , J 1j }, { J 2i , J 2j } и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса M (задача 9.18в). Выразить гамиль- тониан задачи H через J 1 и J 2 |