Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Примеры решения задач Задача 1 . Частица массой m 1 , к которой на нерастяжимом и невесомом стержне длиной l присоединена частица массой m 2 , движется по окружно- сти радиуса a, расположенной в вертикальной плос- кости xOy. Предполагая, что частица массой m 2 так- же все время остается в плоскости xOy, написать уравнения связей системы, определить число степе- ней свободы и ввести обобщенные координаты. Решение. Вследствие того, что система состоит из двух частиц, будучи свободной, она имела бы 6 степеней свободы. Но обе частицы могут двигаться только в плоскости xOy и эти ограничения вво- дятся двумя уравнениями связей z 1 = 0, z 2 = 0. Возможность 1-ой частице двигаться только по окружности радиуса a при- водит еще к одному уравнению связи 2 2 2 2 1 1 1 0. x y z a + + − = И, наконец, тот факт, что обе частицы все время соединены стержнем дли- ной l, накладывает на координаты частиц еще одно ограничение, выражае- мое уравнением связи 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0. x x y y z z l − + − + − − = Как видим, все найденные четыре уравнения являются уравнениями голо- номных и стационарных связей. Таким образом, N = 2, s = 4 и в соответст- вии с выражением (5.7) из шести исходных степеней свободы у системы со связями остается только две. В качестве обобщенных координат, характе- ризующих поведение системы, целесообразно использовать два угла: один угол, скажем, ϕ, который радиус-вектор частицы с массой m 1 образует с осью x, и второй угол, например, ψ, который стержень, соединяющий час- тицы, составляет с вертикалью. В соответствии с (5.8) окончательно введем обобщенные координаты ϕ и ψ, выразив через них компоненты исходных радиус-векторов частиц, x 1 = acosϕ, y 1 = asinϕ, x 2 = acosϕ + lsinψ, y 2 = asinϕ − lcosψ. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 81 Разумеется, этот выбор не является однозначным 1 и его целесообраз- ность обусловлена наиболее простым видом функции Лагранжа и просто- той уравнений Лагранжа. Задача 2 . Груз А веса Р движется по гладкой наклонной плоскости, распо- ложенной под углом α к горизонту. К грузу А прикреплен математиче- ский маятник с массой m в точке B. Длина нити маятника равна l. Полагая, что движение происходит в одной вертикальной плос- кости, ввести обобщенные координаты системы и най- ти соответствующие им обобщенные силы. Решение. Вычисление обобщенных сил материальной системы является одним из существенных этапов ре- шения задач с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода, поэтому рассмот- рим подробно их вычисление различными способами. Анализируемая сис- тема имеет две степени свободы и для описания ее поведения удобно ис- пользовать в качестве одной обобщенной координаты перемещение s груза A вдоль наклонной плоскости, отсчитываемое от начала в точке O, и в ка- честве другой − угол ϕ, который нить маятника образует с вертикалью. Способ (а). Для нахождения соответствующих этим координатам обобщен- ных сил Q s и Q ϕ воспользуемся вначале формулой (5.11). На систему дейст- вуют две активные силы: F 1 , равная по модулю весу P груза A, и F 2 – вес ма- ятника, равный по модулю mg, обе направлены вертикально вниз. Вводя де- картовую систему координат, как показано на рисунке, и проектируя на ее оси силы F 1 и F 2 и радиус-векторы груза A ( r 1 ) и частицы ( r 2 ), будем иметь F 1 (0, P), F 2 (0, mg) r 1 (s cos α, s sinα), r 2 (s cos α− l sinϕ, s sinα+ l cosϕ). Для проекций частных производных по обобщенным координатам от ра- диус-векторов найдем 1 2 1 2 (cos ,sin ), (cos ,sin ), (0,0), ( cos , sin ). s s l l ∂ ∂ α α α α ∂ ∂ ∂ ∂ − ϕ − ϕ ∂ϕ ∂ϕ r r r r 1 В качестве обобщенных координат можно использовать, например, x 1 , x 2 ; x 1 , y 2 ; x 1 , ψ и т.д. Уравнения Лагранжа 82 Вычисляя суммы необходимых скалярных произведений, из (5.11) получа- ем требуемые обобщенные силы sin sin ( )sin , 0 sin sin s Q P mg P mg Q mgl mgl ϕ = α + α = + α = − ϕ = − ϕ Способ (б). Используем теперь наиболее распространенный прием вычис- ления обобщенных сил как коэффициентов при вариациях обобщенных координат в выражении суммы элементарных работ активных сил на вир- туальных перемещениях (5.12). Дадим системе два независимых обобщен- ных виртуальных перемещения: δs, направленное параллельно наклонной плоскости в сторону возрастания координаты s, т.е. вниз, и δϕ − в сторону возрастания угла ϕ, т.е. против часовой стрелки от вертикального направ- ления. Учитывая независимость виртуальных перемещений δs и δϕ, при вычислении суммы работ активных сил будем давать системе виртуальное перемещение, соответствующее искомой обобщенной силе, а второе вир- туальное перемещение будем при этом считать равным нулю. Так, для оп- ределения обобщенной силы Q s дадим системе виртуальное перемещение δs, а δϕ будем считать равным нулю. Это значит, что при фиксированном значении угла поворота маятника ϕ вся система, состоящая из груза и ма- ятника, перемещается поступательно на δs. На виртуальном перемещении δs сумма работ активных сил имеет вид δA = P δs sinα + mg δs sinα = ( P + mg ) sinα δs. (5.24) Обобщенной силой Q s является коэффициент пропорциональности, стоя- щий при δs в формуле (5.24), т.е. Q s = ( P + mg ) sinα. Для определения обобщенной силы Q ϕ дадим системе виртуальное пере- мещение δϕ, а δs будем считать равным нулю. Это значит, что груз A на- ходится на наклонной плоскости в покое, а нить маятника отклоняется на угол δϕ против часовой стрелки. Сумма работ активных сил на виртуаль- ном перемещении δϕ равна: δA = − mg l sinϕ δϕ. (5.25) Обобщенной силой Q ϕ является коэффициент пропорциональности, стоя- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 83 щий при δϕ в формуле (5.25), т.е. Q ϕ = − mg l sinϕ. Способ (в). Вследствие того, что обе активные силы, действующие на сис- тему, носят потенциальный характер, интересующие нас обобщенные си- лы могут быть вычислены еще одним способом. Согласно формуле (5.13) обобщенные силы являются частными производными с обратным знаком от потенциальной энергии системы. В данном случае обобщенные силы Q s и Q ϕ мы можем найти по формулам: , s U U Q Q s ϕ ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ϕ . Для этого предварительно следует вычислить потенциальную энергию системы U(s, ϕ). Принимая за нуль потенциала его значение в точке O, для потен- циальной энергии системы будем иметь U(s, ϕ) = −Ps sinα − mg (s sinα + l cosϕ) = − (P + mg) s sinα − mg l cosϕ. Дифференцируя функцию U(s, ϕ) частным образом по s и по ϕ, для соот- ветствующих обобщенных сил найдем величины ( )sin , sin s Q P mg Q mgl ϕ = + α = − ϕ, совпадающие с полученными выше выражениями. Задача 3 . Частица массы m подвешена на невесомой и не- растяжимой нити длины l, прикрепленной в неподвижной точке O, и может совершать движение в вертикальной плоскости xOy. Предполагая, что система находится в поле силы тяжести, найти закон движения частицы и натяжение нити T, используя для этой цели уравнения Лагранжа 1-го рода. Решение. Поскольку частица, образующая маятник, все время находится в плоскости xOy и на одном и том же расстоянии, равном l, от точки O, то два уравнения связи, наложенные на нее, имеют вид 2 2 2 2 1 2 ( , , ) 0, ( , , ) 0. f x y z x y z l f x y z z = + + − = = = (5.26) Записывая уравнения Лагранжа 1-го рода в соответствии с (5.6), получаем Уравнения Лагранжа 84 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 , 2 , 2 , ( , , ) 0, ( , , ) 0, mx mg x my y mz z f x y z x y z l f x y z z ⎧ = + λ ⎪ = λ ⎪⎪ = λ + λ ⎨ ⎪ = + + − = ⎪ ⎪ = = ⎩ && && && (5.27) систему пяти уравнений для определения пяти неизвестных: x(t), y(t), z(t), λ 1 (t) и λ 2 (t). Так как z = 0, то из третьего уравнения находим λ 2 = 0, а из второго уравнения имеем 1 2 my y λ = && . После умножения первого уравнения системы (5.27) на y и вычитания из него второго уравнения, умноженного на x, получим ( ) m xy yx mgy − = && && . (5.28) Выразим координаты x и y через угол ϕ, который нить маятника образует с осью Ox, x = l cosϕ, y = l sinϕ. Используя эту замену и вычисляя производные 2 2 sin , cos , cos sin , sin cos , x l y l x l l y l l = − ϕ ϕ = ϕ ϕ = − ϕ ϕ − ϕ ϕ = − ϕ ϕ + ϕ ϕ & & & & & && && & && && уравнению (5.28) можно придать известную форму дифференциального уравнения колебаний математического маятника sin 0 g l ϕ + ϕ = && Записав уравнение в виде ( ) sin cos g g d d d l l ϕ ϕ = − ϕ ϕ = ϕ & & и интегрируя его при начальных условиях: при t = 0 ϕ = 0, 0 ϕ = ϕ & & , будем иметь 2 2 0 2 (1 cos ) g l ϕ = ϕ − − ϕ & & . (5.29) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 85 Кстати сказать, это уравнение мы можем получить и из закона сохранения энергии. Дальнейшее интегрирование этого нелинейного уравнения пред- ставляет известные трудности, поэтому решим исходное уравнение при- ближенно, допустив, что колебания малы. Разлагая sin ϕ в ряд вблизи точки ϕ = 0 и сохраняя только первый член разложения, уравнению придадим вид 0 g l ϕ + ϕ = && . Решая его, находим 0 0 0 ( ) sin t t ϕ = ϕ ω ω & , где величина 0 / g l ω = является частотой малых колебаний частицы. Возвращаясь к исходным переменным, получаем в этом приближении ко- ординаты частицы x и y как функции времени ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) sin sin , ( ) cos sin x t l t y t l t = ω ϕ ω = ω ϕ ω & & Найдем теперь натяжение нити. В соответствии с формулами (5.5) по- лучаем 1 1 2 , 2 , 0 x y z x T x my y T y my T = λ = ⎧ ⎪ ⎪ = λ = ⎨ ⎪ = ⎪⎩ && && и, следовательно, величина натяжения нити определяется выражением 2 2 2 x y z l y T T T T m y ml y y = + + = = && && , или 2 cos sin T ml ϕ = ϕ − ϕ ϕ & && . Так как sin g l ϕ = − ϕ && , а 2 ϕ & определяется формулой (5.29), то Уравнения Лагранжа 86 2 2 0 0 2 (1 cos ) cos (2 3cos ) g g g T ml ml l l l = ϕ − − ϕ + ϕ = ϕ − − ϕ & & Из этого уравнения следует, что связь в виде нити будет удерживающей, если 0 T ≥ при ϕ = π. Это условие выполняется, когда начальная угловая скорость 0 ϕ& удовлетворяет неравенству 2 2 0 0 5 5 g l ϕ ≥ = ω & Задача 4 . Найти функцию Лагранжа и составить уравнения Лагранжа 2-го рода плоского маятника, точка подвеса которого равномерно вращается по вертикальной окружности с постоянной частотой ω . Радиус окружности равен а, и частица с массой m подвешена на нити длиной l. Решение. Вследствие того, что движение является плоским и точка подвеса маятника двигается по за- данному закону, система обладает одной степенью свободы. За обобщенную координату примем угол ϕ, который нить образует с вертикалью. Будем для кон- кретности полагать, что в начальный момент t = 0 точка подвеса маятника находилась на оси Ox. На систему действует только одна сила – сила тяже- сти частицы с массой m, и она потенциальна. Функция Лагранжа L будет равна разности кинетической и потенциальной энергии частицы. Из-за то- го, что связь, вынуждающая точку подвеса маятника вращаться по окруж- ности, является нестационарной, кинетическая энергия системы будет со- держать нулевой, линейный и квадратичный члены по обобщенной скоро- сти ϕ & (5.19). Для их нахождения мы можем воспользоваться выражениями (5.20) и (5.21), приняв во внимание тот факт, что частица в системе всего одна и эти выражения будут значительно упрощены. Проектируя радиус- вектор частицы на оси x и y, будем иметь ( cos sin , sin cos ) a t l a t l ω + ϕ ω − ϕ r Для частных производных найдем ( sin , cos ), ( cos , sin ). a t a t l l t ∂ ∂ − ω ω ω ω ϕ ϕ ∂ ∂ϕ r r Теоретическая физика. Механика (практический курс) 87 Следовательно, кинетическая энергия будет иметь вид 2 2 2 2 2 2 2 2 (sin cos cos sin ) 2 2 sin( ) 2 2 ma ml T mal t t ma ml mal t ω ϕ = − ωϕ ω ϕ − ω ϕ + = ω ϕ = − ωϕ ω − ϕ + & & & & Этот же вид кинетической энергии можно получить иначе, не исполь- зуя выражений (5.19) −(5.21), а просто, взяв формулу T = mv 2 /2, подставив в нее квадрат скорости частицы в декартовой системе координат 2 2 2 v x y = + & & , предварительно найдя проекции скорости на декартовы оси как производные от выражений декартовых координат, представленных через обобщенную координату ϕ. Записывая координаты и вычисляя скорости cos sin , sin cos , sin cos , cos sin , x a t l x a t l y a t l y a t l = ω + ϕ = − ω ω + ϕ ϕ = ω − ϕ = ω ω + ϕ ϕ & & & & для кинетической энергии получаем то же самое выражение 2 2 2 2 2 2 ( ) sin( ) 2 2 2 m ml ma T x y mal t ϕ ω = + = − ωϕ ω − ϕ + & & & & Записав потенциальную энергию частицы (при выборе нуля потен- циала на уровне оси Ox) ( sin cos ) U mg a t l = ω − ϕ и вычитая ее из кинетической энергии, для функции Лагранжа получим выражение 2 2 2 2 ( , , ) sin( ) ( sin cos ) 2 2 ml ma L t mal t mg a t l ϕ ω ϕ ϕ = − ωϕ ω − ϕ + − ω − ϕ & & & Составленную функцию Лагранжа можно существенно упростить, ес- ли иметь в виду, что к ней согласно (5.23) можно присоединить полную производную по времени от произвольной функции координат и времени, и такая трансформация ее ни к каким физическим последствиям не приве- дет 1 . Так как в этот разряд возможных присоединяемых слагаемых попа- 1 Но может существенно изменить вид функции Лагранжа и упростить получение уравнений Лагранжа. Уравнения Лагранжа 88 дают все константы и все слагаемые, зависящие только от времени, то их сразу в функции Лагранжа можно опустить. В нашем случае таковыми яв- ляются члены: 2 2 ma ω /2 и sin mga t − ω . Более того, если мы вычислим пол- ную производную по времени от выражения cos( ) mal t ω ω − ϕ [ ] 2 cos( ) sin( ) sin( ) d mal t mal t mal t dt ω ω − ϕ = − ω ω − ϕ + ωϕ ω − ϕ & , то обнаружим, что слагаемое sin( ) mal t − ωϕ ω − ϕ & нашей функции Лагранжа можно представить в виде [ ] 2 sin( ) sin( ) cos( ) d mal t mal t mal t dt − ωϕ ω − ϕ = − ω ω − ϕ − ω ω − ϕ & , в котором первый член в правой части имеет более простой вид (вместо обобщенной скорости ϕ& в качестве множителя содержит постоянную уг- ловую скорость ω), а второй член опять является полной производной по времени от функции координат и времени и его можно тоже беспрепятст- венно опустить. Имея все эти рассуждения в виду, найденной выше функ- ции Лагранжа можно, без ущерба для существа дела, придать следующий, более простой по сравнению с первоначально полученным, вид 2 2 2 ( , , ) sin( ) cos 2 ml L t mal t mgl ϕ ϕ ϕ = − ω ω − ϕ + ϕ & & Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода в виде (5.15) вычисля- ем частную производную от функции Лагранжа по обобщенной скорости ϕ& и затем полученное выражение полным образом дифференцируем по времени, получаем 2 d L ml dt ⎛ ⎞ ∂ = ϕ ⎜ ⎟ ∂ϕ ⎝ ⎠ && & . Далее вычисляем частную производ- ную от функции Лагранжа по обобщенной координате 2 cos( ) sin L mal t mgl ∂ = − ω ω − ϕ − ϕ ∂ϕ Из полученного первого результата вычитаем второй и составленную раз- ность приравниваем нулю. Получаем уравнение Лагранжа 2 2 cos( ) sin 0 ml mal t mgl ϕ + ω ω − ϕ + ϕ = && , которое после сокращения на ml приобретает окончательный вид Теоретическая физика. Механика (практический курс) 89 2 cos( ) sin 0 l a t g ϕ + ω ω − ϕ + ϕ = && Задача 5 . Составить функцию Лагранжа и получить уравнения Лагранжа для следующих свободных систем: а) свободно двигающаяся частица; б) линейный гармонический осциллятор; в) частица, двигающаяся в центрально симметричном поле под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния до си- лового центра. Решение. а) Так как на свободную частицу не действуют никакие силы, то ее функция Лагранжа будет состоять только из кинетической энергии. Рас- сматривая в качестве обобщенных координат обычные декартовые коор- динаты x, y, z (мы это можем сделать, поскольку никаких связей нет), для функции Лагранжа будем иметь 2 2 2 ( ) 2 m L x y z = + + & & & . Составляя уравнения Лагранжа 0, 0, 0 d L L d L L d L L dt x x dt y y dt z z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ & & & , найдем 0, 0, 0 mx my mz = = = && && && Видим, что уравнения Лагранжа являются обычными уравнениями движе- ния свободной частицы в декартовых координатах, из которых с началь- ными условиями (при 0 0 0 и t = = = r r v v ) получаем закон движения сво- бодной частицы 0 0 ( ) r t t = + v r б) Линейным гармоническим осциллятором называют частицу массы m, двигающуюся по одной прямой под действием силы вида F kx = − , где k − постоянный положительный коэффициент. Найдем потенциальную энер- гию, соответствующую данной потенциальной силе. Имеем ( ) grad ( ) ( ) ( ) / x x U x U x dU x dx kx = − = −∇ = − = − F e e Уравнения Лагранжа 90 Отсюда получаем ( ) dU x kx dx = и поэтому 2 ( ) 2 kx U x = , если полагать, что потенциал равен нулю при x = 0. Так как кинетическая энергия осциллятора 2 2 mx T = & , то для функции Лагранжа найдем 2 2 2 2 mx kx L = − & Составляя уравнение Лагранжа, будем иметь 0 mx kx + = && Определяя частоту ω 2 = k/m, получаем известное уравнение движения ос- циллятора в виде 2 0 x x + ω = && в) В силу того, что частица в любом центрально симметричном поле дви- жется в плоскости, перпендикулярной сохраняющемуся угловому момен- ту, для описания ее движения на плоскости xOy удобно ввести полярные координаты ρ и ϕ, которые и будут играть роль обобщенных координат. Так как сила притяжения, действующая на частицу, обратно пропорцио- нальна квадрату расстояния до силового центра, который будем считать находящимся в начале координат, то ее можно записать в виде 2 ( ) ρ α ρ = − ρ F e , где α − константа взаимодействия. Полагая потенциал равным нулю в бес- конечно удаленной точке от силового центра, для потенциальной энергии частицы найдем ( ) U α ρ ρ = − . Так как квадрат скорости частицы в полярной системе координат имеет Теоретическая физика. Механика (практический курс) 91 вид 2 2 2 2 v = ρ + ρ ϕ & & , то для функции Лагранжа получим выражение 2 2 2 ( ) 2 m L α = ρ + ρ ϕ + ρ & & . (5.30) Составляя уравнения Лагранжа 0, 0 d L L d L L dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ρ ∂ρ ∂ϕ ∂ϕ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ & & , найдем уравнения второго порядка 2 2 2 0, 2 0 m m m m α ρ − ρϕ + = ρ ϕ + ρρϕ = ρ && & && & & , (5.31) которые являются обычными уравнениями движения частицы в полярной системе координат 2 , 0 mw mw ρ ϕ α = − = ρ , где w ρ и w ϕ − радиальное и угловое ускорения частицы. Замечание. Полученные уравнения движения (5.31) можно существенно упростить, если заметить, что обобщенная координата ϕ не входит явным образом в функцию Лагранжа (5.30), т.е. является циклической. Это при- водит к закону сохранения соответствующего обобщенного импульса p ϕ = ∂L/∂ϕ • = mρ 2 ϕ • , в данном случае совпадающему с проекцией момента импульса M z . Циклической переменной является также и время t, что ведет к сохранению обобщенной энергии 1 n j j j H p q L = = − ∑ & , которая в данном случае совпадает с обычной полной энергией E = T + U = = 2 2 2 ( ) 2 m α ρ + ρ ϕ − ρ & & . Та- ким образом, учет циклических переменных для центрального поля приво- дит к известным уравнениям первого порядка (см. раздел 3) 2 2 2 2 z m M m ρ α = − + ρ ρ & и m ρ 2 ϕ • = M z Подробнее о циклических переменных и обобщенной энергии см. разд. 9–10. Уравнения Лагранжа 92 Задачи Обязательные задачи 5.1. Стержень, находящийся в плоскости xOy, на котором могут свобод- но двигаться две материальные точки с массами m 1 и m 2 , соединенные между собой пружиной, враща- ется вокруг вертикальной оси Oz с постоянной уг- ловой скоростью ω. Написать уравнения связей системы, определить число ее степеней свободы и ввести обобщенные координаты. [ ] 1 2 1 1 2 2 0, sin cos 0, sin cos 0; 2 z z x t y t x t y t n = = ω − ω = ω − ω = = 5.2. Найти число степеней свободы n плоского трехзвенного механизма ABCD, у которого точки A и D могут перемещаться только по оси Ox. Как изменится результат для не- плоского механизма? [n = 3] 5.3. Свободная материальная точка движется под действием силы ( , ) x x y y z z , t F F F = + + F r v e e e . Найти выражения для обобщенных сил, если в качестве обобщенных координат выбираются: а) цилиндрические координаты, б) сферические координаты. ) sin cos sin sin cos , ( cos sin )cos sin , sin ( cos sin ) r x y z x y z y x б Q F F F Q r F F rF Q r F F θ ϕ ⎡ ⎤ = θ ϕ + θ ϕ + θ ⎢ ⎥ = ϕ + ϕ θ − θ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = θ ϕ − ϕ ⎣ ⎦ 5.4. Для сферического маятника длины l и массы m, изо- браженного на рисунке, с использованием в качест- ве обобщенных координат сферических углов θ и ϕ найти обобщенные силы Q θ и Q ϕ 5.5. Однородный стержень ОА, вес которого Р, может вращаться вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси Оz без трения. К Теоретическая физика. Механика (практический курс) 93 концу А стержня прикреплена пружина BА, точка B крепления которой находится на оси Оx и отстоит от точки О по вертикали вверх на рас- стоянии BО = ОА = a. Длина пружины в нена- пряженном состоянии равна l 0 . Используя в ка- честве обобщенной координаты системы угол ϕ, который стержень образует с вертикалью, получить выражение со- ответствующей ему обобщенной силы, полагая, что коэффициент жесткости пружины равен с. 5.6. Две частицы с массами m 1 и m 2 , соединенные ме- жду собой жестким стержнем длины l, притяги- ваются к неподвижной частице массы m по зако- ну всемирного тяготения. Пренебрегая массой стержня, найти обобщенные силы, предполагая, что движение происходит в одной плоскости и рассматривая в качестве обобщенных координат расстояние r и уг- лы ϕ и ψ. 5.7. Наклонная призма А веса Р движется под действием горизонтальной силы F по гладкой горизонтальной плоскости. Вдоль наклонной плоскости призмы, расположенной под углом α к горизонту, скользит доска В веса Q. Предполагая, что коэффи- циент трения доски о наклонную плоскость равен f, выбрать обоб- щенные координаты системы и определить соответствующие им обобщенные силы. 5.8. Найти обобщенные силы для материаль- ной системы, изображенной на рисунке. Веса грузов А, В и С, соответственно, равны Р 1 , Р 2 и Р 3 . Грузы А и В переме- щаются по гладкой горизонтальной поверхности. Стержни длины l невесомы и соединены с грузами А и В и между собой идеальными цилиндрическими шарнирами и вся система движется в одной вер- Уравнения Лагранжа 94 тикальной плоскости. Жесткости пружин, действующих на грузы A и B, равны соответственно с 1 и с 2 5.9. Найти функцию Лагранжа плоского маятника дли- ной l и массы m 2 , точка подвеса которого (с массой m 1 в ней) может совершать движение по горизон- тальной прямой. 2 2 2 1 2 2 2 ( 2 cos ) cos 2 2 m m m L x l lx m gl + ⎡ ⎤ = + ϕ + ϕ ϕ + ϕ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & & & & 5.10. Показать, что добавление к функции Лагранжа 1, 2 2 ( ,..., , ,..., , ) n n L q q q q q t & & полной производной по времени 1 2 1 ( , ,..., , ) n n j j j df q q q t f f q dt q t = ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∑ & от некоторой произвольной функ- ции 1 2 ( , ,..., , ) n f q q q t обобщенных координат и времени, не меняет уравнений Лагранжа. 5.11. Составить функцию Лагранжа двойного плоского маятника, изо- браженного на рисунке, состоящего из двух частиц с массами m 1 и m 2 , которые подвешены на нитях длиной l 1 и l 2 соответственно. 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ( ) ( , , , ) 2 2 cos( ) ( ) cos cos m m m L l l m l l m m gl m l g + ⎡ ⎤ ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ + ϕ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ϕ ϕ ϕ − ϕ + + ϕ + ϕ ⎣ ⎦ & & & & & & 5.12. Составить функцию Лагранжа системы двух точек с массами m 1 и m 2 , движущихся в плоскости xOy по прямым, обра- зующим углы π/4 с горизонталью. Предполагать, что на точки действует сила тяжести и что они все время находятся на неизменном расстоянии, равном a, друг от друга. 5.13. Две частицы с массами m 1 и m 2 , связанные пружиной жесткости с, могут двигаться без трения по сторонам прямого угла xOy, сторона Oy которого вертикальна. Длина пружины в ненапряженном со- стоянии равна l 0 . Составить уравнения Лагранжа системы. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 95 5.14. Через неподвижный блок, массой которого можно пренебречь, перекинута нить, на одном конце которой подвешена гиря массой m 3 , а на другом конце – неве- сомый блок. Через этот блок также перекинута нить, на концах которой подвешены гири массами m 1 и m 2 Предполагая, что трением при движении грузов мож- но пренебречь, составить уравнения Лагранжа системы и опреде- лить ускорение, с которым будет двигаться гиря массой m 3 5.15. Тело массы M, соединенное с пружиной жесткости с, другой конец которой закреп- лен неподвижно, может двигаться по гори- зонтальной плоскости вдоль направления оси Ox. К телу прикреплен математический маятник массы m и длины l. Составить уравнения Лагранжа системы. 5.16. Стержень массы m может перемещаться без трения в вертикальной неподвижной муфте. Нижним концом он опирается на гипотенузу абсолютно гладкого клина массы M, который лежит на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Вследствие давления на него стержня клин движется го- ризонтально, а стержень при этом опускается. Используя уравнения Лагранжа, найти законы движения обоих тел. 5.17. Призма А веса Q скользит по гладкой боко- вой грани призмы В весом Р, образующей угол α с горизонтом. Определить движение обеих призм, предполагая, что трением меж- ду призмой В и горизонтальной плоскостью можно пренебречь. 2 sin 2 2( sin ) B Q w g P Q ⎡ ⎤ α = ⎢ ⎥ + α ⎣ ⎦ Уравнения Лагранжа 96 5.18. Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса R, которая вращается с постоянной уг- ловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнения движения точки. 5.19. Центробежный регулятор состоит из 4-ех одинаковых невесомых стержней, длиной l каждый, двух шаров массы m и муфты A массой M, которая может скользить без трения по вертикальной оси Оz. Предполагая, что соединения стержней шар- нирные, точка О неподвижна и вся система может сжиматься или разжиматься по вертика- ли и вращаться без трения вокруг оси Оz, со- ставить функцию Лагранжа системы. Задачи средней трудности 5.20. Составить уравнение движения математического маятника длины l и массы m, точка подвеса которого совершает гармони- ческое движение по закону sin a t ω с амплитудой a и постоянной частотой ω в вертикальной плоскости вдоль прямой, наклоненной под углом α к горизонту. 2 sin cos( ) sin 0 a g t l l ⎡ ⎤ ϕ − ω ω ϕ − α + ϕ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ && 5.21. Материальная точка массы m скользит без трения по гладкой про- волоке, изогнутой в виде некоторой четной функции f(x). Проволо- ка, в свою очередь, может вращаться с постоянной угловой скоро- стью ω вокруг оси Оy, совпадающей с осью симметрии функции f(x). Найти функцию Лагранжа такой системы и выражение для си- лы реакции R, действующей со стороны проволоки на материаль- ную точку, для случаев: а) f(x) – окружность, б) f(x) – парабола, в) f(x) – прямая. 2 2 2 2 1 [1 ( )] ( ) 2 2 m L f m mgf ⎡ ⎤ ′ = + ρ ρ + ρ ω − ρ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & Теоретическая физика. Механика (практический курс) 97 5.22. Невесомый стержень AB длины 2l, на концах которого закреплены шарики с массами m, может свободно вращаться в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси ОS. Ось ОS может свободно поворачиваться в горизонталь- ной плоскости xOy (модель флюгера). Составить функцию Лагранжа системы и найти интегралы движения, предполагая, что OS = а. 5.23. Составить функцию Лагранжа для системы двух шаров, связанных между собой нерастяжимой нитью длины l. Шар с массой m 1 движется в вер- тикальном направлении, шар с массой m 2 может двигаться без трения по поверхности конуса с уг- лом раствора 2 α . Найти циклические координа- ты системы и качественно исследовать ее движение. 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) sin ( cos ) 2 2 m L m m z l z gz m m ⎡ ⎤ = + + − ϕ α + − α ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & & 5.24. Частица массой m 1 , двигающаяся по поверхности гладкой сферы радиуса R, и частица массой m 2 , дви- гающаяся вертикально, связаны невесомой нерастя- жимой нитью, пропущенной через малое отверстие в наивысшей точке сферы, как показано на рисунке. Составить урав- нения Лагранжа системы и найти интегралы движения. 5.25. Составить уравнения движения систе- мы, схема которой показана на рисунке. Плоскость, по которой вдоль одного направления движутся грузы M 1 , M 2 и M 3 , абсолютно гладкая. Массы грузов соответственно рав- ны m 1 , m 2 и m 3 , а жесткости пружин с 1 , с 2 и с 3 5.26. Материальная точка массы m движется под действием силы тяжести (Р = mg) по прямой АВ, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси; прямая АВ образует угол α с гори- зонталью. Найти закон движения точки, если ее на- Уравнения Лагранжа 98 чальная скорость была равна нулю, а начальное расстояние r 0 до оси по прямой АВ было равно а. Вычислить силу реакции, дейст- вующую со стороны стержня AB на частицу. 2 2 2 2 sin sin ( ) ( )ch( cos ) cos cos g g r t a t α α ⎡ ⎤ = − ω α + ⎢ ⎥ ω α ω α ⎣ ⎦ 5.27. Найти функцию Лагранжа и составить уравнение движения заря- женной частицы в поле магнитного диполя с моментом μ 3 [ ] [ ], rot e m c r ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ μr r vH H && Задачи повышенной трудности 5.28. Шайба без начальной скорости скатывается с вершины полусферы радиуса R. Движение шайбы считать одномерным. Определить угол отрыва от полусферы. Найти закон ее движения ( в последнем случае считать начальный угол θ 0 не нулевым, хотя и достаточно малым, и оп- ределить соответствующую начальную скорость θ • 0 ). ( ) отрыва 0 0 arcos 2/ 3 ( ) 4arctg[exp( ) tg( / 4)], , где arccos(2/ 3). t kt k g R ⎡ θ = ⎤ ⎢ ⎥ θ = θ = θ < θ < ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 5.29. Однородная цепочка длины l и массы m перекинута через горизон- тальное ребро прямоугольной призмы и может скользить без трения в вертикальной плоскости по наклонным сторонам ее, которые составляют углы α и β с горизонтом. Найти закон движения цепочки, предполагая, что в начальный момент она покоилась, и с левой сто- роны свешивался конец длины, равный х 0 0 sin (sin sin ) sin ( ) ch sin sin sin sin l l x t x t g l ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ β α + β β = − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α + β α + β ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 5.30. Частица с зарядом e и массой m движется в электромагнитном поле. Напряженности E и H электрического и магнитного полей могут быть выражены через скалярный ( , , , ) U x y z t и векторный ( ) x, y,z,t A потенциал при помощи соотношений 1 grad , rot U c t ∂ = − − = ∂ A E H A , Теоретическая физика. Механика (практический курс) 99 где c − скорость света. Показать, что уравнения движения частицы [ ] e m e c = + r E v H && , где v − ее скорость, представляют собой уравне- ния Лагранжа, в которых в качестве функции Лагранжа следует ис- пользовать выражение 2 1 ( ) 2 e mv eU c = − + Av L 5.31. Показать, что если в качестве активных сил, действующих на систему N заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле, рассмат- ривать силы Лоренца, то обобщенные силы Q j , соответствующие обобщенным координатам q j , являются обобщенно-потенциальными силами с обобщенным потенциалом, имеющим вид ( ) 1 1 ( , ) ( , ) N i i i i i e U t t c = ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ r A r v U , где c – скорость света, e i – заряды частиц, r i и v i – их радиус- векторы и скорости, а U и A – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно. 5.32. Частица массы m и заряда e движется в аксиально-симметричном неоднородном магнитном поле вида H( ρ) = H 0 Ф(/a) z e . Составить функцию Лагранжа и найти закон движения частицы в квадратурах для случаев: а) Ф( ρ/a) = ρ/a, б) Ф(ρ/a) = a/ρ, в) Ф(ρ/a) = asin(ρ/a)/ρ. 0 / 2 2 0 / ( / ), ( / ) Ф( ) 2 a a mv e H a L A a A a d c ρ ϕ ϕ ρ ⎡ ⎤ ρϕ ⎢ ⎥ = + ρ ρ = ξ ξ ξ ρ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ & |