Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 5. Уравнения Лагранжа. Минимальные теоретические сведения Если каждая точка материальной системы может занять любое поло- жение в пространстве и иметь любую скорость, то такую систему называ- ют свободной. Если вследствие каких-либо ограничений (условий) точки и тела, составляющие материальную систему, не могут занять произвольно- го положения в пространстве и иметь произвольные скорости, то такая система называется несвободной. Ограничения (условия), которые не позволяют точкам системы зани- мать произвольные положения в пространстве и иметь произвольные ско- рости, называются связями. Аналитически эти ограничения записываются в виде уравнений связей 1 1 2 1 2 ( , ,..., , , ,..., , ) 0, N N f t ≤ r r r r r r & & & (5.1) где r i , i r& − радиус-вектор и скорость i-ой точки, N – полное число точек системы, а t – время. В случае знака равенства в выражении (5.1) связь на- зывается удерживающей; если стоит знак неравенства, то связь называется неудерживающей. Далее речь будет идти только об удерживающих связях 2 Если уравнение удерживающей связи 1 2 1 2 ( , ,..., , , ,..., , ) 0 N N f t = r r r r r r & & & (5.2) содержит явно время t, то связь называется нестационарной или реоном- ной. Если уравнение связи не содержит времени t, т.е. уравнение связи имеет вид 1 Предполагается, что функция f непрерывна и имеет непрерывные производные по всем аргу- ментам. 2 При наличии неудерживающих связей движение системы можно разбить на участки свобод- ного и несвободного движения: несвободного, когда в выражении (5.1) имеется знак равенст- ва, и свободного, когда стоит знак неравенства. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 73 1 2 1 2 ( , ,..., , , ,..., ) 0 N N f = r r r r r r & & & , то связь называется стационарной или склерономной. Связь, накладывающая ограничения только на координаты точек сис- темы, т.е. связь, уравнение которой не содержит скоростей точек 1 2 ( , ,..., , ) 0 N f t = r r r , (5.3) называется геометрической или голономной. Связь же, уравнение которой имеет вид (5.2), называется кинематической или неголономной. Материальная система, на которую наложены только голономные свя- зи, называется голономной, а материальная система с неголономными свя- зями – неголономной. Связи реализуются посредством всякого рода поверхностей, различ- ных тел, стержней, нитей, шарниров и т.д. Силы R i , с которыми тела, осу- ществляющие связи, действуют на точки системы, называются реакциями связей, или пассивными силами. В связи с этим, заданные силы F i , которые действуют на точки свободной системы, называются активными силами. Наличие связей вносит в решение задач по механике две трудности. Первая из них состоит в том, что не все координаты x i , y i , z i несвободной системы являются независимыми друг от друга, так как они теперь связа- ны определенными соотношениями – уравнениями связей; следовательно, не все уравнения движения системы i i i i m = + r F R && (i = 1,2,...,N) (5.4) будут независимы. Здесь m i − масса i-ой точки, F i − полная активная дейст- вующая на нее сила, R i − равнодействующая всех сил реакций. Вторая трудность заключается в том, что силы R i , развиваемые связями, заранее не известны. В сущности, наложить на систему связи − это означает просто указать, что имеются силы, которые непосредственно нам не известны, но они определенным образом влияют на движение системы. Обе отмеченные выше трудности можно преодолеть двумя различны- ми способами. При первом из них вводят виртуальные перемещения точек системы δr i , как приращения, удовлетворяющие уравнениям связей (5.3) в данный фиксированный момент времени, и определяют идеальные связи, Уравнения Лагранжа 74 как связи, суммарная работа сил реакций которых на всех виртуальных пе- ремещениях равна нулю ( ) 1 0 N i i i = δ = ∑ R r При этом удается показать, что силы реакции связей могут быть выражены в виде линейных форм 1 2 1 ( , ,..., , ) s i i N f t α α α= = λ ∑ R r r r ∇ (i = 1,2,...,N) (5.5) относительно градиентов функций 1 2 ( , ,..., , ) N f t α r r r ( α = 1,2,...,s), опреде- ляющих уравнения связей (5.3). Величины λ α называются неопределенны- ми множителями Лагранжа, s – число налагаемых на систему связей. Тогда вместо уравнений движения (5.4) получаем уравнения движения системы с голономными идеальными связями 1 2 1 1 2 ( , ,..., , ) ( 1,2,..., ) ( , ,..., , ) 0 ( 1,2,..., ) s i i i i N N m f t i N f t s α α α= α ⎧ = + λ ∇ = ⎪ ⎨ ⎪ = α = ⎩ ∑ r F r r r r r r && , (5.6) которые называются уравнениями Лагранжа 1-го рода. Эти уравнения на- зываются также уравнениями Лагранжа с реакциями связей, поскольку решение системы (5.6) через соотношения (5.5) автоматически определяет силы реакций связей. Неизвестными величинами в (5.6) являются радиус- векторы всех точек системы r i (t) и неопределенные множители Лагранжа λ α (t), причем число уравнений 3N + s в точности равно числу неизвестных. Следует отметить однако, что практическое использование уравнений (5.6) для систем с большим количеством точек из-за большого числа уравнений весьма затруднено. Если нас не интересуют реакции связей, и требуется найти лишь зако- ны движения точек несвободной системы, то можно пойти по второму пу- ти и получить уравнения, которые в качестве неизвестных величин содер- жали бы только независимые координаты, а неизвестные силы реакций в новых уравнениях не фигурировали бы вообще. Система, состоящая из N материальных точек, будучи свободной от Теоретическая физика. Механика (практический курс) 75 связей, имеет 3N независимых координат, т.е. для описания ее движения необходимо задавать 3N независимых параметров. Число независимых па- раметров n, которые необходимо ввести, чтобы полностью охарактеризо- вать поведение системы, называется числом степеней свободы системы. Таким образом, число степеней свободы системы без наложенных связей равно 3N. Если на систему наложить голономные связи, выражаемые s уравнениями вида (5.3), то с их помощью можно исключить s координат из общего числа 3N и получить лишь 3N −s независимых координат. Таким образом, число степеней свободы системы с s голономными связями будет определяться выражением n = 3N − s. (5.7) В соответствие с этим, вместо декартовых или криволинейных координат можно ввести новые координаты, число которых в точности равно числу степеней свободы системы. Такие координаты q 1 , q 2 , ... , q n называются обобщенными координатами. На обобщенные координаты не следует смотреть как на обычные координаты, имеющие размерность длины. В ка- честве обобщенных координат могут быть взяты любые величины, опре- деляющие положение рассматриваемой системы. Через эти координаты можно выразить радиус-векторы всех точек системы 1 2 3 ( , ,..., , ) i i N s q q q t − = r r (i = 1,2,...,N). (5.8) Если, воспользоваться выражениями (5.8) и в определениях виртуальных перемещений и в условии идеальности связей перейти к вариациям обоб- щенных координат δq j , то тогда динамический принцип Даламбера, или общее уравнение механики, ( ) 1 ( ) 0 N i i i i = − δ = ∑ F p r & 1 (5.9) позволяет получить систему уравнений j j j d T T Q dt q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ & (j = 1,2,...,3N – s), (5.10) 1 Здесь i p& − производная от импульса i – ой точки. Уравнения Лагранжа 76 где T − кинетическая энергия системы, а Q j − обобщенные силы, соответст- вующие обобщенным координатам q j . Производные от обобщенных коор- динат j q& называются обобщенными скоростями. Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа 2-го рода. Они, как и уравнения Ла- гранжа 1-го рода, справедливы для систем с голономными идеальными связями, но в отличие от последних, не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влияние связей на дви- жение механической системы. Число уравнений равно числу степеней сво- боды системы, а неизвестными величинами в них являются обобщенные независимые координаты как функции времени q j (t). Обобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений (5.10), могут быть найдены, по формулам 1 N i j i i j Q q = ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ∑ r F , (5.11) или как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выраже- нии для виртуальной работы 3 1 N s j j j A Q q − = δ = δ ∑ . (5.12) Подобно тому, как обобщенные координаты q j не обязательно должны иметь размерность длины, обобщенные силы Q j не обязательно имеют размерность силы. Однако произведение Q j q j всегда имеет размерность работы. Если заданные силы носят потенциальный характер с потенциальной энергией 1 2 ( , ,..., , ) N U t r r r , то воспользовавшись их определением 1 2 ( , ,..., , ) i i N U t = −∇ F r r r , для обобщенной силы в соответствии с (5.11), будем иметь 1 1 N N i i j i i i i j j j U Q U q q q = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = = − ∇ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ r r F . (5.13) В этом случае уравнения Лагранжа 2-го рода примут вид Теоретическая физика. Механика (практический курс) 77 j j j d T T U dt q q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ & (j = 1,2,...,3N – s). Вводя далее функцию Лагранжа 1 1 2 1 2 ( , ,..., , , ,..., , ) n n L q q q q q q t & & & , как разность кинетической и потенциальной энергий L = T – U, (5.14) и замечая, что потенциальная энергия не зависит от скоростей точек сис- темы, уравнениям Лагранжа 2-го рода можно придать наиболее часто употребляемый вид 0 j j d L L dt q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ & (j = 1,2,...,n). (5.15) В таком виде уравнения Лагранжа 2 можно представить и тогда, когда сис- тема не является потенциальной. Это удается сделать в том случае, когда обобщенные силы Q j можно получить из некоторой функции n n U q q q q q q t & & & 1 2 1 2 ( , ,..., , , ,..., , ) посредством равенства j j j d Q dt q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ U U & . (5.16) В этом случае уравнения (5.10) трансформируются в уравнения (5.15) с функцией Лагранжа L, равной L = T – U . (5.17) Величина 1 2 1 2 ( , ,..., , , ,..., , ) n n q q q q q q t U & & & называется обобщенным потенциа- лом или потенциалом, зависящим от скоростей, а силы, определяемые ра- венством (5.16), называются обобщенно-потенциальными силами. Воз- можность использования такого "потенциала" имеет не только академиче- ский интерес; посредством потенциала такого типа описывают, например, движения заряженной частицы в электромагнитном поле (см. задачи (5.30) и (5.31)). Силы инерции, действующие на частицу в неинерциальной сис- 1 Функцию Лагранжа иногда по аналогии с квантово-механическими операторами называют ла- гранжианом. 2 Ниже, говоря об уравнениях Лагранжа, мы будем иметь в виду уравнения Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа 78 теме отсчета, также являются обобщенно-потенциальными силами (см. ниже задачу 6.60). Если, далее, допустить, что, наряду с обобщенно-потенциальными силами, на систему действуют еще и силы не потенциального характера, скажем диссипативные d i F , то уравнениям Лагранжа можно придать еще один достаточно общий вид d j j j d Q dt q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ L L & (j = 1,2,...,3N – s), (5.18) где обобщенные диссипативные силы d j Q определяются выражением 1 N d d i j i i j Q q = ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ∑ r F Для составления уравнений Лагранжа необходимо знать явный вид кинетической энергии и обобщенного потенциала как функций обобщен- ных координат и обобщенных скоростей. Зависимости от обобщенных ко- ординат для каждой системы имеют свой конкретный вид. Зависимость от обобщенных скоростей общая для всех систем и может быть установлена, если для перехода к обобщенным координатам и скоростям воспользовать- ся преобразованиями (5.8) и выражениями скоростей точек системы 1 n i i i i j j j q q t = ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∑ r r v r& & Для кинетической энергии тогда получим выражение вида (0) (1) (2) T T T T = + + , (5.19) где T (0) , T (1) и T (2) являются однородными формами, соответственно, нуле- вого, первого и второго порядков относительно обобщенных скоростей 2 (0) (1) (2) 1 1 2 2 1 1 , 1 , , N n n i i j j jk j k i j j k T m T a q T a q q t = = = ∂ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ r & & & (5.20) с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат и времени 1 1 , N N i i i i j i jk i i i j j k a m a m q t q q = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ r r r r . (5.21) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 79 Если преобразование (5.8) не содержит времени явно, т.е. если ∂ r i ∂t = 0, что может иметь место при стационарности связей, то формы T (0) и T (1) пре- вращаются в нуль, и кинетическая энергия становится однородной квадра- тичной симметричной формой обобщенных скоростей T = T (2) Исходя из требования независимости обобщенно-потенциальных сил от ускорений точек системы, обобщенный потенциал можно представить в виде U = U (0) + U (1) , (5.22) где форма нулевого порядка U (0) относительно обобщенных скоростей яв- ляется обычной потенциальной энергией системы U U (0) = U, а U (1) – линейная форма обобщенных скоростей U (1) = 1 n j j j U q = ∑ & с коэффициентами U j , зависящими только от времени и координат. Получив функцию Лагранжа, следует иметь в виду, что она нередко может быть упрощена, если воспользоваться неоднозначностью ее опреде- ления. Можно показать (см. задачу (5.10)), что уравнения Лагранжа для двух функций Лагранжа, связанных соотношением 1 2 ( , ,..., , ) n d L L q q q t dt ′ = + Φ , (5.23) где Φ(q 1 ,q 2 ,...,q n ,t) – произвольная функция обобщенных координат и вре- мени, имеют один и тот же вид. Несмотря на то, что уравнения Лагранжа получены для анализа пове- дения несвободных систем, разумеется, они справедливы и для систем, у которых никаких связей нет. В этом случае они представляют собой урав- нения движения свободной системы, поведение которой описывается в произвольных криволинейных координатах. |