Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 6. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета Минимальные теоретические сведения Кинематика движения твердого тела Твердым телом в механике называют сис- тему материальных точек, для которой расстоя- ния между двумя любыми ее точками не изме- няются в течение всего движения. Неизмен- ность расстояний между точками приводит к тому, что твердое тело обладает шестью степе- нями свободы. Это число не зависит от количе- ства точек и остается тем же даже в предельном случае непрерывного сплошного тела. Для описания поведения твердого тела вводят неподвижную инерци- альную систему координат Oxyz и подвижную систему координат O'x 1 x 2 x 3 , жестко связанную с твердым телом. Система O'x 1 x 2 x 3 полностью определя- ет положение твердого тела (см. рисунок). Для задания радиус-вектора на- чала подвижной системы координат r O' необходимо указать три координа- ты точки O': x O' , y O' и z O' . Тогда остальные три обобщенные координаты бу- дут определять ориентацию осей x 1 x 2 x 3 относительно системы, начало ко- торой находится в точке O', а оси параллельны осям xyz. Ориентацию сис- темы координат O'x 1 x 2 x 3 относительно системы, имеющей с ней общее на- чало, а оси которой параллельны осям неподвижной системы координат (система изображенная на рисунке штрихованными линиями), можно за- дать с помощью матрицы ортогонального преобразования (матрицы пере- хода) A, которая представляет собой совокупность направляющих косину- сов ортов осей x 1 x 2 x 3 относительно ортов осей xyz Теоретическая физика. Механика (практический курс) 101 11 12 13 1 1 1 21 22 23 2 2 2 31 32 33 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e e e e e e A e e e e e e e e e e e e , (6.1) где ( ) i j e e − скалярное произведение соответствующих ортов. Так как меж- ду девятью элементами матрицы (6.1) существует шесть соотношений 3 1 ik il kl i a a = = δ ∑ , то ее можно выразить через три независимых параметра, в качестве кото- рых можно использовать, например, углы Эйлера. Для определения углов Эйлера перенесем оси неподвижной системы координат xyz в точку O', и допустим, что в исходном положении оси под- вижной системы x 1 x 2 x 3 в точности совпадают с осями xyz. Повернем систему O'x 1 x 2 x 3 вокруг оси O'z на угол ϕ так, что ось O'x 1 полученной промежуточной системы станет направленной по линии узлов O'N (см. рисунок). Далее осуще- ствим поворот полученной системы около линии узлов O'N на угол θ, в ре- зультате чего ось x 3 займет положение, изображенное на рисунке. Наконец, совершим поворот новой промежуточной системы O'x 1 x 2 x 3 вокруг оси O'x 3 на угол ψ. При этом повороте оси x 1 и x 2 займут свои окончательные поло- жения. Угол прецессии ϕ и угол собственного вращения ψ изменяются в пределах от 0 до 2 π, а угол нутации θ изменяется в пределах от 0 до π. Матрица перехода (6.1), выраженная через эйлеровы углы ϕ, θ и ψ, имеет вид cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin cos ϕ ψ − ϕ θ ψ ϕ ψ + ϕ θ ψ θ ψ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ϕ ψ − ϕ θ ψ − ϕ ψ + ϕ θ ψ θ ψ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ϕ θ − ϕ θ θ ⎝ ⎠ A Таким образом, совокупность трех независимых координат точки O': x O' , y O' и z O' , характеризующих поступательное движение, и совокупность трех уг- лов Эйлера ϕ, θ и ψ, характеризующих вращательное движение твердого тела вокруг начала O', образуют шесть обобщенных координат, полно- Движение твердого тела. Неинерциальные системы 102 стью определяющих положение твердого тела в пространстве. Соответ- ственно производные по времени от этих координат характеризуют обоб- щенные скорости движения твердого тела. Вместе с тем, в соответствии с известной теоремой Эйлера, изменение ориентации твердого тела можно осуществить одним поворотом вокруг определенной оси на определенный угол и поэтому появляется возмож- ность для характеристики скорости вращения твердого тела вместо трех скалярных производных , , ϕ θ ψ & & & использовать один вектор угловой скоро- сти Ω, задающий изменения со временем ортов подвижной системы коор- динат O'x 1 x 2 x 3 посредством соотношений 1 2 3 1 2 3 [ ], [ ], [ ] d d d dt dt dt = = = e e e Ωe Ωe Ωe . (6.2) Тогда скорость v i любой i-ой точки твердого тела, положение которой от- носительно неподвижной системы координат задается радиус-вектором O i i ′ ′ = + r r r , (6.3) в общем случае поступательного и вращательного движения твердого тела будет определяться выражением O' O' [ ] i i i ′ ′ = + = + v v v v Ωr , (6.4) где r' i − радиус-вектор i-ой точки твердого тела относительно подвижной системы координат O'x 1 x 2 x 3 , а v O' − скорость поступательного движения последней. И если скорость v O' зависит от выбора начала подвижной сис- темы координат, то угловая скорость вращения Ωостается одной и той же при любом выборе точке O'. Начало подвижной системы координат удобно выбирать в центре инерции твердого тела. Центром инерции (или центром масс) любой системы N материальных точек на- зывается воображаемая точка, которая как бы обладает массой всей системы и положение ко- торой определяется радиус-вектором 1 N i i i m m = = ∑ r R , где 1 N i i m m = = ∑ , (6.5) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 103 где m i и r i − масса и радиус-вектор i-ой точки системы, а m − масса всей системы. Если твердое тело можно рассматривать как сплошное с плотно- стью ρ(x,y,z), то в определении (6.5) сумма заменяется интегралом по объ- ему тела V, и тогда имеем ( , , ) V x y z dV = ρ ∫ R r . (6.6) Скорость поступательного движения тела v O' , когда начало подвижной системы координат помещено в его центр инерции, будем далее обозна- чать через V. Если твердое тело совершает произвольное движение, в каждый мо- мент времени меняется как абсолютная величина, так и направление угло- вой скорости Ω. Проекции вектора Ωна оси подвижной системы коорди- нат O'x 1 x 2 x 3 связаны с эйлеровыми углами ϕ, θ, ψ и соответствующими им обобщенными скоростями , , ϕ θ ψ & & & посредством соотношений 1 2 3 sin sin cos , cos cos sin , cos , Ω = ϕ θ ψ + θ ψ Ω = ϕ θ ψ − θ ψ Ω = ϕ θ + ψ & & & & & & (6.7) которые называются кинематическими уравнениями Эйлера. Уравнения движения твердого тела В соответствии с шестью степенями свободы уравнения движения свободного твердого тела должны содержать шесть независимых уравне- ний и их можно представить в виде, определяющем производные по време- ни от двух векторов: импульса и момента импульса. Первое из этих уравне- ний получается просто путем суммирования уравнений движения i i = p F & для каждой из составляющих тело частиц. Вводя полный импульс тела 1 N i i m = = = ∑ P p V и полную силу, действующую на тело, 1 , 1 1 N N N ex ex i ki i i i k i = = = = = + = ∑ ∑ ∑ F F F F F , Движение твердого тела. Неинерциальные системы 104 получаем ex d dt = P F , (6.8) где F ex − сумма всех внешних сил, так как сумма всех внутренних сил F ki превращается в ноль. Одно векторное уравнение (6.8) или три скалярных уравнения , , ex ex ex x x y y z z P F P F P F = = = & & & (6.9) описывают поступательное движение твердого тела в неподвижной инерциальной системе координат Oxyz. Если начало подвижной системы координат поместить в центр масс, то момент импульса твердого тела относительно начала неподвижной системы координат можно представить в виде суммы двух частей 1 [ ] [ ] [ ] N i i i i m m = ′ ′ ′ = + = + ∑ M RP M RV r v . (6.10) Первая часть представляет собой момент импульса тела в предположении, что вся его масса сосредоточена в центре масс. Вторая часть есть момент импульса, возникающий вследствие вращения тела относительно центра инерции. Дифференцируя по времени момент M', обусловленный вращени- ем по отношению к центру масс, получаем второе уравнение движения твердого тела в виде 1 1 [ ] [ ] N N ex ex i i i i i i d dt = = ′ ′ ′ = = = ∑ ∑ M r F r F L , (6.11) где L ex есть сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело, по- скольку сумма моментов всех внутренних сил превращается в ноль. Век- торное уравнение (6.11) или три соответствующих скалярных уравнения , , ex ex ex x x y y z z M L M L M L ′ ′ ′ = = = & & & (6.12) описывают вращательное движение твердого тела в осях неподвижной инерциальной системы координат Oxyz. Следует однако иметь в виду, что и момент импульса M', и момент всех внешних сил L ex в (6.11) и в (6.12) определены по отношению к центру масс тела. При таком выборе начала в определении момента M' (6.10) в качестве Теоретическая физика. Механика (практический курс) 105 скорости i-ой точки v' i будет фигурировать только та часть скорости (6.4), которая обусловлена вращением подвижной системы координат, поэтому для M' будем иметь 1 1 1 [ [ ]] { ( ) ( )} N N i i i i i i i i i i m m = = = = − ∑ ∑ M r Ωr Ω r r r r Ω Проектируя M на ось x α подвижной системы координат и раскрывая ска- лярные произведения векторов, получим ,3,3 2 1, 1, 1 ,3,3 3 2 1, 1, 1 1 { } { } ( 1,2,3) N i i i i i N i i i i i M m x x x m x x x J α γ α α β β = β= γ= γ αβ β α β β αβ β = β= γ= β= = Ω − Ω = = δ Ω − Ω = Ω α = ∑ ∑ ∑ , (6.13) где введенный тензор ,3 2 1, 1 { } N i i i i i J m x x x αβ γ αβ α β = γ= = δ − ∑ (6.14) называется тензором инерции или тензором моментов инерции. Как видно из определения, тензор инерции симметричен, т.е. он не меняет своего вида при перемене мест его индексов J J αβ βα = Свойство симметричности приводит к тому, что из девяти компонент тен- зора независимыми являются только шесть. Записывая его компоненты в явном виде, получаем 2 2 2 3 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 1 3 1 2 3 1 1 1 2 2 3 1 3 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N N N i i i i i i i i i i i i N N N i i i i i i i i i i i i N N N i i i i i i i i i i i i m x x m x x m x x J m x x m x x m x x m x x m x x m x x = = = αβ = = = = = = ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ J = 1 Так как в последующем изложении радиусы-векторы r i и их составляющие по неподвижным осям будут встречаться редко, то для простоты обозначений штрихи у M, r i и их составляю- щих по подвижным осям мы будем опускать. Движение твердого тела. Неинерциальные системы 106 = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ( ) J J J J J J J J J J αβ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ J . (6.15) Компоненты J 11 , J 22 , J 33 называются моментами инерции относительно соответствующих осей. Остальные элементы этой матрицы называются центробежными моментами инерции. Тензор инерции очевидно аддити- вен: моменты инерции всего тела равны суммам моментов инерции его частей. В формулах (6.14) и (6.15) компоненты тензора J αβ записаны для твер- дого тела, являющегося совокупностью дискретных частиц. Для непре- рывных тел вместо массы частиц необходимо писать плотность вещества ρ(x,y,z), умноженную на элемент объема dV, и суммирование заменить ин- тегрированием по объему тела. Выражение (6.14) тогда примет вид 3 2 1 ( , , )( ) V J x y z x x x dV αβ γ αβ α β γ= = ρ δ − ∑∫ . (6.16) Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду 1 2 3 0 0 0 0 0 0 lk J J J J ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (6.17) путем соответствующего выбора новых направлений осей координат. Эти новые направления осей называются главными направлениями инерции, а диагональные элементы тензора J 1 , J 2 , J 3 называются главными моментами инерции. Главные моменты инерции в общем случае определяются как корни характеристического уравнения 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 J J J J J J J J J J J J − − = − , (6.18) а направляющие косинусы a k β главного направления инерции, характери- зуемого ортом e k , по отношению к ортам исходной системы координат e β (β=1, 2, 3) определяются из решения следующей системы уравнений Теоретическая физика. Механика (практический курс) 107 3 1 3 2 1 ( ) 0, ( 1,2,3) 1 k k k J J a a αβ αβ β β= β β= − δ = α = = ∑ ∑ . (6.19) Ясно, что орты всех главных направлений ортогональны между собой. Од- нако, во многих частных случаях, когда твердое тело обладает той или иной симметрией, о главных направлениях (осях) тензора инерции можно судить непосредственно по его виду. Тензор инерции J αβ в (6.14) определен по отношению к системе коор- динат с началом в центре инерции, но иногда может оказаться удобным предварительно вычислить аналогичный тензор ,3 2 1, 1 { } N i i i i i J m x x x αβ γ αβ α β = γ= ′ ′ ′ ′ = δ − ∑ , (6.20) определенный по отношению к другому началу O'. Если положение нового начала O' по отношению к центру инерции O задается вектором |