Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Предисловие ЛЕУШИН А.М., НИГМАТУЛЛИН Р.Р., ПРОШИН Ю.Н. Теоретическая механика (практический курс) Задачник для физиков Казань 2003 УДК 531(07) ББК 22.21 Т 11 Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р., Прошин Ю.Н. Теоретическая механика (практический курс). Задачник для физиков. Учебное пособие для студентов, магистрантов, аспирантов физического фа- культета, Казань, «Мастер Лайн», 2003.-236 с. ISBN5-93139-156-8 В пособии предлагаются для решения задачи по всем разделам читае- мого на физическом факультете университета курса теоретической меха- ники. Общее количество задач около 600. Для удобства использования по- собия в каждом его разделе приводятся основные теоретические положе- ния и формулы, а в конце добавлено приложение, содержащее минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретиче- ской механике. В каждом разделе даны подробные решения нескольких типичных задач, а сами задачи расположены в порядке их усложнения: сначала представлены легкие задачи, затем − задачи средней трудности и далее приводятся задачи повышенной трудности. Пособие предназначено для студентов, магистрантов, аспирантов фи- зического факультета. Редактор: Леушин А.М., доцент кафедры теоретической физики КГУ. Рецензент: Юльметьев Р. М., профессор, зав. каф. теоретической физики Казанского государственного педагогического университета. УДК 531(07) ББК 22.21 ISBN5-93139-156-8 Теоретическая физика. Механика (практический курс) 3 Предисловие к первому изданию Среди дисциплин, изучаемых в университете в курсе теоретической физики, классическая механика занимает одно из ведущих мест, поскольку основные ее положения необходимы для дальнейшего усвоения других дисциплин теоретической физики. Именно в классической механике сту- денты получают возможность, не выходя за пределы классической физики, знакомиться со многими понятиями и математическими методами и прие- мами, которые в дальнейшем используются при изучении электродинами- ки, термодинамики и статистической физики и квантовой механики. Для успешного усвоения теоретической механики, кроме изучения теории, необходимы навыки решения практических задач. Практика пре- подавания показывает, что курс классической механики является одним из самых сложных, и что способы решения задач студентами усваиваются значительно труднее, чем теория предмета. Эти трудности состоят в не- умении облекать конкретные физические задачи в абстрактную математи- ческую форму, в отсутствии навыков использования законов изменения и сохранения физических величин и в неспособности интегрировать полу- чающиеся системы дифференциальных уравнений движения. К сожалению, делу не способствует наличие значительного числа за- дачников с большим количеством задач, а также существование руко- водств, в которых вместе с приведенными задачами подробно разбираются и их решения. При индивидуальной работе с использованием задачников первого типа студента подавляет число задач: все их не перерешать, а ка- кие достаточно решить, чтобы освоить курс, самостоятельно выбрать сложно. При использовании же задачников второго типа студент, не обла- дающий достаточной волей и самолюбием, наверняка не устоит перед со- блазном посмотреть приведенное решение и не будет пытаться решить за- дачу сам. Для того чтобы избавить студентов от этих дополнительных проблем, в 1988 году было издано пособие [1], в котором был собран минимум за- дач, решение которых, по нашему мнению, способствовало бы усвоению Предисловие 4 изучаемого теоретического материала. Решения задач отсутствовали, и только некоторые из задач были снабжены ответами. Пособие оказалось достаточно удобным как для использования на семинарских занятиях, так и при самостоятельной работе, и продолжает использоваться преподавате- лями и студентами до сих пор. Однако, в процессе эксплуатации в нем, помимо некоторых неточностей и опечаток, обнаружились два недостатка. Во-первых, в некоторых разделах оказалось недостаточное число разных по уровню и по способам решения задач. Их явно не хватало для полно- ценного приобретения практического навыка, поэтому для решения в ау- дитории приходилось привлекать дополнительные задачи, не говоря уж о возможности варьирования курса и самостоятельном изучении. Во-вторых, при работе с пособием испытывалась потребность иметь в нем основные положения и формулы, необходимые для решения задач. При подготовке предлагаемого пособия мы постарались учесть это и избавить новое изда- ние от указанных недостатков. Необходимость в издании такого пособия назрела уже давно, поскольку какие-либо новые задачники и пособия по решению задач по теоретической механике практически не издавались уже много лет (даже при выходе подобной книги ее современный тираж не способен удовлетворить потребность иметь такой задачник на столе у ка- ждого студента), задачники прошлых лет не переиздаются и, мало помалу, становятся библиографическими редкостями, недоступными большинству студентов. Пособие состоит из 10 разделов. Структура предыдущего пособия [1] в нем в основном сохранена, в него также вошли большинство задач пре- дыдущего пособия с исправлением ошибок и опечаток, но общее количе- ство задач значительно увеличено: с 222 до 587. Новые задачи большей ча- стью взяты из книг [2-18], приведенных в Библиографии в конце пособия, есть и оригинальные задачи. Значительно расширены разделы по динамике материальной точки, по проблеме двух тел и теории рассеяния частиц, по уравнениям Лагранжа, по теории твердого тела, по условиям равновесия систем, по малым колебаниям механических систем, по уравнениям Га- мильтона, по каноническим преобразованиям. В отличие от предыдущего пособия, мы ликвидировали в нем раздел "Общие законы системы матери- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 5 альных точек". Часть задач этого раздела, решаемых с использованием за- конов сохранения, мы переместили в раздел 3, объединив их с задачами о движении частицы в центральном поле. Другая часть задач, в которых речь идет о нахождении центра масс системы, объединена в разделе 6 с задача- ми о движении твердого тела. Из раздела, посвященного уравнениям Ла- гранжа, исключены все задачи по расчету электрических цепей, поскольку при решении таких задач лагранжев формализм не получил широкого рас- пространения. Кроме того, учитывая опыт многолетнего преподавания, нам показалось удобным в новом пособии добавить приложение, в кото- ром бы содержался минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретической механике. В него мы включили сведения о векторах и векторном анализе, о матрицах, о дифференцировании и ин- тегрировании элементарных функций, об основных дифференциальных уравнениях и методах их решений. Сами разделы сейчас выглядят тоже по-другому. Каждый состоит из пяти подразделов: в первом из них мы приводим минимальные теоретиче- ские сведения, необходимые для решения задач данного раздела; во вто- ром подробно показываем решения нескольких (от трех до шести) типич- ных задач; в следующих трех подразделах приводятся сами предлагаемые для решения задачи, причем сначала мы даем простые задачи, называемые обязательными задачами, решение которых необходимо для базового ов- ладения минимальными навыками и основными приемами решения задач по теоретической механике. Далее следуют задачи средней трудности и в последнем подразделе предлагаются задачи повышенной трудности. Ко- нечно, это деление задач по разной степени трудности несколько условно и носит достаточно субъективный характер. Сразу после формулировки многих задач, особенно обязательных, в квадратных скобках приведены ответы. В пособии имеется большое количество рисунков, которые пояс- няют постановку задачи, они, как правило, приводятся рядом с текстом конкретной задачи. В пособии используется стандартные обозначения для векторов, они выделяются жирным шрифтом (например, r, W или Ω). Скалярные вели- чины, как правило, выделены курсивом (например, r, W или s). Полные Предисловие 6 производные по времени t часто обозначаются точками над переменной (например, r • , x • или s •• ). Мы отдаем себе отчет в том, что и в этом пособии могут остаться не- замеченные нами неточности, опечатки или ошибки и будем признательны всем, кто обратит на них наше внимание. Пособие подготовлено на кафедре теоретической физики Казанского государственного университета. Разделы 1, 2, 3 и математическое прило- жение написаны проф. Р.Р. Нигматуллиным, разделы 4, 5, 6 и 7 − доц. А.М. Леушиным, разделы 8, 9 и 10 написаны проф. Ю.Н. Прошиным, им же проведена компьютерная верстка всего пособия. Авторы благодарны за частичную поддержку Civil Research and De- velopment Foundation (CRDF) (проект Basic Research and High Education (BRHE) REC-007) и SNSF (проект 7 IP 62595 в рамках SCOPES). Предисловие ко второму изданию Во втором исправленном издании было изменено название пособия, чтобы привести его в соответствие с новым Государственным образова- тельным стандартом 2000 года, согласно которому в курсе теоретической физики нет раздела "Теоретическая механика". Он разделен на два: "Меха- ника" и "Основы механики сплошных сред". Наше пособие содержит ма- териал только первого раздела "Теоретическая физика. Механика". Мы признательны сотрудникам кафедры теоретической физики (осо- бенно доценту Ларионову А.Л.) и студентам физического факультета Ка- занского университета, указавшим на неточности и опечатки, допущенные при подготовке первого издания. Второе издание выпущено при поддержке профессора Кочелаева Б.И. и Swiss National Scientific Foundation (SNSF) в рамках соглашения № 7 IP 62595 по программе SCOPES. А.М. Леушин. Июль 2003 г. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 7 Кинематика материальной точки Раздел 1. Кинематика материальной точки Минимальные теоретические сведения по кинематике Приведем основные понятия и формулы кинематики, основываясь на порядке производной (n d = 0, 1, 2), определяющей кинематическую ве- личину. Величины, соответствующие n d =0. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-век- торомr, который в каждый момент времени направлен из начала некото- рой произвольной системы координат (СК) на данную материальную точ- ку. Зависимость от времени радиус-вектораr(t) (или координат) определя- ет закон движения материальной точки. Траектория материальной точки – это геометрическое место точек концов радиус-вектораr(t). Декартовая система координат (ДСК): Переменные x, y, z. Пределы изменения переменных: – ∞ < x < ∞, – ∞ < y < ∞; – ∞ < z < ∞. Закон движения в ДСК определяется в трехмерном случае тремя скаляр- ными функциями (координатами) x(t), y(t), z(t), зависящими от времени t, и выражается равенством r(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z (1.1) Примеры: • уравнение пространственной эллиптической спирали r(t) = Asin(ωt)e x + Bcos( ωt)e y + te z • плоское движение тела, брошенного с высоты H с начальной скоростью v 0 и под начальным углом θ к горизонту, ( ) ( ) 2 0 0 ( ) cos sin / 2 x y t v t H v t gt ⎡ ⎤ = θ + + θ − ⎣ ⎦ r e e Закон движения тела может быть задан также в цилиндрической и сферической системах координат. Кинематика материальной точки 8 Цилиндрическая система координат (ЦСК). Переменные ρ, ϕ, z. Связь переменных ДСК с переменными ЦСК: cos , sin , x y z z = ρ ϕ = ρ ϕ = . Пределы изменения переменных: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π. Связь между ортами: cos sin , sin cos , x y x y z z ρ ϕ = ϕ + ϕ = − ϕ + ϕ = e e e e e e e e В отличие от ортов ДСК орты ЦСK e ρ и e ϕ зависят от времени t, и их про- изводные по времени не равны нулю. Радиус-вектор ( ) z t z ρ = ρ + r e e . Сферическая система координат (ССК). Переменные r, θ, ϕ. Связь переменных ДСК с переменными CСК: cos sin , sin sin , cos x r y r z r = ϕ θ = ϕ θ = θ. Пределы изменения переменных: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π. Связь между ортами: cos sin sin sin cos , cos cos sin cos sin , sin cos . r x y z x y z x y θ ϕ = ϕ θ + ϕ θ + θ = ϕ θ + ϕ θ − θ = − ϕ + ϕ e e e e e e e e e e e Все орты ССK зависят от времени. Радиус-вектор r(t) = re r Перемещениематериальной точки есть вектор между двумя точками траектории, т.е. r 12 = r( t 2 ) – r( t 1 ). (1.2 а) Вектор бесконечно малого поворота d ϕ имеет длину, равную беско- нечно малому углу поворота радиус-вектора матери- альной точки, и направление, совпадающее с направ- лением перемещения правого винта, вращаемого вместе с радиус-вектором. Например, на приведен- ном рисунке поворот r( t) происходит в плоскости ри- сунка против часовой стрелки, поэтому вектор d ϕ на- правлен на нас перпендикулярно плоскости, в которой происходит пово- r(t +dt) dr r(t) d ϕ dϕ Теоретическая физика. Механика (практический курс) 9 рот. Связь между элементарным перемещением dr с d ϕ определяется ниже выражением [ ] d d = r r ϕ . (1.2б) Путь, пройденный материальной точкой к моменту времени t, опре- деляется как длина участкатраектории и выражается через интеграл от модуля скорости v 0 ( ) ( ) t s t v d = τ τ ∫ . (1.3) Следует особо отметить, что в этой формуле и ниже величина пути s(t) яв- ляется функцией верхнего предела интегрирования t. Переменная внутри интеграла может обозначаться, строго говоря, произвольной буквой. Величины, соответствующие n d = 1. Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t ( ) d t dt = = r v r& (1.4) определяется выражениями ( ) x y z t x y z = + + v e e e & & & (ДСК), (1.5а) ( ) z t z ρ ϕ = ρ + ρϕ + v e e e & & & (ЦСК), (1.5 б) ( ) sin r t r r r θ ϕ = + θ + ϕ θ v e e e & & & (ССК), (1.5 в) соответственно в декартовой, цилиндрической и сферической системах ко- ординат. Напомним, что точкой сверху, для краткости, обозначается пол- ная производная по времени, т.е. / d dt ρ = ρ & и т.д. Средняя скорость за время τ от начала движения определяется выражением 0 1 ( ) (0) ( ) ( ) t dt τ τ − τ = = τ τ ∫ r r v v , (1.6) асредняя величина модуля скорости за этот же интервал времени τ – 0 1 ( ) ( ) ( ) s v v t dt τ τ τ = = τ τ ∫ (1.7) Кинематика материальной точки 10 При выводе последнего выражения использовалась формула для модуля скорости, которая получается из (1.3) дифференцированием по времени, ( ) ds v t dt = . (1.8) Секторная скорость определяется соотношением [ ] 1 2 = r v σ . (1.9) Последнее выражение используется, в основном, при описании движения материальной точки в поле центральных сил. Вектор угловой скорости определяется как отношение вектора бесконечно малого поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел d dt = ϕ ω . (1.10) Связь угловой скорости с линейной скоростью: [ ] = v r ω (1.11) Величины, соответствующие n d = 2 Мгновенное линейное ускорение материальной точки d dt = = = v w r v && & (1.12) можно записать в виде: ( ) x y z t x y z = + + w e e e && && && (ДСК). (1.13а) ( ) ( ) 2 ( ) 2 z t z ρ ϕ = ρ − ρϕ + ρϕ + ρϕ + w e e e && & && & & && (ЦСК). (1.13 б) В самом общем случае, для произвольной ортогональной криволи- нейной системы координат, задаваемой тремя произвольными координа- тами q i (i = 1,2,3), справедливо следующее выражение 2 2 1 2 i i i i d v v w h dt q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ & . (1.14) Здесь / i i h q = ∂ ∂ r – набор коэффициентов Ламэ, 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 v h q h q h q = + + & & & Теоретическая физика. Механика (практический курс) 11 Примечание: Используя эту формулу и принимая во внимание выражения для коэффициентов Ламэ в ССК: 1, , sin r h h r h r θ ϕ = = = θ, получите выражения для компонент ускорения в ССК ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) sin 2 sin cos sin 2 sin 2 cos r t r r r r r r r r r θ ϕ ⎡ ⎤ = − θ − ϕ θ + θ + θ − ϕ θ θ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ϕ θ + ϕ θ + θϕ θ ⎣ ⎦ w e e e & && & & & && & & && & & & , проверьте справедливость выражения в ЦСК (1.13б). Раскрывая выражение для секторной скорости в ЦСК, можно устано- вить следующую связь 2 1 2 z σ = ρ ϕ& и 2 z d w dt ϕ σ = ρ (1.15) Вектор углового ускорения определяется как производная по времени от вектора угловой скорости ( ) d t dt = ε ω (1.16) Связь между линейным ускорением (1.12), угловым ускорением (1.16) и угловой скоростью (1.10) определяется выражением [ ] [ ] = + w ε r v ω (1.17) Среднее ускорение за время τ от начала движения определяется выражением 0 1 ( ) (0) ( ) ( ) t dt τ τ − τ = = τ τ ∫ v v w w (1.18) Сопровождающая система координат ( естественный трехгранник ) Движение материальной точки по криволинейной траектории иногда удобно описывать в сопровождающей системе координат, задаваемой нормальным n и тангенциальным τ ортами. Эту СК определяют еще как естественный трехгранник Вектор τ направлен вдоль вектора скорости v, вектор n перпендикуля- рен направлению скорости и направлен к центру кривизны траектории в данной точке. Третий орт сопровождающего трехгранника получается как [ ] b = n n τ Радиус-вектор точки задается с помощью длины дуги (или величиной Кинематика материальной точки 12 пути) траектории ( ) ( ) t s = r r . Путь s ( t ), проходимый точкой, определяется выражением (1.3). Разложение скорости в сопровождающей системе координат (или по осям естественного трехгранника) определяется выражением s v = ≡ v &τ τ . (1.19) Полное ускорение раскладывают на тангенциальное ускорение w τ , направление которого совпадает или противоположно направлению вектора линейной скорости, и нор- мальное ускорение w n , направленное вдоль еди- ничного вектора n. Длины векторов w τ , w n оп- ределяются выражениями w v τ = & , (1.20) 2 n v w R = . (1.21) Из сказанного ясно, что тангенциальное ускорение меняет только длину вектора скорости, в то время как нормальное ускорение определяет только поворот вектора ско- рости. На рисунке точками показано положение центра кривизны траекто- рии в данной точке, а радиус кривизны R можно найти из соотношения 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d s d x s d y s d z s R ds ds ds ds ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r Если плоская траектория задана в ДСК уравнением y = y(x) или параметри- чески, причем в качестве параметра использована временнáя переменная t: y = y(t), x = x(t), то радиус кривизны R может быть вычислен по формулам ( ) ( ) ( ) 3/ 2 3/ 2 2 2 2 1 1 xx x d y yx yx R ds v x y y ′′ α α − = = = = + ′ + & &&& &&& & & , (1.22) где угол α определяется выражением: ( ) tg / y x v v α = v 2 n 2 τ 2 w 2 w 2 τ w 2n v 1 n 1 τ 1 w 1 w 1 τ w 1n R 1 Теоретическая физика. Механика (практический курс) 13 Преобразование координат, скоростей и ускорений при переходе к другой системе отсчета Пусть имеются две системы отсчета S и S 1 При этом система S 1 относительно системы S характеризуется радиус-вектором начала отсче- та R, его скоростью V и ускорением W, а также постоянной угловой скоростью Ω. Положение одной и той же материальной точки определяется радиус-векторами r и r 1 . Соотношение между ними: 1 = + r R r (1.23) Дифференцируя его по времени, получим связи между скоростями и уско- рениями материальной точки, определяемыми в разных системах отсчета: [ ] 1 1 = + + v V Ω r v , (1.24а) [ ] [ ] 1 1 1 2 ⎡ ⎤ = + + + ⎣ ⎦ w W Ω Ω r Ω v w (1.24 б ) Некоторые предварительные указания по решению задач по кинематике В механике можно решать две основные задачи. Прямая задача механики формулируется в общем виде следующим образом: по заданному движению материальной точки найти действующие на нее силы. Задача сводится к отысканию вектора ускорения w( t ) или его компонент. Вектор силы, как известно, можно найти по формуле: F( t ) = m w( t ). Существенный момент, который следует помнить, заключает- ся в том, что полные производные по времени от единичных ортов криво- линейной системы координат (за исключением декартовой) не равны нулю Обратная задача механики может быть сформулирована следующим образом: по заданным компонентам силы, действующей на материальную точку, найти ее закон движения. При этом предполагается, что начальные условия движения (начальное положение точки, ее начальная скорость) из- вестны. В кинематике это сводится к заданию скорости или ускорения ма- териальной точки. Обратная задача, как правило, труднее прямой, так как предполагает составление дифференциального уравнения первого (если известна скорость) или второго (известно ускорение) порядка и его реше- r 1 r R S 1 S V Ω Кинематика материальной точки 14 ние. Кроме того, необходимо хорошо представлять себе связи между раз- личными скоростями (мгновенной, средней, секторной и т.д.) и ускоре- ниями, которые помогают выразить условия исходной обратной задачи в форме дифференциального уравнения. Для успешного решения задач по кинематике необходимо хорошо знать стандартные решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка, а также уметь преобразовывать их к новым пе- ременным, для того чтобы "увидеть" их стандартную форму. Примеры решения задач по кинематике Задача 1. Частица движется в положительном направлении оси Оx так, что ее скорость меняется по закону v = αx, где α − размерная постоянная. При- нимая во внимание начальные условия (t = 0, x = x 0 ), найти: а ) зависимость от времени мгновенной скорости и ускорения частицы; б ) среднюю величину скорости частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути. Решение. 1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть классифицирована как обратная задача механики и для своего решения требует составления простейших дифференциальных уравнений. Помимо нахождения искомого уравнения для получения его частного решения необходимо знание на- чальных условий (величину пройденного пути x 0 к начальному моменту времени t = 0). 2. Составление необходимых уравнений. Из условия задачи можно опреде- лить следующую связь между мгновенной скоростью и пройденным рас- стоянием к моменту времени t dx v x dt = = α . (1.25) Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его частное решение может быть записано в виде 0 ( ) exp( ) x t x t = α . Теоретическая физика. Механика (практический курс) 15 Из последнего уравнения дифференцированием нетрудно получить иско- мые равенства для ответов на первый пункт (а) 2 0 0 ( ) exp( ), ( ) exp( ) v t x t w t x t = α α = α α . Для ответа на вопрос (б) необходимо вначале установить связь между s и временем t(s). Она находится интегрированием уравнения (1.25) 0 0 0 0 1 1 ( ) ln x s x dx x s t s x x + ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ α α ⎝ ⎠ ∫ Затем необходимо воспользоваться выражением для средней величины скорости, которое применительно к данному случаю, запишется в виде 0 0 0 1 ( ) ln(( ) / ) s t s s s s s v v t dt t t x s x α = = = + ∫ Последняя формула содержит окончательное решение поставленной задачи. 3. Анализ решения. Чтобы выработать навык, помогающий разобраться не только в простейших задачах, но и понимать структуру более сложных за- дач, можно придерживаться следующего принципа: "понять − означает обобщить". В соответствии с этим принципом, глядя на полученные реше- ния можно задать следующий вопрос: как изменятся результаты решения этой простой задачи, если выбрать зависимость между скоростью и пройден- ным расстоянием в виде p v x = α . Попытайтесь воспроизвести эти расчеты самостоятельно. Для проверки приведем ответы для этого случая [ ] [ ] [ ] 1/(1 ) /(1 ) 1 0 0 0 1 2 (1 2 ) /(1 ) 0 2 0 ( ) 1 , (1 ) , ( ) 1 , (1 ) 1 ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) (1 ) p p p p p p p s x b x t x bt где b p x v t bt p x b p s s w t bt t s v b x t s p − − − − − − ⎡ ⎤ = + = α − = + ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + = − = ⎜ ⎟ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Для детальной проверки математических расчетов найдите опечатку в вы- ражении w(t), умышленно сделанную в ответе. Задача 2. Бакенщик спускается с вершины маяка, двигаясь по желобу, имеющему форму винтовой линии. Параметры винтовой линии, шаг h и диаметр D постоянны. а) Найти годограф скорости бакенщика и определить величину и направ- Кинематика материальной точки 16 ление ускорения, в предположении, что величина его скорости постоянна по времени. б) Найти годограф скорости бакенщика и определить величину и направ- ление ускорения для случая, когда величина его вертикальной компоненты скорости пропорциональна времени. Решение. 1. Анализ задачи. Согласно классификации данная задача может быть отнесена к прямой задаче механики. Траектория бакенщика – винтовая линия, которая в ЦСК задается уравнениями: ρ = R (радиус маяка), ϕ = ωt, z = − ct. Свяжем параметры винтовой линии с данными задачи: R = D/2, h = c(2 π/ω).Согласно определению, годограф скорости – это гео- метрическое место точек концов радиус-вектора мгновенной скорости. По- этому "найти годограф" означает определить мгновенный вектор скорости v(t) по вектору r(t). 2. Восстановление необходимых связей. Восстановим формулы, связы- вающие компоненты векторов скорости и ускорения в цилиндрической системе координат, r(t) = ρ(t)e ρ + z(t)e z , v ρ = ρ& , v ϕ = ρϕ& , v z = z & , v 2 = ρ& 2 + ρ 2 ϕ& 2 + z & 2 w ρ = ρ&& − ρϕ& 2 , w ϕ = 2 ρϕ + ρϕ && & & = 1 d dt ρ ( ρ 2 ϕ& ), w z = z&&. Последние формулы полностью решают поставленную задачу. Беря соот- ветствующие производные, получим искомый ответ: v ρ = 0, v ϕ = Rω, v z = −c; w ρ = −Rω 2 , w ϕ = 0, w z = 0; v = [(Rω) 2 + c 2 ] 1/2 Пункт (б) решается аналогично. Воспроизведите соответствующие расчеты самостоятельно. При этом необходимо учесть, что z z v bt = = − & Задача 3 . Точка движется, замедляясь по некоторой плоской траектории, таким образом, что в каждый момент времени ее тангенциальные и нор- мальные ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v 0 . Найти траекторию материальной точки. Предполагается, что зависимость радиуса кривизны траектории от времени известна и задается некоторой функцией R(t). Теоретическая физика. Механика (практический курс) 17 Решение. 1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть отнесена к обрат- ной задаче механики и для своего решения требует решения простейших дифференциальных уравнений. Помимо составления уравнения для полу- чения частного решения необходимо знание начальных условий (величин скорости или пройденного пути к начальному моменту времени t = 0). Слово "замедляясь", приведенное в условии задачи, означает, что с увели- чением времени скорость уменьшается, т.е. движение происходит с отри- цательным ускорением. Для составления соответствующих дифференци- альных уравнений удобнее всего использовать сопровождающую систему координат. В этой системе скорость и ускорение задаются следующим обра- зом (1.19) – (1.21): 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) v t v t t v t R = = + v w n & τ τ (1.26) Полезные соотношения, связывающие радиус кривизны траектории с длиной дуги и скоростью изменения угла, определяются выражением (1.22). 2. Решение задачи . Используя условие задачи и уравнения (1.26), получим следующее дифференциальное уравнение c разделяющимися переменными 2 ( ) dv v dt R t = − , решение которого имеет вид 0 0 0 ( ) 1 / ( ) t v v t v dt R t = + ∫ Если воспользоваться теперь выражением (1.22) для радиуса кривизны R и перейти к декартовым координатам, то можно написать систему уравнений для отыскания уравнения плоской кривой в декартовой СК 2 2 x y + & & = v 2 (t), (1.27а) ( ) arctg ( ) d y v t dt x R t ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ & & . (1.27б) Для решения системы (1.27) можно перейти к новым переменным Кинематика материальной точки 18 [ ] ( )cos ( ) x v t t = Φ & , [ ] ( )sin ( ) y v t t = Φ & . (1.28) Осуществляя этот переход, получим уравнение для tg[ Φ(t)] [ ] ( ) ( ) tg ( ) ( ) d v t t dt R t Φ = После его интегрирования и перехода в ДСК имеем 0 tg[ ( )] ( ) tg t J t Φ = + Φ , где 0 ( ) ( ) ( ) t v u J t du R u = ∫ , 0 (0) tg (0) y x v v Φ = Решения для x(t), y(t) легко получаются из соотношений (1.28) интег- рированием. Последние интегралы решают поставленную задачу в самом общем виде. Анализ решения. В соответствии с принципом "понять – означает обоб- щить", глядя на полученные решения, полезно задать следующий вопрос: можно ли получить решение задачи, если отношение тангенциального ус- корения к нормальному равно b (b − некоторое заданное положительное число)? Можно ли получить результат для случая b = b(t)? Задачи Обязательные задачи 1.1. Точка А находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без проскальзывания по горизонтальному рельсу с постоянной угловой скоростью ω. а) Определить закон движения точки обода колеса в декартовых координатах. Найти скорость и ускорение данной точки и показать, что ускорение всегда направлено к центру колеса. б) Вычислить полный путь s, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания рельса. [а) ( ) ( ) sin( ) x t R t t = ω − ω , ( ) ( ) 1 cos( ) y t R t = − ω , б) s = 8R] 1.2. Найти траекторию y(x), мгновенную и среднюю скорость, мгновен- ное и среднее ускорение материальной точки массы m, если ее де- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 19 картовые координаты меняются по закону: а) x = a (1−λcos ωt), y = b(1−cos ωt), 0 < λ < 1; б) x = a (1−λcos ωt), y = b(1−sin ωt), 0 < λ < 1. Для обоих случаев определить также модуль и направление силы и вычислить компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения. 1.3. Изобразить графически траекторию и вычислить мгновенную ско- рость и ускорение материальной точки, если ее декартовые коорди- наты меняются по закону: а) x(t) = acos(ωt + ϕ 0 ), y(t) = bsin(ωt + ϕ 0 ). б) 1 ( ) 3 cos cos3 3 x t a t t ⎛ ⎞ = ω + ω ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1 ( ) 3 sin sin 3 3 y t a t t ⎛ ⎞ = ω − ω ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Последняя кривая называется астроидой. Определить в обоих слу- чаях величину и направление силы, а также компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения. ( ) ( ) 2 1/ 3 1/ 3 2 2 2 2 2 2 ) ) 3 6 , 3 6 x y a m б F m x m xy F m y m x y ⎡ ⎤ = − ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ω + ω = − ω + ω ⎣ ⎦ F r 1.4. Изобразить графически траекторию (для случаев, указанных в скобках); вычислить мгновенную скорость и ускорение материаль- ной точки, если ее полярные координаты меняются по закону: а) ( ) cos( ), t a n t ρ = ϕ ϕ = ω (n = 2, 3, 4); б) ( ) cos( ), n n t a n t ρ = ϕ ϕ = ω (n = 1/2, 1, 2) – синус-спираль Послед- няя кривая при n = 1/2 называется кардиоидой, при n = 2 она опре- деляет лемнискату Бернулли. Определить во всех случаях компоненты силы, а также компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 ) ( 1) , 2 1 / ) 2 (1 ) / , ? n a F m n F m a б F m a n a F ρ ϕ − ρ ϕ ⎡ ⎤ = − ω + ρ = − ω − ρ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ω ρ + ω − ρ = ⎣ ⎦ 1.5. Вычислить полные производные по времени от единичных ортов ЦСК и ССК, выразив их через линейную комбинацию самих ортов. Кинематика материальной точки 20 1.6. Нарисовать примерный вид траектории и найти компоненты силы, действующей на материальную точку, если ее движение в сфериче- ской системе координат задается уравнениями: а) r = R 0 , θ = ωt, ϕ = 2ωt (ω – постоянная величина); б) r = R 0 + V 0 t, θ = cos(ωt), ϕ = cos(2ωt). 1.7. Объяснить различие и кинематический смысл выражений: s • (s − длина пути, пройденного материальной точкой), r • , v • , r • , v • . Здесь A = | A | определяет величину соответствующего вектора. Записать соответствующие выражения в цилиндрической и сферической сис- темах координат, а также в СК естественного трехгранника. 1.8. Материальная точка движется по окружности радиуса R, причем ϕ = ωt (ϕ − угол между радиус-вектором точки, проведенным из не- которой точки А окружности, и прямой, соединяющей точку А и центр окружности; ω – константа). Найти тангенциальную и нор- мальную составляющие скорости и ускорения точки. 1.9. Материальная точка движется по параболе y = kx 2 так, что ее уско- рение параллельно оси y, а его модуль постоянен и равен w. Опре- делить нормальную и тангенциальную составляющие ускорения точки как функции времени. 1.10. Материальная точка движется в плоскости. Ее тангенциальные и нормальные ускорения равны постоянным величинам a и b. Найти уравнение траектории точки в полярных координатах. Задачи средней трудности 1.11. Бусинка движется по некоторой кривой y = f(x) с постоянной скоро- стью v. Найти величину ускорения бусинки в зависимости от ее положения, если кривая: а) y = px 2 (парабола), б) y = 1/(ax + b) (гипербола). 2 2 2 3/ 2 ) 2 /(1 4 ) а w pv p x ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ Теоретическая физика. Механика (практический курс) 21 1.12. Движение материальной точки в плоскости задано в полярных ко- ординатах: ρ = ρ(t) и ϕ = ϕ(t). Показать, что в случае постоянства секторной скорости 2 1 2 σ = ρ ϕ& вектор ускорения точки коллинеарен (параллелен) ее радиус-вектору, а его величина w определяется фор- мулой Бине: 2 2 2 2 4 1 1 d w w d ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ σ = = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ ρ ρ ϕ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.13. Пользуясь формулой Бине, определить силу F, действующую на точку, и изобразить примерный вид траектории, если уравнение траектории материальной точки массы m в полярной СК имеет вид: а) ρ = p/(1 + εcos(γφ)), 2 1 const 2 σ = ρ ϕ = & , p, ε, γ − постоянные; б) ρ = p/(φ – φ 0 ), 2 1 const 2 σ = ρ ϕ = & , p, φ 0 − постоянные. ( ) 2 2 2 2 3 2 3 4 1 ) 1 ) 4 m p а F p б F m − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ σ γ = − − − γ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ρ ρ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − σ ρ ⎣ ⎦ 1.14. Материальная точка движется по окружности радиуса R, так что ус- корение точки образует с ее скоростью постоянный угол α (α ≠ π/2). За какое время скорость точки увеличится в n раз, если в начальный момент t = 0 она равнялась v 0 ? Найти закон движения точки. 0 0 0 tg 1 ctg 1 , ( ) tg ln 1 n R v t t t v n R ⎡ ⎤ α α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ϕ = ϕ − α − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1.15. Материальная точка движется по некоторой траектории в плоскости xOy. Известна зависимость модуля скорости v и радиуса кривизны R в зависимости от величины пройденного пути s. Найти закон дви- жения материальной точки x(t), y(t) для следующих случаев: а) v(s) = as, R(s) = b/s. б) v(s) = acos(bs), R(s) = b/s. в) v(s) = a/s, R(s) = bs. г) v(s) = a/cos 2 ( bs), R(s) = bs. (a, b – некоторые положительные размерные постоянные). Кинематика материальной точки 22 Задачи повышенной трудности 1.16. Материальная точка движется в плоскости xOy таким образом, что сохраняется отношение: w x / w y = −v y / v x . Известна зависимость радиу- са кривизны R траектории от пройденного пути s. Найти закон дви- жения материальной точки x(t), y(t) для следующих случаев: а) R(s) = a/s; б) R(s) = 1 + (s/a) 2 ; в) R(s) = a/s 2 ; г) R(s) = bs. 1.17. Материальная точка движется в плоскости таким образом, что зави- симость секторной скорости от расстояния ρ известна, т.е. σ(ρ) = σ 0 Φ(ρ) (Φ(ρ) − заданная функция). Известно также, что от- ношение v ρ / v ϕ = tgα = const. Найти закон движения материальной точки ρ(t), ϕ(t) для различных функций Φ(ρ), если известно, что при t = 0 ρ(0) = ρ 0 , ϕ(0) = 0. а) Φ(ρ) = 1; б) Φ(ρ) = (ρ/a) 2 ; в) Φ(ρ) = (a/ρ) 2 ; г) Φ(ρ) = [1 + (ρ/a) 2 ] -1/2 1.18. Материальная точка движется в плоскости с постоянной секторной скоростью σ 0 . Известна зависимость величины модуля скорости точки от расстояния ρ, т.е. v(ρ) = v 0 F( ρ). Найти закон движения r ( t) ( r (0) = 0, v (0) = v 0 ) для следующих функций F( ρ): а) F( ρ) = 1; б) F( ρ) = α/ρ; в) F( ρ) = β/ρ 2 ; г) F( ρ) = α/ρ + β/ρ 2 1.19. Материальная точка движется в пространстве таким образом, что v r = const, v θ = v 0 f( θ), v ϕ = v 0 ϕ. Известно, что при t = 0 r = r 0 , θ = π/2, ϕ = π. Найти закон движения материальной точки r ( t) для следую- щих функций f( θ): а) f( θ) = 1; б) f( θ) = sin(θ); в) f( θ) = θ; г) f( θ) = tg(θ). 1.20. Точка движется в плоскости таким образом, что ее секторная ско- рость σ z = kρ α , а угол между векторами ускорения и радиус-векто- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 23 ром точки постоянен и равен β. Найти закон движения и уравнение траектории точки, если ρ(0) = 0, ϕ(0) = 0, v(0) = v 0 а) α = 1, β=45 o ; б) α = 1, β=30 o ; в) α = 2, β=60 o ; г) α = 2, β = 90 o 1.21. Материальная точка движется в плоскости xОy. Известна зависи- мость радиуса кривизны от величины пройденного пути R(s). Найти траекторию точки, выбрав в качестве независимого параметра ве- личину пройденного пути s. Динамика материальной точки 24 Динамика материальной точки |