Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 4. Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц Минимальные теоретические сведения Проблема двух тел Под проблемой двух тел понимают задачу о движении двух взаимо- действующих частиц в отсутствие внешних сил. Ее решение лежит в осно- ве небесной механики и теории свободного движения спутников, в основе теории столкновения и рассеяния частиц. Уравнения движения частиц с массами m 1 и m 2 , если потенциальная энергия их взаимодействия U(r) зависит только от расстояния между ними r, в инерциальной лабораторной системе координат Oxyz (л-системе) име- ют вид 1 1 21 2 2 12 ( ) ( ) m r m r = ⎧ ⎨ = ⎩ r F r F && && , (4.1) где 21 1 12 2 ( ) ( ), ( ) ( ) r U r r U r = −∇ = −∇ F F 1 . Определяя радиус-вектор центра масс R и относительный радиус-вектор двух частиц r: 1 1 2 2 2 1 ( ) / m m m = + = − R r r r r r , (4.2) где m = m 1 + m 2 , из системы (4.1) находим движение центра масс 0 0 ( ) t t = + R V R , (4.3) 1 Оператор "набла" ∇ используется для вычисления потенциальной силы посредством вектор- ной операции grad и имеет вид ДСК ЦСК 1 i x y z z i i i i i i x y z z ρ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ e e e e e e Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 56 где 0 1 10 2 20 0 1 10 2 20 ( ) / , ( ) / m m m m m m = + = + V v v R r r , а 10 20 10 20 , , , r r v v − на- чальные радиус-векторы и скорости соответствующих частиц, и получаем уравнение движения для фиктивной μ -частицы 12 ( ). r μ = r F && (4.4) Величину 1 2 / m m m μ = называют приведенной массой системы двух частиц, а уравнение (4.4) описывает движение μ-частицы в центрально-симмет- ричном поле с потенциалом U(r). Для интерпретации этого уравнения удобно перейти к новой системе координат O'x'y'z' (ц-системе), центр которой совмещается с центром масс системы, а оси ориентированы параллельно осям л-системы (см. рисунок). Радиус-векторы час- тиц 1 ′ r и 2 ′ r в ц-системе отсчета связаны с радиус- векторами в л-системе соотношениями 1 1 2 2 ′ = + ⎧ ⎨ ′ = + ⎩ r R r r R r , (4.5) используя которые, можно получить для 1 ′ r и 2 ′ r 1 2 1 2 1 2 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) m m m m m m ′ = − = − μ ⎧ ⎨ ′ = = μ ⎩ r r r r r r . (4.6) Поскольку радиус-векторы 1 ′ r и 2 ′ r описывают движение исходных частиц по отношению к ц-системе, можно утверждать, что уравнение (4.4), из ко- торого находится r, тоже характеризует движение реальных частиц по от- ношению к ц-системе, а формально представляет собой уравнение движе- ния фиктивной μ-частицы в заданном центральном поле с центром силы, как бы помещенном в центр масс системы двух частиц. Решению этой за- дачи был посвящен раздел 3. Найдя радиус-вектор μ-частицы r, и, исполь- зуя (4.3) и (4.5), можно затем найти законы движения реальных частиц от- носительно исходной системы координат 1 2 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) t t m m t t t m m t = − ⎧ ⎨ = + ⎩ r R r r R r . (4.7) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 57 Теория столкновения и рассеяния частиц Если в начальный момент времени две частицы находятся достаточно далеко друг от друга, а их начальные скорости направлены так, что с тече- нием времени происходит сближение частиц, то в результате взаимодейст- вия они могут снова удалиться на достаточно большое расстояние друг от друга, причем их скорости изменятся как по величине, так и по направле- нию. В этом случае говорят, что произошло рассеяние частиц. Рассеяние частиц зависит от характера взаимодействия между частицами, поэтому изучение таких процессов играет большую роль в физике. В задаче о рассеянии считаются известными массы частиц и потенци- альная энергия их взаимодействия как функция расстояния между ними, а взаимодействие с внешними объектами не принимается во внимание. До рассеяния частицы считаются бесконечно удаленными друг от друга и об- ладающими скоростями, равными 1 1 2 2 ( ) , ( ) , t t t t − − =−∞ =−∞ = = v v v v где 1 ( ) t v и 2 ( ) t v − скорости обеих частиц в момент времени t. Помимо скоростей 1 − v и 2 − v , также считается известным так называемое прицельное расстояние ρ, т.е. минимальное расстояние, на котором частицы пролете- ли бы друг от друга, если бы не взаимодействовали между собой. Скорость центра инерции 1 1 2 2 ( ) / m m m − − = = + V R v v & (4.8) является интегралом движения и сохраняется во времени, а скорость μ- частицы в момент времени t = −∞ 2 1 2 1 − − − − − = − = − v v v r r & & (4.9) определяется через скорости рассеивающихся частиц. μ−частица двигает- ся в одной плоскости, ориентация которой по отношению к ц-системе в теории рассеяния считается заданной. По известным данным, 1 v − , 2 v − , U(r), углу ε , задающему ориентацию плоскости движения μ-частицы, прицель- ному расстоянию ρ , в задаче о рассеянии требуется определить скорости обеих частиц после рассеяния, т.е. скорости частиц при t = +∞ Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 58 1 1 2 2 ( ) , ( ) t t t t + + =+∞ =+∞ = = v v v v В случае упругого рассеяния, после которого внутренняя энергия частиц остается неизменной и скорость μ -частицы по величине также не меняет- ся, т.е. v v + − = , общее решение задачи можно получить сразу, используя выражения радиус-векторов частиц через радиус-вектор μ -частицы (4.6), а также факт сохранения скорости центра масс (4.8) V + = V − = V . Дифферен- цируя (4.6) по времени, будем иметь 1 2 2 1 ( / ) ( / ) m m m m ′ = − ⎧ ⎨ ′ = ⎩ v v v v . (4.10) Аналогичным образом, дифференцируя (4.7), найдем 1 2 2 1 ( / ) ( / ) m m m m = − ⎧ ⎨ = + ⎩ v V v v V v Устремляя в этих соотношениях t → +∞, получаем 1 2 2 2 1 1 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) m m m m v m m m m v + + − θ + + − θ ⎧ = − = − ⎪ ⎨ = + = + ⎪⎩ v V v V e v V v V e , (4.11) где θ e − единичный вектор, направленный по вектору + v . Его направление удобнее всего определить по отношению к направлению вектора − v , тогда он непосредственно будет характеризовать отклонение при рассеянии ско- ростей первой и второй частиц от их первоначальных направлений в ц- системе. Этот же вектор характеризует отклонение при рассеянии на цен- тре масс скорости μ -частицы от ее начального направления. Угол θ между векторами + v и − v , называемый углом рассеяния в ц- системе, очень просто связан с угловыми характери- стиками траектории μ-частицы, а именно: 2 , θ π ϕ = − (4.12) где угол ϕ есть угол между асимптотой траектории и минимальным радиус-вектором μ-частицы min r . Ве- личину этого угла мы можем вычислить, воспользовавшись выражением Теоретическая физика. Механика (практический курс) 59 min 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) r dr r U r v r ∞ − ρ ϕ = ρ − − μ ∫ , (4.13) где min r , определяющий точку поворота, является корнем уравнения 2 2 2 2 ( ) 1 0 ( ) U r v r − ρ − − = μ . (4.14) Вследствие того, что решение (4.11) получено лишь на основе законов сохранения полной энергии системы и ее импульса, скорости частиц по- сле рассеяния 1 + v и 2 + v являются одними и теми же функциями скоростей до рассеяния 1 − v , 2 − v , углов ε и θ при любом центральном взаимодействии частиц. С другой стороны, 1 + v и 2 + v как функции скоростей 1 − v , 2 − v , угла ε и прицельного расстояния ρ будут различными для разных взаимодейст- вий, так как зависимость θ от ρ и v − определяется конкретным видом по- тенциальной энергии U(r). Только в одном случае угол θ имеет определенное значение при лю- бой потенциальной энергии взаимодействия. Это случай "лобового удара", когда 0, 0, ρ ϕ θ π = = = и, следовательно, вектор θ e направлен противоположно вектору v − . В та- ком случае его можно записать в виде / . v − − θ = − e v Это выражение для θ e вместе с решением (4.11) позволяет получить очень простые формулы для скоростей частиц после "лобового удара" (см. ниже задачу 4.4). Если рассматриваемые частицы не являются точечными по величи- не, а обладают некоторыми конечными размерами, то удар частиц друг о друга может произойти и при прицельном расстоянии не равном нулю. Конечно, в таком случае удар не обязательно будет "лобовым". В теории удара "лобовой удар" классифицируется как "центральный и прямой" и Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 60 определяется как такой удар, при котором точка соприкосновения соуда- ряющихся тел и скорости их центров масс лежат на линии центров масс. Если хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел до удара не лежит на линии центров масс, то удар называют "косым". В теории рас- сеяния о случаях удара тел говорят как о столкновении частиц, и столкно- вение частиц рассматривается как общий случай рассеяния частиц. Рассмотрение общего случая, когда 0 ρ ≠ , становится более нагляд- ным, если применить графическое изображение решения (4.11), т.е. вос- пользоваться, так называемой, диаграммой скоростей. Построение и ис- пользование диаграммы скоростей показано ниже на конкретном примере при решении Задачи 2 На практике приходится иметь дело не с одним актом рассеяния, ко- торый рассмотрен выше, а с множеством таких актов. Для характеристики процесса рассеяния одного пучка частиц на другом вводят величину, назы- ваемую дифференциальным эффективным поперечным сечением рассея- ния d σ, определяя его как отношение числа μ-частиц, рассеиваемых за единицу времени в интервал углов θ и θ + dθ, к числу μ -частиц, проле- тающих за единицу времени через единичную площадку поперечного се- чения пучка μ-частиц до рассеяния. Величину dσ можно выразить в виде функции прицельного расстояния ρ d σ = 2πρdρ. (4.15) Если далее, используя уравнения (4.12) −(4.14), найти прицельное расстоя- ние в зависимости от θ и v − ( , ), v − ρ = ρ θ то можно определить дифференциальное эффективное поперечное сечение рассеяния обоих пучков как функцию угла рассеяния в ц-системе 2 d d d d ρ σ = πρ θ θ (4.16) Вместо выражения (4.16) часто используют d σ , отнесенное не к эле- менту плоского угла d θ , а к элементу телесного угла dΩ : Теоретическая физика. Механика (практический курс) 61 sin d d d d ρ ρ σ = Ω θ θ (4.17) Экспериментальные исследования процессов рассеяния сводятся к измерению потока частиц до рассеяния и количества частиц, рассеиваю- щихся под разными углами. Тем самым находят сечения рассеяния в лабо- раторной системе координат. Теоретически эти величины можно найти, вычисляя ( ) d σ θ в ц-системе, а затем, определяя функции 1 ( ) θ θ и 2 ( ) θ θ из диаграммы скоростей, основанной на решении (4.11). Дифференциальные эффективные сечения рассеяния частиц первого и второго пучков в лабо- раторной системе можно далее получить как результат подстановки: 1 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) , ( ) d d d d θ=θ θ θ=θ θ σ = σ θ σ = σ θ Примеры решения задач Задача 1 . Две материальные точки массы m 1 и m 2 взаимодействуют по за- кону всемирного тяготения. Найти величины началь- ных скоростей точек, при которых расстояние r 0 меж- ду ними во время движения не будет меняться. Решение. В соответствии с (4.2) расстояние между точками есть модуль радиус-вектора μ -частицы, и по- этому μ-частица будет двигаться по круговой траек- тории. Также, согласно (4.6), будут двигаться и обе материальные точки в системе центра масс, причем они и μ-частица все время будут находиться на одной прямой, как показано на рисунке. Эксцентриситет круговой тра- ектории μ-частицы, обладающей отрицательной полной энергией, в соот- ветствии с результатами раздела 3 (см. формулу (3.6 б)), можно записать в виде 2 2 0 1 (2 / ), M E ε = = − μα (4.18) где Е − есть полная энергия μ-частицы, М − величина ее момента количе- ства движения, μ − приведенная масса и α − константа взаимодействия в Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 62 потенциале / , U r α = − которая в данном случае гравитационного взаимо- действия равна 1 2 m m γ Из (4.18) для полной энергии Е находим 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 ( / 2 ) ( / 2( ) ). E M m m m m M = − μα = − γ + (4.19) С другой стороны, полная энергия μ -частицы является интегралом движения и равна сумме кинетической и потенциальной энергии. В на- чальный момент времени для нее будем иметь 2 1 2 0 1 2 1 2 0 ( / 2( ) ( / ). E m m v m m m m r = + − γ (4.20) Момент количества движения М μ-частицы также интеграл движения и в начальный момент времени для частицы, двигающейся со скоростью 0 v по круговой траектории радиуса 0 r , для него найдем 1 2 0 0 1 2 /( ). M m m r v m m = + (4.21) Приравнивая далее величины (4.19) и (4.20), с учетом (4.21) получаем уравнение [ ] 4 2 2 2 2 0 1 2 0 0 1 2 0 2 ( ) / ( ) / 0 v m m r v m m r − γ + + γ + = для определения начальной скорости μ -частицы. Решая его, находим 0 1 2 0 ( ) / . v m m r = γ + Для начальных скоростей точек в движении, при котором расстояние r 0 между ними во время движения не будет меняться в соответствии с (4.10) получаем 10 2 0 1 2 2 1 2 0 20 1 0 1 2 1 1 2 0 /( ) /( ) /( ) /( ) v m v m m m m m r v m v m m m m m r ⎧ = + = γ + ⎪ ⎨ = + = γ + ⎪⎩ Задача 2 . Частица массы m 1 до рассеяния покоится, а частица массы m 2 в ла- бораторной системе координат движется со скоростью v . Определить вели- чины и направления скоростей обеих частиц в лабораторной системе отсчета после рассеяния как функции угла рассеяния θ в системе центра масс. Решение . Поскольку скорость первой частицы до рассеяния 1 0, − = v а ско- рость второй частицы 2 , − = v v то, согласно (4.9), μ-частица до рассеяния Теоретическая физика. Механика (практический курс) 63 двигается со скоростью 2 1 − − − = − = v v v v Для скорости центра масс будем иметь 1 1 2 2 2 ( ) / / m m m m m − − = + = V v v v . (4.22) Для скоростей первой и второй частиц до рассеяния в ц -системе найдем 1 2 2 1 / , / m m m m − − ′ ′ = − = v v v v . (4.23) После рассеяния частиц их скорости в ц -системе повернутся на угол θ и приобретут вид 1 2 2 1 ( / ) , ( / ) m v m m v m + + θ θ ′ ′ = − = v e v e . (4.24) С учетом (4.22) и в соответствии с (4.11) скорости обеих частиц после рас- сеяния в лабораторной системе координат будут определяться выражениями 1 2 2 2 2 1 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) m m m m v m m m m v + θ + θ = − = + v v e v v e . (4.25) Умножая эти векторы скалярно сами на себя и извлекая из скалярных про- изведений квадратные корни, получим величины скоростей обеих частиц после рассеяния 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( / ) 2 2cos 2( / )sin( / 2) ( / ) 2 cos v m v m m v m v v m m m m m + + = − θ = θ = + + θ . (4.26) Для нахождения направлений скоростей обеих частиц после рассея- ния воспользуемся диаграммой скоростей . Для ее построения (см. рису- нок) выбираем некоторое направление, скажем горизонтальное, и вдоль него от некоторой точки О в направлении направо откладываем вектор скорости второй частицы до рассеяния в ц -сис- теме, в соответствии с (4.23) равный 2 1 / m m − ′ = v v . Затем вдоль этой же прямой в противоположном направлении от той же точ- ки О проводим вектор скорости первой части- цы до рассеяния в ц -системе, в соответствии с (4.23) равный 1 2 / m m − ′ = − v v . Эти векторы всегда противоположно направ- лены, поскольку они выражаются через один и тот же вектор v скорости Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 64 μ-частицы c различными скалярными коэффициентами противоположны- ми по знаку. В процессе рассеяния вектор 2 − ′ v поворачивается на угол рас- сеяния в ц -системе, не изменяясь по величине, и превращается в вектор 2 + ′ v , поэтому изображаем его повернутым на угол θ , скажем против часо- вой стрелки. Точно так же ведет себя и вектор 1 − ′ v , превращаясь в вектор 1 + ′ v , оба вектора 2 + ′ v и 1 + ′ v , после рассеяния находятся на одной прямой. На рисунке мы изобразили векторы второй частицы большими по величине, допустив, что масса m 1 > m 2 . Эта четверка векторов представляет собой диаграмму скоростей в ц -системе. Для того чтобы построить полную диа- грамму скоростей, к ней необходимо присоединить вектор скорости центра масс. Чтобы иметь возможность получить векторы скоростей частиц в л -системе, вектор скорости центра масс следует провести так, чтобы он оканчивался в той точке, в которой начинаются все уже построенные че- тыре вектора. Характер получаемой диаграммы будет зависеть от распо- ложения вектора скорости центра масс. Если этот вектор не будет нахо- диться в плоскости диаграммы ц -системы, то результирующая диаграмма будет иметь пространственный вид, если же он окажется в той же плоско- сти, то диаграмма будет плоской. В нашем случае вектор скорости центра масс, равный согласно (4.22) 2 / m m = V v , не только находится в плоскости ц -диаграммы, так он еще и направлен по вектору 2 − ′ v , а по величине в точ- ности совпадает с вектором 1 − ′ v . Диаграмма, таким образом, оказывается плоской, а вектор скорости центра масс мы должны провести так, чтобы он начинался в той же точке, в которой кончается вектор 1 − ′ v , а оканчивался в точке О. Теперь для получения векторов скоростей в л -системе складываем вектор скорости центра масс с векторами скоростей частиц в ц -системе. В ча- стности, добавляя к вектору V вектор 1 − ′ v , получаем вектор скорости первой частицы в л -системе 1 − v , который, как и дано в условии задачи, оказывается равным нулю. Далее, складывая векторы V и 2 − ′ v , получаем вектор скорости второй частицы в л -системе 2 − v , который направлен направо по горизон- тальной прямой. Он начинается в точке А, а конец его совпадает с концом Теоретическая физика. Механика (практический курс) 65 вектора 2 − ′ v . Сложение векторов V и 1 + ′ v дает вектор 1 + v , а при сложении век- торов V и 2 + ′ v находим вектор 2 + v . Угол 1 θ между векторами 1 + v и 1 − v по оп- ределению является углом рассеяния первой частицы в лабораторной сис- теме координат , но вектор 1 − v = 0, поэтому в данной ситуации угол 1 θ приходится определять как угол между векторами 1 + v и 2 − v . Аналогичным образом, угол 2 θ между векторами 2 + v и 2 − v определяет угол рассеяния второй частицы в л-системе . Для нахождения угла 1 θ рассмотрим ΔAOB, который, в силу равенства сторон OA и OB, является равнобедренным и угол в его вершине равен θ . Тогда из условия 1 2 θ + θ = π находим 1 ( ) / 2 θ = π − θ . (4.27) Для определения угла 2 θ строим прямоугольный ΔACD, в котором нам известна гипотенуза AC = 2 v + и, кроме того, мы можем, воспользовав- шись ΔCOD, найти в нем катет CD = 2 v − ′ sinθ . Тогда, используя соотноше- ния (4.23) и (4.26), для sin 2 θ будем иметь 2 2 2 1 1 2 1 2 sin sin / 2 cos m m m m m θ = θ + + θ . (4.28) Можно, однако, в ΔACD вычислить второй катет 1 2 AD cos v v − − ′ ′ = + θ , и то- гда для 2 tg θ получить более простое выражение 2 2 1 tg sin /(( / ) cos ) m m θ = θ + θ . (4.29) В любом случае, соотношения (4.26), (4.27), (4.28) или (4.29) полно- стью решают поставленную задачу, поскольку дают величины и направле- ния векторов скоростей 1 + v и 2 + v как функции угла рассеяния θ в системе центра масс. Задача 3 . Частица с зарядом е и массой m, имеющая на бесконечности скорость v , налетает на такую же частицу, первоначально неподвижную, с прицельным расстоянием ρ . Найти скорости обеих частиц после рассея- ния, предполагая, что частицы взаимодействуют по закону Кулона. Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 66 Решение. Общее решение для скоростей 1 + v и 2 + v можно получить сразу, если воспользоваться результатами решения предыдущей задачи. Доста- точно лишь в выражения (4.26), (4.29) подставить условие равенства масс частиц: m 1 = m 2 = m. Имеем тогда 1 1 2 2 sin( / 2), ( ) / 2, cos( / 2), tg tg( / 2) v v v v + + = θ θ = π − θ = θ θ = θ . (4.30) Из этих уравнений видим, что частицы после рассеяния двигаются под прямым углом друг к другу. Для нахождения связи между углом θ и при- цельным расстоянием ρ вычислим интеграл, определяющий угол ϕ, под- ставив в (4.13) потенциал кулоновского взаимодействия U(r) = e 2 /r и учи- тывая, что приведенная масса μ для двух частиц одинаковой массы m рав- на m/2. Имеем min 2 2 2 2 2 4 1 r dr r e mrv r ∞ ρ ϕ = ρ − − ∫ Вводя новую переменную 2 2 2e r m v ρ η = + ρ , для радикала найдем 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 4 1 1 e e mrv r m v ρ − − = + − η ρ Дифференциал – 2 d dr r ρ η = − Еще раз меняя переменную 4 2 2 4 / 1 (4 / ) e m v ε = η + ρ , интеграл сведем к виду min 2 1 r d ∞ ε ϕ = − − ε ∫ Интегри- руя, находим min 2 2 4 2 2 4 2 arccos 4 1 r e r m v e m v ∞ ρ + ρ ϕ = + ρ . Если значение угла ϕ при r = r min принять за начало отсчета угла ϕ и положить его равным нулю, то будем Теоретическая физика. Механика (практический курс) 67 иметь 2 2 2 2 2 2 / arccos 1 (2 / ) e m v e m v ρ ϕ = + ρ Беря косинус от обеих частей этого ра- венства, получаем 2 2 2 2 2 2 / cos 1 (2 / ) e m v e m v ρ ϕ = + ρ . (4.31) Вспоминая выражение (4.12), находим / 2 / 2 ϕ = π − θ и, следовательно, cos sin( / 2) ϕ = θ . Далее с использованием (4.31) получаем интересующее нас соотношение между прицельным расстоянием и углом рассеяния в ц-системе 2 2 2 2 2 2 2 sin ( / 2)[1 (2 / ) ] (2 / ) e m v e m v θ + ρ = ρ . Вводя кинетическую энергию двигающейся частицы 2 / 2, E mv = этому соотношению можно придать очень компактный вид 2 tg( / 2) / e E θ = ρ Наконец, пользуясь найденными выше выражениями (4.30), для углов рассеяния в лабораторной системе, получим 2 2 2 1 tg tg( / 2) / , tg ctg( / 2) / . e E E e θ = θ = ρ θ = θ = ρ Эти формулы вместе с выражениями (4.30) для величин скоростей 1 v + и 2 v + полностью решают поставленную задачу. Задачи Обязательные задачи 4.1. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в одно- родном электрическом поле с напряженностью E сводится к задаче о движении центра масс и о движении μ-частицы в заданном поле. 4.2. Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц определяется выражением 2 2 1 2 1 ( ) ( / 2)( ) U c l − = − − r r r r . Предполагая, что части- цы все время находятся на расстоянии а друг от друга, найти вели- чины скоростей частиц в системе центра масс. Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 68 4.3. Две частицы с массами m 1 и m 2 , взаимодействующие по закону все- мирного тяготения, совершают финитное движение. Показать, что минимальное и максимальное расстояние x между ними являются корнями квадратного уравнения 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) / 2 0, Ex m m x m m M m m + γ − + = где Е и М − величины энергии и момента импульса системы соот- ветственно, а γ − гравитационная постоянная. Из указанного урав- нения найти условие, при котором реализуются круговые орбиты. 2 3 3 2 1 2 1 2 2 ( ) 0 m m M E m m ⎡ ⎤ γ + + = ⎣ ⎦ 4.4. Найти скорости после упругого "лобового удара" двух одинаковых частиц, двигающихся навстречу друг другу со скоростями 1 v и 2 v 4.5. Определить отношение масс m 1 и m 2 двух частиц в следующих слу- чаях: а) первая частица находится в покое; происходит упругий "лобовой удар", после которого вторая частица остается в покое; б) частицы встречаются с равными по величине и противополож- ными по направлению скоростями; после "лобового удара" вторая частица остается в покое. 4.6. Две частицы с массами m 1 и m 2 двигаются в одном и том же направ- лении. Каковы должны быть их скорости 1 v и 2 v , чтобы после столкновения догоняющая частица с массой m 1 остановилась, а вто- рая частица получила бы заданную скорость u 2 ? Столкновение час- тиц считать упругим. 4.7. Три абсолютно упругих шара с массами m 1 , m 2 , m 3 покоятся в глад- ком горизонтальном желобе на некотором расстоянии друг от дру- га. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, уда- ряет по второму шару, который, начав двигаться, в свою очередь, ударяет по третьему шару. При какой величине массы m 2 второго шара третий шар получит наибольшую скорость? 2 1 3 m m m ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ Теоретическая физика. Механика (практический курс) 69 4.8. Частица массы m 1 , двигающаяся со скоростью v 1 , рассеивается на покоящейся частице массы m 2 = 3m 1 . После рассеяния частица с массой m 2 двигается под углом π/4 к первоначальному направлению движения частицы с массой m 1 . Найти угол рассеяния 1-ой частицы θ 1 и величины скоростей обеих частиц после рассеяния. 4.9. Шарик, обладающий скоростью v, испытывает абсолютно упругий удар о плоскость, двигающуюся со скоростью u. Найти скорость шарика после удара. 4.10. Покажите, что угол рассеяния θ 1 , первоначально покоящейся рас- сеивающей частицы относительно направления скорости такой же рассеивающейся частицы имеет следующее простое выражение 1 ( ) / 2 θ = π − θ , где θ − угол рассеяния в системе центра масс. 4.11. Выразить скорости обеих частиц после рассеяния движущейся час- тицы с массой m 2 на неподвижной частице с массой m 1 через их уг- лы рассеяния в лабораторной системе координат. 4.12. Определить интервал значений, который может иметь угол между направлениями скоростей после рассеяния движущейся частицы с массой m 2 на первоначально покоящейся частице с массой m 1 [ ] 2 1 2 1 2 1 0 / 2 ( ), / 2 ( ), / 2 ( ) m m m m m m ≤ β < π > β = π = π < β ≤ π < 4.13. Частица массы m 1 , двигающаяся со скоростью v 1 , рассеивается на покоящейся частице массы m 2 . Определить угол рассеяния в систе- ме центра масс, при котором покоящаяся частица получит всю ки- нетическую энергию двигающейся частицы. 4.14. Частица массы m 1 , двигающаяся со скоростью v 1 , налетает на по- коящуюся частицу массы m 2 и рассеивается на угол θ 1 . Найти угол рассеяния θ в системе центра масс, переданную часть кинетической энергии и отношение масс, при котором передаваемая энергия бу- дет максимальной. 4.15. Частицы с массами m 1 и m 2 движутся навстречу друг другу со ско- ростями, равными по величине и противоположными по направле- Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц 70 нию ( 1 2 0 + = v v ). Определить скорости обеих частиц после рассея- ния в лабораторной системе координат как функции угла рассеяния в системе центра масс. 2 2 1/ 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1/ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 [4 ( ) 4 ( )cos ] /( ), [4 ( ) 4 ( )cos ] /( ), tg sin /[( ) / 2 cos ], tg sin /[( ) / 2 cos ] v v m m m m m m m m v v m m m m m m m m m m m m m m + − + − ⎡ ⎤ = + − − − θ + ⎢ ⎥ = + − − − θ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ θ = θ − + θ ⎢ ⎥ θ = θ − + θ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Задачи средней трудности 4.16. Частица массы М налетает на покоящуюся частицу массы m (m < M) и рассеивается на ней. Найти максимально возможное значение уг- ла рассеяния налетающей частицы. 4.17. Частица массы m 1 , двигающаяся со скоростью v , сталкивается с покоящейся частицей массы m 2 так, что скорость ее образует при ударе угол α с линией, соединяющей центры масс частиц ("косой удар"). Определить скорости u 1 и u 2 каждой из частиц после удара, предполагая удар упругим. 4.18. Частица массы m упруго сталкивается с покоящейся частицей мас- сы М (m < M) и отклоняется от первоначального направления на угол π/2. Под каким углом θ к направлению первоначального дви- жения частицы с массой m полетит более тяжелая "частица отдачи". 4.19. Комета массы m движется в поле тяготения звезды массы М (М >> m), имея невозмущенную скорость (на бесконечности) v и прицельное расстояние ρ . Найти уравнение траектории кометы и определить угол θ, на который отклоняется ее траектория, когда она снова удаляется на бесконечность. 4.20. Для частицы массы m, двигающейся со скоростью v в поле с потен- циалом U(r) = −α /r − β /r 2 , определить зависимость прицельного расстояния ρ от угла рассеяния θ . 2 2 2 2 1 2 2 arccos( ), 1 , 1 ( 2 ), E e l l v m e l ⎡ ⎤ β θ = π − − σ = − = + − β = ρ ⎢ ⎥ σ α ⎣ ⎦ Теоретическая физика. Механика (практический курс) 71 Задачи повышенной трудности 4.21. Две частицы движутся друг относительно друга по круговым орби- там под действием гравитационной силы. Период этого движения равен τ. В некоторый момент времени их движение внезапно пре- кращается, после чего они начинают двигаться навстречу друг к другу. Вычислить промежуток времени T, по истечении которого они столкнутся. 4 2 T τ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 4.22. Найти условие, при котором разделяются задачи о движении центра масс и об относительном движении двух заряженных частиц в од- нородном магнитном поле. [e 1 /m 1 = e 2 /m 2 ] 4.23. Найти эффективное сечение рассеяния частиц массы m сфериче- ской "потенциальной ямой", т.е. полем с потенциалом U = 0 при r > a и U = −U 0 при r < a (см. также задачу 3.7). 4.24. Определить эффективное сечение рассеяния частиц массы m 1 от аб- солютно твердого шарика массы m 2 и радиуса а, предполагая, что потенциал взаимодействия: U = ∞ при r < a и U = 0 при r > a. 4.25. Найти эффективное сечение упругого рассеяния для шариков ра- диуса а и массы m на таких же покоящихся шариках, предполагая, что потенциал их взаимодействия имеет вид: U = ∞ при r < 2a и U = 0 при r > 2a. 4.26. Найти угол рассеяния и эффективное сечение рассеяния частицы массы m с энергией Е в поле U(r) = α /r 2 ( α > 0), предполагая, что скорость частицы до рассеяния была равна v , и она двигалась к си- ловому центру с прицельным расстоянием ρ . 2 2 2 1/ 2 2 2 2 2 ( ) [1 (1 2 / ) ], sin (2 ) d m v d mv − ⎡ ⎤ π α π − θ Ω θ = π − + α ρ σ = ⎢ ⎥ θ θ π − θ ⎣ ⎦ |