Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н

• Название: Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
• Анкор: Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин).pdf
• Дата: 08.05.2017
• Размер: 2.33 Mb.
• Имя файла: Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин).pdf
• Тип: Документы; #7294
• страница: 16 из 19

r,P,t)
= (rP) − (uP)t + m(ru) (u = const) найти каноническое преобразование r
= r(R,P,t), p = p(R,P,t) и но-

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
209
вую функцию Гамильтона для свободной частицы.
10.5.
Каким условиям должны удовлетворять матрицы u и v, чтобы пре- образование вида р
i
=
∑
j
u
ij
P
j
+
∑
j
v
ij
Q
j
, q
i
=
∑
j
v
ij
P
j
+
∑
j
u
ij
Q
j
было кано- ническим?
[uu
т
−vv
т
= E, uv
т
−vu
т
= 0, здесь E – единичная матрица]
10.6.
Дана производящая функция F
2
(q,P)
= q
2
e
P
найти функцию, приво- дящую к тому же самому каноническому преобразованию:
а) F
1
(q,Q); б) F
3
(p,Q); в) F
4
(p,P).
10.7.
Для переходов от "старых" цилиндрических и сферических коорди- нат к "новым" декартовым
а) х
= f
1
(
ρ,ϕ) = ρcosϕ, y = f
2
(
ρ,ϕ) = ρsinϕ, z = f
3
(z)
= z;
б) x
= f
1
(r,
θ,ϕ) = rsinθcosϕ, y = f
2
(r,
θ,ϕ) = rsinθsinϕ, z = f
3
(r,
θ) = rcosθ найти соответствующие формулы Р
x
= Р
x
(q
1
,q
2
,q
3
,p
1
,p
2
,p
3
,t),... – пре- образования обобщенных импульсов. Установить каноничность преобразований и найти их производящие функции F
2
и F
1 1
2
)
cos sin ,
sin cos ,
;
0;
( , , )
x
y
z
z
j
j
j
p
p
а P
p
P
p
P
p
F
F
f
z P
ϕ
ϕ
ρ
ρ
⎡
⎤
=
ϕ −
ϕ
=
ϕ +
ϕ
=
⎢
⎥
ρ
ρ
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
ρ ϕ
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
10.8.
Какому условию должна удовлетворять функция f(q,P), чтобы ее можно было использовать в качестве производящей функции кано- нического преобразования F
2
(q,P). Проверить f
= Plnq, f = P
2
+ q
2
,
f
= (P + q)
2
[det(
|∂
2
f
/∂q
j
∂P
k
|) ≠ 0]
Задачи средней трудности
10.9.
Показать, что закон движения свободной частицы массы m в одно- родном поле тяжести можно рассматривать как каноническое пре- образование r
= r(r
0
,p
0
,t), p
= p(r
0
,p
0
,t). Найти производящую функ- цию этого преобразования и функцию Гамильтона частицы в новых переменных r
0
, p
0
[F
2
= (p
0
r
)
− mgtz + gt
2
p
z0
/2
− p
0 2
t/2m, H
'
= 0]

Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби
210 10.10.
Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых произ- водящими функциями:
а) F(r,p)
= (rP) + (δaP), б) F(r,p) = (rP) + (δϕ[rP]).
[а) сдвиг на вектор
δa, б) поворот на угол δϕ]
10.11.
Показать, что уравнения Гамильтона сохраняют свой вид относи- тельно канонических преобразований.
10.12.
Прямым вычислением показать, что скобки Пуассона {p
i
, q
j
}
= δ
ij
,
{p
i
, p
j
}
= 0, {q
i
, q
j
}
= 0 инвариантны по отношению к каноническим преобразованиям.
Задачи повышенной трудности
10.13.
Для задачи 9.27 показать, что
а) Q
= a, P = ia* и б) Q = ae
i
ωt
, P
= ia*e
−iωt
являются каноническими переменными. Найти гамильтониан гар- монического осциллятора в новых переменных H
'(Q,P,t).
10.14.
Показать, что преобразование
x
= (mω)
−1/2
[(2P
1
)
1/2
sinQ
1
+ P
2
],
p
x
= (mω)
1/2
[(2P
1
)
1/2
cosQ
1
− Q
2
]/2,
y
= (mω)
−1/2
[(2P
1
)
1/2
cosQ
1
+ Q
2
],
p
y
= (mω)
1/2
[
−(2P
1
)
1/2
sinQ
1
+ P
2
]/2 является каноническим. Найти уравнения Гамильтона частицы в магнитном поле H
= He
z
, заданном векторным потенциалом
A(
−Hy/2,Hx/2,0) в новых переменных. Здесь ω = eH/mc.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
211
Уравнение Гамильтона-Якоби
До этого мы имели дело с уравнениями движения в форме систем дифференциальных уравнений с обычными производными по времени от искомых величин. Интегрирование этих уравнений (уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа I и II рода, уравнений Гамильтона) вкупе с использо- ванием начальных условий сразу приводило к законам движения механи- ческой системы.
Уравнение Гамильтона-Якоби представляет собой одно дифференци- альное уравнение в частных производных на производящую функцию S.
После решения этого уравнения и нахождения S –
полного интеграла
уравнения Гамильтона-Якоби, законы движения механической системы
q
j
= q
j
(t) находятся из решения системы алгебраических уравнений. По фи- зическому смыслу функция S является действием.
Уравнение Гамильтона-Якоби
выглядит следующим образом
1 1
( ,..., ,
,...,
, )
0
n
n
S
S
S
H q
q
t
q
q
t
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∂
, (10.11) а его полный интеграл
S
= f(q
1
,…, q
n
,
α
1
,…,
α
n
, t)
+ α
n
+1
(10.12) зависит от n обобщенных координат, времени и (n
+ 1) константы. Одна из констант,
α
n
+1
, – аддитивна, поэтому несущественна, и можно записать, что
S
= f(q
1
,…, q
n
,
α
1
,…,
α
n
, t)
= S(q
1
,…, q
n
,
α
1
,…,
α
n
, t) (10.13)
Основные свойства уравнения Гамильтона-Якоби
(а) Консервативность системы
Если гамильтониан не зависит явным образом от времени, т.е.
H(q
1
,…,q
n
, p
1
,…,p
n
)
= E
=
const – интеграл движения, тогда полный инте- грал уравнения Гамильтона-Якоби S записывается как
S
= S
0
(q
1
,…, q
n
,
α
1
,…,
α
n
)
− Et, (10.14) где E – обобщенная энергия системы, S
0
(q
1
,…, q
n
,
α
1
,…,
α
n
) – независящее от времени укороченное действие системы. Заметим, что после этой под-

Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби
212
становки одна из констант
α
j
равна E! Упрощенное уравнение на укоро- ченное (сокращенное) действие S
0
имеет следующий вид
0 0
1 1
( ,..., ,
,...,
)
n
n
S
S
H q
q
E
q
q
∂
∂
=
∂
∂
. (10.15)
(б) Цикличность координат
Если гамильтониан не зависит явным образом от какой-либо коорди- наты q
k
, т.е. H(q
1
,…, q
k
−1
, q
k
+1
,..., q
n
, p
1
,…, p
n
, t), и, следовательно, соответ- ствующий обобщенный импульс p
k
– интеграл движения, тогда полный интеграл S записывается как
S
= S

k
(q
1
,…, q
k
−1
, q
k
+1
,..., q
n
,
α
1
,...,
α
k
−1
,
α
k
+1
,…,
α
n
, t)
+ α
k
q
k
, (10.16) где константа
α
k
имеет смысл сохраняющегося обобщенного импульса p
k
, сопряженного циклической координате q
k
. Упрощенное уравнение на со-
кращенное действие S

k
имеет следующий вид
1 1
1 1
1 1
( ,...,
,
..., ,
,...,
,
,
,...,
)
0
k
k
k
k
k
k
k
n
k
k
k
n
S
S
S
S
S
H q
q
q
q
q
q
q
q
t
−
+
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
α
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
%
%
%
%
%
. (10.17)
Если циклических координат несколько (k принимает несколько значений), то они появляются в полном интеграле S в виде линейной комбинации
S
= S

(q

,
α

, t)
+
∑
k
α
k
q
k
. (10.18)
Здесь и ниже знак "" над координатами и константами означает "все, кроме k-тых". Все соответствующие производные в уравнении на сокра-
щенное действие S

заменяются на константы, как в (10.16).
(в) Разделение переменных
Это самый общий метод, как частное он включает в себя и (а), и (б).
Пусть в уравнение Гамильтона-Якоби (10.11)
1 1
1 1
( ,..., ,
,...,
,
, )
( ,..., ,
,...,
, )
0
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
q
q
t
H q
q
t
q
q
t
q
q
t
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Φ
=
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(10.19) какая-либо переменная и соответствующая частная производная (напри- мер, q
m
и ∂S/∂q
m
) входят в виде подфункции (комбинации)
1
φ(q
m
,∂S/∂q
m
), не
1
См. также разобранную задачу 5 из раздела 9 (скобки Пуассона).

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
213
содержащей других переменных q

(и времени) и производных по ним (ус- ловно запишем эти производные как ∂S/∂q

). Т.е.
,
,
, ;
,
0
m
m
S
S
S
t
q
t
q
⎛
⎞
⎛
⎞
∂ ∂
∂
Φ = Φ
φ
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
q
q
%
%
. (10.20)
Тогда эта функция
,
m
m
S
q
q
⎛
⎞
∂
φ⎜
⎟
∂
⎝
⎠
является интегралом движения, а полный интеграл S запишется в виде суммы
S(q, t)
= S

m
(q

, t)
+ S
m
(q
m
). (10.21)
В этом случае уравнение (10.19) распадется на два
,
const
,
,
, ;
0,
m
m
m
m
m
m
m
dS
q
C
dq
S
S
t C
t
⎧ ⎛
⎞
φ
=
=
⎪ ⎜
⎟
⎝
⎠
⎪
⎨
⎛
⎞
∂
∂
⎪Φ
=
⎜
⎟
⎪
∂
∂
⎝
⎠
⎩
q
q
%
%
%
%
(10.22) первое из которых является простым дифференциальным уравнением пер- вого порядка относительно S
m
(q
m
), а независящая от q
m
часть определяется вторым упрощенным уравнением в частных производных на сокращенное действие S

m
, порядок которого на единицу меньше по сравнению с исход- ным уравнением Гамильтона-Якоби (10.20).
Как и в предыдущем пункте (б), процедура (10.21)–(10.22), может быть проведена несколько раз.
Замечание: Естественно, что все эти свойства (а), (б), (в) могут быть при- менимы одновременно, но общее число независимых кон- стант (E,
α
k
, C
m
), найденных с помощью этих свойств, не должно превышать числа степеней свободы системы n.
Закон движения в формализме Гамильтона-Якоби
После решения уравнения Гамильтона-Якоби, его полный интеграл
S(q
1
,…, q
n
,
α
1
,…,
α
n
, t) записывается в виде (10.13), где в качестве констант
α
1
,…,
α
n
выступают как константы (E,
α
k
, C
m
), найденные с помощью свойств (а), (б), (в), так и неаддитивные константы, появившиеся при непо-

Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби
214
средственном интегрировании упрощенного дифференциального уравне- ния на сокращенное действие S
0
или S

.
По физическому смыслу функция S является производящей функцией канонического преобразования, связывающего текущие координаты q
j
и импульсы p
j
в момент времени t с их начальными значениями в момент времени t
0
(которые, в формализме уравнений Гамильтона-Якоби, как пра- вило, и являются константами
β
j
и
α
j
, соответственно). Для нахождения за- конов движения q
j
= q
j
(t) и p
j
= p
j
(t) воспользуемся свойствами полной функции действия S как производящей функции, а именно:
∂S
∂
α
j
= β
j
,
∂S
∂q
j
= p
j
( j
= 1,…,n). (10.23)
Здесь
β
j
– константы. Первый набор соотношений ("производная по кон- станте дает константу") дает алгебраические уравнения, решение которых
q
j
= q
j
(t,
α
1
,…,
α
n
,
β
1
,…,
β
n
) (10.24) и есть искомый закон движения q
j
= q
j
(t). Общее число констант
α
j
,
β
j
как раз достаточно, чтобы удовлетворить начальным условиям.
Алгоритм решения задач в формализме Гамильтона-Якоби
1.
Находится гамильтониан механической системы H(q
1
,…,q
n
, p
1
,…,p
n
, t).
2.
Записывается уравнение Гамильтона-Якоби (10.11) на функцию действия S. Здесь в функции Гамильтона все обобщенные импульсы за- менены частными производными по соответствующим обобщенным
координатам: p
j
=
∂S
∂q
j
3.
Упрощение уравнения Гамильтона-Якоби в соответствие со всеми возможными интегралами движения (свойства (а)–(в)).
4.
Решение получающегося упрощенного уравнения Гамильтона-Якоби на сокращенную функции действия (S
0
или S

). Нахождение полного интегра- ла уравнения Гамильтона-Якоби S.
5.
"Производная по константе дает константу" – использование (10.23) и начальных условий для нахождения законов движения.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
215
Примеры решения задач
Задача 3. Записать уравнение Гамильтона-Якоби для простейших механи- ческих систем:
a) свободной частицы; б) гармонического осциллятора;
в) частицы в центральном поле.
Решение. Функции Гамильтона этих систем найдены в задаче 1 раздела 9.
а) Функция Гамильтона свободной частицы (число степеней свободы
n
= 3)
2 2
2
( , , ,
,
,
)
2
x
y
z
x
y
z
p
p
p
H x y z p p p
m
+
+
=
Исходное уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S –
2 2
2 1
0 2
S
S
S
S
m
x
y
z
t
⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
=
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
Пользуемся цикличностью координат y, z и времени t, получаем связь
S
= S

(x)
+ α
2
y
+ α
3
z
− Et и упрощенное уравнение для сокращенного действия S

(x)
2 2
2 2
3 1
2 2
dS
E
m dx
m
⎛
⎞
α + α
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
%
б) Функция Гамильтона гармонического осциллятора (n
= 1)
H(x,p)
= p
2
/2m
+ mω
2 0
x
2
/2.
Исходное уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S –
2 2
2 0
1 0
2 2
S
m
S
x
m
x
t
∂
ω
∂
⎛
⎞ +
+
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
Пользуемся консервативностью системы (цикличностью времени t) и пе- реходим к укороченному действию S
0
S
= S
0
(x)
− Et.
Для S
0
получаем упрощенное уравнение

Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби
216 2
2 2 2 0
0 2
dS
mE m
x
dx
⎛
⎞ =
−
ω
⎜
⎟
⎝
⎠
в) Функция Гамильтона частицы в центральном поле (n
= 2)
2 2
2
( )
2 2
p
p
H
U
m
m
ρ
ϕ
=
+
+
ρ
ρ
Исходное уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S –
2 2
2 1
1
( )
0 2
2
S
S
S
U
m
t
m
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
+
+
ρ +
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂ρ
∂ϕ
∂
ρ
⎝
⎠
⎝
⎠
Пользуемся цикличностью
ϕ и t, выражаем полный интеграл S через со- кращенное действие S

S
= S

(
ρ) + α
ϕ
ϕ − Et.
Упрощенное уравнение для S

(
ρ) выглядит следующим образом
2 2
2 2
2
( )
dS
mE
mU
d
ϕ
α
⎛
⎞
=
−
ρ −
⎜
⎟
ρ
ρ
⎝
⎠
%