Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 7. Условия равновесия системы. Минимальные теоретические сведения Если материальные точки и твердые тела, составляющие систему, не двигаются, а находятся в покое, то возникает вопрос о получении условий равновесия системы. Изучением условий равновесия занимается раздел ме- ханики, именуемый статикой. Условия равновесия материальной точки очень просты: материальная точка находится в равновесии, если результирующая всех сил, действую- щих на нее, равна нулю, т.е., если 0 k k = = ∑ F F , (7.1) где F k − силы, действующие на материальную точку. Так как твердое тело может двигаться не только поступательно, но и вращаться, условия равно- весия твердого тела можно сформулировать в виде равенства нулю пол- ной силы и полного момента сил 0, [ ] 0 k k k k k = = = = ∑ ∑ F F L r F . (7.2) Суммирование в (7.1) и (7.2) производится по всем приложенным к телу внешним силам, r k − радиус-вектор "точки приложения" силы F k . При этом, точка, относительно которой определяется момент силы L, может быть выбрана произвольным образом, так как при F =0значение момента силы не зависит от этого выбора. Если в рассматриваемой системе твердые тела соприкасаются друг с другом, то при равновесии условия (7.2) долж- ны выполняться для каждого из тел в отдельности. Разумеется, в число сил должны быть тогда включены также и силы, действующие на данное тело со стороны остальных соприкасающихся с ним тел, т.е. силы реакции. Яс- но, что для каждых двух тел их взаимные силы реакции равны по величине и противоположны по направлению. В общем случае, как величины, так и направления реакций, определяются в результате совместного решения Условия равновесия системы 140 уравнений равновесия (7.1), (7.2) для всей системы материальных точек и твердых тел. В некоторых случаях, однако, направления сил реакции зада- ется уже условиями задачи 1 В том случае, если силы реакции не представляют интереса и требу- ется найти лишь координаты точек и тел при равновесии системы, то для решения статических задач целесообразно использовать принцип вирту- альных перемещений. Принцип виртуальных перемещений , или статиче- ский принцип Даламбера , гласит, что необходимым и достаточным услови- ем равновесия голономной материальной системы, подчиненной только идеальным связям, является равенство нулю работы всех активных сил на любом виртуальном перемещении точек материальной системы 1 ( ) 0 N i i i A = δ = δ = ∑ F r . (7.3) Суммирование производится по всем N точкам системы. В случае несво- бодных систем вместо радиус-векторов точек можно использовать обоб- щенные координаты, тогда выражение для работы (7.3) приобретает вид 1 n j j j A Q q = δ = δ ∑ , (7.4) где n – число степеней свободы системы, Q j − обобщенные силы, а j q δ − вариации обобщенных координат. Так как вариации обобщенных координат могут принимать любые значения независимо друг от друга, то соотношение (7.4) может быть выполнено, если все обобщенные силы од- новременно будут равны нулю, т.е. Q j = 0 ( j = 1,2,..., n ). (7.5) Следовательно, необходимым и достаточным условием равновесия голо- номной материальной системы , подчиненной только идеальным связям, является равенство нулю всех ее обобщенных сил. Не каждое состояние равновесия, определяемое условиями (7.1), 1 Так, например, силы натяжения нитей направлены вдоль нитей; силы реакций гладких по- верхностей перпендикулярны поверхностям; силы трения шероховатых поверхностей на- правлены по касательным к поверхностям и т.д. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 141 (7.2) или принципом виртуальных перемещений (7.3), (7.4), можно, однако, практически реализовать. Реализуются состояния , так называемого, " ус- тойчивого равновесия ". Положения равновесия материальной системы, для которых небольшие отклонения от этих положений равновесия или не- большие начальные скорости точек системы не приводят к выходу матери- альной системы из достаточно малой окрестности положения равновесия, называются устойчивыми . Для голономной системы в случае консерва- тивности действующих в системе сил (т.е. силы являются потенциальными и стационарными), можно сформулировать достаточный признак устой- чивости равновесия 1 : положение равновесия такой системы устойчиво, ес- ли потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет мини- мум. В силу того, что для потенциальных сил j j U Q q ∂ = − ∂ ( j = 1,2,..., n ), (7.6) поэтому в положении равновесия потенциальная энергия U системы имеет экстремальное значение, достаточный признак устойчивости равновесия можно сформулировать так: равновесие устойчиво, если в положении рав- новесия q (0) ( q 1(0) , q 2(0) ,..., q n(0) ) все главные миноры матрицы (0) 11 12 1 2 21 22 2 1 2 , где n n kl k l n n nn c c c c c c U c q q c c c = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ q q (7.7) вторых частных производных от потенциальной энергии по обобщенным координатам положительны. Иными словами, для положения устойчивого равновесия должны одновременно выполняться следующие неравенства 11 12 1 21 22 2 11 12 11 21 22 1 2 0, 0, , 0 n n n n nn c c c c c c c c c c c c c c > > > K . (7.8) Все сказанное выше о равновесии и его устойчивости для голономных 1 Вытекающий из теоремы Лагранжа −Дирихле. Условия равновесия системы 142 и консервативных систем справедливо, если они рассматриваются относи- тельно инерциальных систем отсчета. Однако, в силу того, что часть сил инерции переносного движения, появляющихся при рассмотрении движе- ния в неинерциальных системах отсчета, носит консервативный характер 1 , эти же критерии будут иметь место и для неинерциальных систем отсчета, если в них вместо потенциальной энергии активных сил U анализировать, так называемую, "эффективную потенциальную энергию" 2 1 2 {( ) [ ] } eff i i i i U U m = + − ∑ Wr Ωr , (7.9) где m i − масса i-ой точки, W − постоянное ускорение поступательного движения неинерциальной системы отсчета, а Ω − постоянная угловая ско- рость ее вращения. В таких случаях речь будет идти уже о положениях от- носительного равновесия и их устойчивости или об устойчивости движе- ния. Если в положении равновесия потенциальная энергия системы не имеет минимума, то исследование устойчивости состояния равновесия становится очень сложной задачей, которая решается применением теорем А.М. Ляпунова. Примеры решения задач Задача 1 Между двумя вертикальными стенами на двух веревках висит фонарь веса Р. Левая из веревок образует со стеной угол α а правая − угол β. Найти натяжение обеих веревок. Решение . Для решения любой задачи по статике прежде всего необходимо четко представить себе все силы, действующие на тело, находящееся в равновесии. Затем следует ввести систему координат, на оси которой эти силы удобно проектировать. Далее написать уравнения равновесия в проекциях на вы- бранные оси. И, наконец, из полученной системы урав- нений найти необходимые величины. В данной задаче 1 Таковыми являются сила инерции поступательного движения при постоянном ускорении и центробежная сила инерции при постоянной угловой скорости вращения. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 143 речь идет о равновесии материальной точки, на которую действуют три силы: сила веса фонаря Р , направленная вертикально вниз, сила натяжения левой веревки Т 1 , направленная вверх под углом α к вертикали, и сила на- тяжения правой веревки Т 2 , направленная вверх под углом β к вертикали. Ось x системы координат направляем горизонтально направо, а ось y − вертикально вниз. Проектируя уравнение (7.1) на оси, получаем для оси x: −Т 1 sin α + Τ 2 sin β = 0, для оси y: −Т 1 cos α − Τ 2 cos β + P = 0. Решая систему этих уравнений Т 2 = Т 1 sin α / sinβ, −Т 1 cos α − (Т 1 sin α cosβ / sinβ) + P = 0, получаем интересующие нас величины Т 1 = Psinβ / sin(α + β), Т 2 = Psinα / sin(α + β) натяжений обеих веревок. Задача 2 . Однородный тяжелый брусок АВ длиной 2l опирается концом А на вертикальную гладкую стену, а за конец B удерживается в равновесии нитью ВС = a, которая укреплена в точке С. Найти зависимость между уг- лами ψ и ϕ, которые нить и брусок соответственно образуют со стеной при равновесии бруска. Решение. В данной задаче мы имеем дело с равновеси- ем твердого тела, поэтому к уравнению равновесия для сил необходимо будет добавить еще и уравнение рав- новесия для моментов сил (7.2). В остальном методика решения задачи аналогична предыдущей. На тяжелый брусок действуют силы: вес Р , направленный верти- кально вниз и, в силу однородности бруска, приложенный к его центру, натяжение нити Т , приложенное к точке B и направленное по нити, т.е. вверх под углом ψ к вертикали, и реакция R в точке A, направленная на- право горизонтально в силу гладкости стены. Выбираем оси координат, направляя оси x и y так же, как и в предыдущей задаче: ось x − горизонтально направо, ось y − вертикально вниз, а ось z, как показано на Условия равновесия системы 144 рисунке (правая система координат). Начало системы координат совмес- тим с точкой A. Проектируя первое из уравнений (7.2) на оси, получаем sin 0 R T − ψ = , (7.10) cos 0 P T − ψ = . (7.11) Для записи уравнения на моменты сил выпишем проекции всех приложен- ных к бруску сил и проекции радиус-векторов их точек приложения. Имеем ( ,0,0), (0,0,0), (0, ,0), ( sin , cos ,0), ( sin , cos ,0), (2 sin ,2 cos ,0). R P T R P l l T T l l ϕ ϕ − ψ − ψ ϕ ϕ R r P r T r Вычисляя необходимые проекции векторных произведений векторов сил и их точек приложения на выбранные нами оси координат, получаем [ ] 0, [ ] 0, [ ] 0, [ ] 0, [ ] 0, [ ] sin , [ ] 0, [ ] 0, [ ] 2 (sin cos sin cos ). R x R y R z P x P y P z T x T y T z Pl Tl = = = = = = ϕ = = = ψ ϕ − ϕ ψ r R r R r R r P r P r P r T r T r T Покомпонентное суммирование приводит к единственному уравнению для проекции момента на ось z sin 2 (sin cos sin cos ) 0 z L Pl Tl = ϕ + ψ ϕ − ϕ ψ = . (7.12а) Решаем полученную систему трех уравнений (7.10) – (7.12а). Из уравнения (7.11) имеем T = P/cosψ. Подставляя это выражение в уравнение (7.12а), получаем sin 2 cos 2 sin sin 0 cos Pl Pl Pl ψ ϕ − ϕ + ϕ = ψ , откуда после сокращения на Pl и деления на cos ϕ находим искомое соот- ношение tg ϕ = 2tgψ. К полученному результату можно прийти несколько быстрее, если прежде, чем записывать уравнение для момента сил, обратить внимание на то, что и силы и радиус-векторы точек приложения сил все лежат в плос- кости xAy, поэтому моменты всех сил и результирующий момент L будут перпендикулярны этой плоскости, т.е. будут направлены по оси z. Для того Теоретическая физика. Механика (практический курс) 145 чтобы решить вопрос о том, будет он направлен в положительном или в отрицательном направлении, мы обратим внимание на то, что система ко- ординат правая. Тогда по правилу правого винта момент, который будет стремиться повернуть тело в направлении от оси x к оси y, будем считать положительным и будем считать его отрицательным в противном случае. Следующий вопрос, который мы должны решить, это вопрос о выборе точки, по отношению к которой будем вычислять моменты сил. Еще раз напомним, что выбор этой точки безразличен в силу того, что результи- рующая сила равна нулю. Чтобы использовать этот произвол, обычно мо- мент вычисляют относительно такой точки, через которую проходит наи- большее количество сил, так как моменты этих сил будут тогда равны ну- лю. В нашей задаче момент удобно вычислять относительно точек А, В и С, но в этом отношении все они эквивалентны, поскольку через каждую из них проходит по одной силе. При получении уравнения (7.12а) мы вычис- ляли моменты всех сил относительно точки A. Вычислим сейчас их отно- сительно точки B. Имея в виду соглашение о знаках и записывая моменты как произведение силы на плечо, получаем: 2 cos sin 0 Rl Pl ϕ ϕ − = . (7.12б) Опять решаем полученную систему трех уравнений (7.10), (7.11) и (7.12б). Из уравнения (7.10) имеем R = Tsinψ. С использованием (7.11) далее по- лучаем R = Ptgψ и, наконец, из (7.12б) находим то же соотношение tg ϕ = 2tgψ. Задача 3 . Два одинаковых стержня АВ и ВС веса Р и длины 2l скреплены шарниром В. Конец А за- креплен в неподвижном шарнире, к концу С при- ложена горизонтальная сила Р/2. Положение рав- новесия системы определяется двумя углами α и β, которые стержни АВ и ВС образуют с вертикалью. Найти углы α и β. Решение. В этой задаче нас не интересуют реакции в шарнирах, а требует- ся найти только углы α и β при равновесии системы, поэтому для ее реше- ния можем воспользоваться принципом виртуальных перемещений. Сис- тема обладает двумя степенями свободы, и оба угла α и β удобно выбрать Условия равновесия системы 146 в качестве обобщенных координат. В силу того, что все силы, действую- щие на систему, являются консервативными, обобщенные силы, соответ- ствующие углам α и β, можно найти, просто продифференцировав потен- циальную энергию по обобщенным координатам. Для потенциальной энергии системы имеем (если за нуль потенциала взять значение потенци- альной энергии на уровне неподвижного шарнира A): U( α,β) = −Plcosα − Pl(2cosα + cosβ) − Pl(sinα + sinβ) = −Pl(3cosα + cosβ + sinα + sinβ). Здесь в первоначальном выражении 1-ый член представляет потенциаль- ную энергию стержня АВ, второй − стержня ВС и последний соответству- ет потенциальной энергии, обусловленной горизонтальной силой Р/2. Дифференцируя U( α,β) частным образом по α и по β и приравнивая полу- ченные обобщенные силы в соответствии с (8.5) нулю, получаем систему уравнений 3sin α − cosα = 0, sin β −cosβ = 0. Из нее находим равновесные значения углов α и β 1 tg , tg 1 3 α = β = . Задача 4 Стержень ОА длины а и массы m может свободно вращаться во- круг точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен такой же стержень АВ. Его нижний конец В шарнирно скреплен с поршнем массы M, который может двигаться по вертикали, проходящей через точку О. Середины стержней ОА и АВ соединены невесомой пружи- ной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоя- нии l 0 < a. Пренебрегая трением и полагая, что весь меха- низм расположен в вертикальной плоскости, найти положе- ния равновесия системы и условия их устойчивости. Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщен- ную координату примем угол ϕ, который стержень ОА образует с вертика- лью. Потенциальная энергия системы записывается как Теоретическая физика. Механика (практический курс) 147 1 2 2 1 C C B 2 U mgx mgx Mgx c = − − − + λ , где 1 2 C C B 3 cos , cos , 2 cos 2 2 a a x x x a = ϕ = ϕ = ϕ, а 1 2 0 C C l λ = − − удлинение пружины (С 1 и С 2 − точки крепления пружины). Так как С 1 С 2 = аcosϕ, то λ = аcosϕ − l 0 , поэтому 2 1 0 2 2( ) cos ( cos ) U m M ga c a l = − + ϕ + ϕ − Дифференцируя по ϕ, получаем 0 ' 2( ) sin ( cos )sin dU U M m ga ac a l d = = + ϕ − ϕ − ϕ ϕ , и, следовательно, обобщенная сила имеет вид 0 ' 2( ) sin ( cos )sin Q U M m ga ac a l = − = − + ϕ + ϕ − ϕ . При равновесии системы Q = 0, поэтому получаем 0 [ 2( ) ( cos )]sin 0 m M ga ac a l − + + ϕ − ϕ = . Это равенство может быть удовлетворено, если либо sin 0 ϕ = , либо 0 2( ) ( cos ) 0 m M ga ac a l − + + ϕ − = . (7.13) Из первой возможности следует, что ϕ 1 = 0 является одним из равновесных состояний системы. Из второй возможности (7.13) находим второе равно- весное значение угла 0 2 2( ) cos m M g cl ca + + ϕ = В силу того, что cos 1 ϕ ≤ , положение равновесия, определяемое этим вы- ражением, может существовать, только если 0 2( ) ( ) m M g c a l + ≤ − Таким образом, если 0 2( ) ( ) m M g c a l + > − , то у системы существует одно состояние равновесия ϕ 1 = 0. При 0 2( ) ( ) m M g c a l + ≤ − существуют два состояния равновесия ϕ 1 = 0, 2 0 2( ) arccos m M g cl ca + + ϕ = Для исследования устойчивости найденных положений равновесия вычис- Условия равновесия системы 148 лим вторую производную от потенциальной энергии по обобщенной коор- динате. Имеем 2 2 2 0 2 2 2 0 " 2( ) cos sin ( cos )cos [2( ) ]cos (1 2cos ). d U U m M ga ca ac a l d a m M g cl ca = = + ϕ + ϕ − ϕ − ϕ = ϕ = + + ϕ + − ϕ Для первого положения равновесия ϕ 1 = 0 0 " [2( ) ( )] U a m M g c a l = + − − , и при 0 2( ) ( ) m M g c a l + > − вторая производная положительна, т.е. потен- циальная энергия имеет минимум и, следовательно, состояние равновесия ϕ = 0 при этом условии устойчиво. При 0 2( ) ( ) m M g c a l + < − " 0 U < , и, следовательно, состояние равно- весия ϕ = 0 при этом условии неустойчиво. При 2 0 2( ) arccos m M g cl ca + + ϕ = ϕ = 0 0 " [2( ) ( )][ ( ) 2( ) ]/ U m M g c a l c a l m M g c = + + + − − + Если 0 2( ) ( ) m M g c a l + < − , то " 0 U > и состояние равновесия ϕ = ϕ 2 ус- тойчиво. Таким образом, при выполнении условия 0 2( ) ( ) m M g c a l + > − существует одно устойчивое состояние равновесия при ϕ = 0. При выпол- нении же условия 0 2( ) ( ) m M g c a l + < − существуют два состояния равновесия: неустойчивое при ϕ = 0 и устойчи- вое при ϕ = ϕ 2 Теоретическая физика. Механика (практический курс) 149 Задачи Обязательные задачи 7.1. Однородный стержень АВ веса Р и длины 2l подвешен в точке С на двух тросах АС и СВодинаковой длины, рав- ной а. Определить натяжение тросов. 2 2 2 / 2 ( ) / T P a l a ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 7.2. Однородная балка АВ, расположенная в вертикальной плоскости, прикреплена верхним концом при помощи шарнира В к вертикаль- ной стене, а нижним концом A опирается на гладкий пол. Даны вес балки Р, ее длина 2а и угол наклона α. Найти реакцию пола и полную реакцию шарнира. [ / 2, / 2 A B R P R P = = и направлена вверх] 7.3. Шар весом Р привязан нитью к неподвижной точке В, а в точке А опирается на гладкую наклонную плоскость. Определить величину реакции в точке А и натяжение нити, если углы α и β известны. cos sin , cos( ) cos( ) P P T R ⎡ ⎤ α β = = ⎢ ⎥ α − β α − β ⎣ ⎦ 7.4. Уличный фонарь весом P подвешен к столбу с гори- зонтальной поперечиной АС = a и подкосом ВС = b. Найти реакции S A и S B в стержнях АС и ВС, считая крепления в точках A, В и С шарнирными. 2 2 2 2 A B / , / S aP l a S abP l a ⎡ ⎤ = − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 7.5. Два одинаковых гладких цилиндра веса Р каждый подвешены в неподвижной точке О на двух одина- ковых нитях и поддерживают третий цилиндр веса Q. Вся система находится в равновесии. Найти за- висимость между углами α и β. [ ] tg [(2 / ) 1]tg P Q β = + α Условия равновесия системы 150 7.6. Втулка А веса Р соединена с втулкой В веса Q гибкой нерастяжи- мой нитью АВ = l. Определить угол β при равновесии системы, если известен постоянный угол α между стержнями АС и ВС, расположенными в вертикальной плоскости. [ ] tg [( ) / ]ctg P Q Q β = + α 7.7. У стены здания положены три одинаковых трубы, как указано на рисунке. Какую горизонтальную силу F надо приложить к правой нижней трубе, чтобы удержать трубы в равновесии. Сила F должна пересекать ось трубы. Радиус сечения труб равен r, вес каждой тру- бы Р, линии, соединяющие центры сечений образуют равнобедренный треугольник с углом α при основа- нии. [ F =(P/2)ctgα ] 7.8. На двух одинаковых круглых однородных цилиндрах радиусом r и весом Р каждый, лежащих на горизонтальной плоскости и связан- ных за центры нерастяжимой нитью, покоится третий однородный цилиндр радиуса R и веса Q. Определить натяжение нити Т, давление цилиндров на плоскость Р n и взаимное давление цилиндров Р b . 2 2 ( ) , , 2 2 2 2 2 n b Q r Q Q R r T P P P R rR R rR ⎡ ⎤ + = = + = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ 7.9. Однородный стержень АВ, длиной 2l упирается нижним концом А в вертикальную гладкую стену, составляя с ней угол ϕ . Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Опреде- лить угол ϕ в положении равновесия стержня. 3 sin / a l ⎡ ⎤ ϕ = ⎣ ⎦ 7.10. Два расположенных в вертикальной плоскости одно- родных стержня опираются нижними концами на гладкую горизонтальную плоскость и друг на друга, Теоретическая физика. Механика (практический курс) 151 а верхними концами − на две вертикальные гладкие стены. Длины стержней 2а 1 и 2а 2 , веса их Р 1 и Р 2 . Найти зависимость между углами α 1 и α 2 наклона стержней к горизонту при равновесии системы. [tg α 1 /tgα 2 = P 1 /P 2 ] 7.11. Определить силу, необходимую для поднятия груза веса Р посредством системы трех одинаковых невесомых блоков, изображенной на рисунке. [ F = P/4 ] 7.12. Лестница АВ нижним своим концом опирается на горизонтальный гладкий пол, а на верхнем своем конце снабжена двумя крючками, накинутыми на металлический стержень, протянутый вдоль стены, параллельно полу. Найти реакцию стерж- ня и реакцию пола, если вес лестницы равен Р, длина ее равна l, и на лестнице стоит человек на расстоянии а от верхнего конца. Вес человека равен Q. [ R A = P/2 + aQ/l, R B = P/2 + (l − a)Q/l ] 7.13. Квадратная доска АВСD весом Р подвешена на верев- ке ВЕ. Вершиной А она опирается на неподвижную гладкую вертикальную стену ЕА. Определить реакцию стены в точке А, натяжение Т веревки и угол ϕ, если АВ = ВЕ = а. [ R A = P/3, T = P 10 /3, tg 1/ 3 ϕ = ] 7.14. Два одинаковых однородных шара радиуса r, каждый из которых имеет вес Р, положены внутрь полого, открытого с обоих концов пря- мого цилиндра радиуса R, стоящего на горизонтальном шероховатом столе. Определить наименьший вес Q цилиндра, при котором шары не в состоянии опрокинуть его. Толщиной стенок цилиндра пренебречь. [ Q = 2P(1−r/R) ] 7.15. Однородный стержень АВ длиной 2l и весом Р находится в равно- весии в вертикальной плоскости, опираясь концами на две наклон- ные гладкие плоскости, образующие между собой прямой угол. Условия равновесия системы 152 Найти угол ϕ стержня с горизонтом, если известно, что нижняя из плоскостей образует с горизонтальной плос- костью угол α. [ ] / 2 2 ϕ = π − α Задачи средней трудности 7.16. Кран состоит из однородного стержня АС весом Р, вращающегося на шарнире А и привязанного к закрепленной точке В цепью ВС. К концу С стержня подвешен груз D весом Q. Определить натяжение цепи Т и реакцию шарнира A, если известны угол α и длина стержня АС = а. 7.17. Два одинаковых стержня АС и ВD весом Р каждый, вращающихся на шарнирах А и В, соединены шарнирами С и D с третьим горизонтальным стержнем CD, весом Q. Вся система находится в равновесии в вертикальной плоскости. Определить реакции шарниров А и С, если угол α известен. 7.18. На шар веса Q, опирающийся на вертикальную стенку и наклонную балку ОА, действует сила F . Однородная балка ОА веса Р закреплена в точке О шарнирно и удерживается в наклон- ном положении при помощи вертикального троса АB. Оп- ределить, пренебрегая трением, давление шара на балку и стену, реакцию шарнира и натяжение троса, если известны углы α и β, длина балки ОА = l и радиус шара r = l/4. 7.19. Однородный стержень АВ весом Р нижним своим концом А при- креплен к полу при помощи шарнира, а верхним концом опирается на гладкую наклонную стену, образующую угол β с горизонтом. Найти реакцию шарнира и реакцию стены, если известно, что стержень образует с полом угол α. 7.20. Однородный стержень длиной 2l и весом Р прикреплен шарниром В к вертикальной стене, а в точке А опирается на ребро другой стены. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 153 Найти реакции в точках А и В, а также угол α при равновесии стержня, если известно, что точка А отстоит от первой стены на расстоянии а и находится на высоте, равной b над шарни- ром В. 7.21. На гладкий цилиндр радиуса r опираются два одинаковых весомых стержня, соединенных шар- ниром А. Длина каждого стержня равна 2l. Опре- делить угол θ раствора стержней, соответствую- щий положению равновесия. [ ltg 3 θ − r tg 2 θ − r = 0 ] 7.22. Полиспаст состоит из неподвижного блока А и трех подвижных блоков. Определить в случае равновесия отношение поднимаемого груза Q к усилию Р, прила- гаемому к концу каната, сходящего с неподвижного блока А. Решить эту задачу в случае п подвижных блоков. [ Q/P = 2 п ] 7.23. Однородный стержень АВ нижним своим концом А прикреплен к полу при помощи шарнира и удерживается под углом α к горизонту при помощи привя- занной к верхнему его концу В веревки, кото- рая прикреплена другим своим концом к вер- тикальной стене и образует угол β с горизон- том. Найти натяжение Т веревки и реакцию шарнира, если вес стержня равен Р. 7.24. На горизонтальный стол ставится абсолютно гладкий внутри цилиндр диаметра а и веса Р. В него опускают однородную палочку длиной 2l и весом Q, которая занимает некоторое положение равновесия под углом ϕ к горизонту. Найти наименьший вес палочки Q, которая в состоянии опрокинуть цилиндр, угол ϕ палочки с горизонтом и ре- Условия равновесия системы 154 акции в точках А и В в начальный момент опрокидывания. Толщи- ной стенок цилиндра пренебречь. 7.25. Одинаковые гладкие пластины длины l укладываются одна на дру- гую, как показано на рисунке. Найти такую длину "пролета" L (как функцию от числа пластин n), чтобы система оставалась в положении равновесия. 2 1 1 1 ln 2 1 2 n k L l l n k = ⎡ ⎤ = ≅ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∑ 7.26. Куб массы m прислонен к стене в наклонном положении. Коэффи- циент трения между вертикальной стеной и ребром куба равен f 1 , а между кубом и горизонтальным полом – f 2 . Най- ти условие равновесия куба. 1 2 2 1 2 1 tg 1 2 f f f f f ⎡ ⎤ − α = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ 7.27. Однородная прямоугольная крышка веса Р наклонена под углом α к вертикальной плоскости yOz и удерживается в таком положении при помощи сферического шарнира О, цилиндрического шарнира А и нити СD, располо- женной в горизонтальной плоскости. Определить ре- акции шарниров и натяжение нити, если ОА = СВ = а, ОС = АВ = а/2. 7.28. Материальная точка находится в поле тяжести на внутренней сто- роне гладкой поверхности, определяемой уравнением: а) z = 4x 2 + 2xy + y 2 , б) z = x 2 − xy + y 2 , в) z = x 2 + xy − y 2 , г) z = 4x 2 − 2xy + 2y 2 , д) z = 2xy. Найти положения равновесия ма- териальной точки для каждого случая и исследовать их устойчи- вость (ось Oz направлена вертикально вверх). 7.29. Стержень АВ, образующий угол α с вертикалью, вра- щается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вер- тикальной оси О 1 О 2 . По стержню может двигаться без трения тяжелое колечко S массы m, соединенное с не- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 155 подвижным концом стержня А пружиной жесткости с, причем дли- на пружины в недеформированном состоянии равна l. Найти поло- жения относительного равновесия колечка и исследовать их устой- чивость. 7.30. Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по параболе x 2 = 2pz и вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Oz. Определить положение относительного равнове- сия шарика и исследовать его устойчивость. Задачи повышенной трудности 7.31. Однородный стержень АВдлиной 2а и весом Р опирается на гори- зонтальную плоскость и неподвижный цилиндр радиуса r. Коэффи- циент трения стержня о цилиндр и о плос- кость равен f. Каково наибольшее значе- ние угла ϕ , при котором стержень нахо- дится в равновесии? 7.32. Четыре стержня равной длины и равного веса соединены друг с другом шарнирами C, D и E. Два крайних стержня вращаются в вертикальной плоскости на шарнирах около неподвижных точек А и В, лежащих на одной горизонтали. Оп- ределить зависимость между углами α и β в положении равновесия системы. [ tg α = 3tgβ ] 7.33. Цепь, состоящая из n одинаковых однородных стержней массы m каждый, подвешена в вертикальной плоскости. Стержни соединены друг с другом с помощью шарниров. Один конец этой системы не- подвижно закреплен, а на второй действует постоянная горизонталь- ная сила Q . Найти углы ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n , которые стержни образуют с верти- калью в положении равновесия сис- темы. Условия равновесия системы 156 7.34. Найти условие устойчивого равновесия однородного тяжелого стержня длиной 2l в полусферической гладкой чаше радиуса R и ис- следовать его устойчивость. Какая часть стержня при равновесии будет находиться вне чаши? (Пола- гается, что 2R 2 /3 < l 2 < 4R 2 ) ( ) 2 2 cos 32 /8 l l R R ⎡ ⎤ ϕ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 7.35. Материальная точка находится в полости глад- кой трубки, изогнутой по эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 и вращающейся с постоянной угловой скоростью ω во- круг оси Oy. Определить положения относительного равновесия точки и исследовать их устойчивость. 7.36. По гладкой проволочной окружности радиуса R, неподвижно за- крепленной в вертикальной плоскости, может скользить тяжелое колечко массы m, соединенное с наивысшей точ- кой А окружности пружиной жесткости с. Длина пружины в недеформированном состоянии равна l 0 . Найти положе- ния равновесия колечка и исследовать их устойчивость. 7.37. Невесомый стержень ОАдлины а может свободно вращаться во- круг точки О. К концу Астержня шарнирно прикреп- лен невесомый стержень АВдлины а, на другом конце которого закреплен груз В массы m. Точка О и точка В соединены между собой пружиной жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в нена- пряженном состоянии равна а. Найти положения равновесия и исследовать их устойчивость, счи- тая, что система расположена в плоскости xOy. |