Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н

• Название: Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
• Анкор: Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин).pdf
• Дата: 08.05.2017
• Размер: 2.33 Mb.
• Имя файла: Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин).pdf
• Тип: Документы; #7294
• страница: 11 из 19

Раздел 8. Малые колебания механических систем
Основные положения и формулы
Малыми называются колебания, совершающиеся вблизи точки равно- весия данной механической системы
q
(0)
(q
(0)1
, q
(0)2
,…, q
(0)n
). При этом ма- лыми величинами являются не только отклонения обобщенных координат от их значения в точке равновесия x
j
= Δq
j
= q
j
− q
(0)j
, но и соответствующие обобщенные скорости x
•
j
= q
•
j
. Существование указанных малых параметров позволяет разложить по ним исходную функцию Лагранжа L(
q
,
q
•
,t) и полу- чить приближенную функцию Лагранжа L

(
x
,
x
•
,t). Часто в этом разложении можно ограничиться первыми неисчезающими квадратичными слагаемы- ми по величинам x
•
j
и x
j
. В этом случае функция Лагранжа называется ли- неаризованной и порождает соответствующие уравнения Лагранжа: систе- му линейных дифференциальных уравнений. Эти приближенные уравне- ния, как правило, значительно более просты по сравнению с уравнениями, возникающими из исходной функции Лагранжа, они решаются стандарт- ным образом и приводят к гармоническим колебаниям. При этом частоты получающихся линейных колебаний не зависят от их амплитуды.
Иногда для получения удовлетворительного решения квадратичного приближения бывает недостаточно, в этом случае рассматриваются сле- дующие ангармонические члены разложения (кубический ангармонизм,
ангармонизм четвертой степени). Здесь такие случаи разбираться не будут.
В присутствии сил трения (диссипативных сил) возможны затухаю-
щие колебания. При наличии внешней силы, меняющейся во времени,
(возбуждающей силы) возможны вынужденные колебания, резонанс, авто- колебания и другие интересные явления. В отсутствии сил трения и выну- ждающих сил
1
колебания механических систем возможны в областях фи-
1
Консервативные системы: полная энергия сохраняется, и лагранжиан
L(q,q
•
) от времени
t яв- ным образом не зависит.

Малые колебания механических систем
158
нитного движения, и любое колебательное движение имеет периодический характер. Важными характеристиками такого движения являются собст- венные частоты
ω
α
, число которых для невырожденного случая совпадает с числом степеней свободы механической системы (
α = 1,2,…,n). Вторым набором характерных величин являются нормальные координаты
θ
α
cos
(ω
α
t
+ φ
0
α
) – линейные комбинации исходных смещений x
j
, участ- вующие в колебании только с одной частотой
ω
α
Сначала рассмотрим более простой вариант движения системы с од- ной степенью свободы n
= 1. В этом случае колебательное движение опи- сывается только одной собственной частотой
ω.
Линейные колебания в отсутствии диссипативных и вынуждающих сил
Алгоритм решения задач при n
= 1 1.
Составление исходной функции Лагранжа
механической системы:
L(q,q
•
)
= T(q,q
•
)
− U(q) = T
(2)
(q,q
•
)
+ T
(1)
(q,q
•
)
+ T
(0)
(q)
− U(q), где верхний индекс d у слагаемых кинетической энергии показывает степень обобщенной скорости q
•
, входящей в T
(d)
(q,q
•
) (см. (5.19)–(5.21)):
T
(2)
(q,q
•
)
= a(q)q
• 2
/2, T
(1)
(q,q
•
)
=b(q)q
•
, T
(0)
(q)
=T
(0)
(q).
2.
Нахождение точек равновесия
. Для инерциальной системы координат мы должны найти точки минимума потенциальной энергии U(q). Часто требуется провести решение в неинерциальной системе координат (на- пример, вращающейся), в которой точки равновесия определятся мини- мумом эффективной потенциальной энергии U
eff
(q)
= U(q)
−
T
(0)
(q) (см. также (7.9)).В общем случае точки равновесия q
(0)
являются решениями следующего алгебраического уравнения
1
eff eff
( )
0
U
q
dU
q
dq
∂
=
=
∂
. (8.1)
Таких точек равновесия может быть несколько: q
(01)
, q
(02)
, …. Конечно, ес- ли T
(0)
(q) ≡ 0, то вычисления проводятся в исходной инерциальной сис- теме координат. Тогда здесь и ниже нужно положить U
eff
(q)
= U(q).
1
Для функции одной переменной (
n
= 1) частная производная совпадает с обычной производ- ной.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
159 3.
Определение точек
устойчивого
равновесия
в неинерциальной сис- теме координат. Вторая производная от U
eff
(q) должна быть положи- тельна, т.е.
(0 )
2
eff
(0 )
eff
(0 )
2
(
) 0
m
m
m
q q
d U
c
U
q
dq
=
′′
=
=
> (8.2)
Колебания возможны только вблизи точек устойчивого равновесия, по- этому дальнейшее решение проводится по отдельности для каждой из них
q
(0m)
. Для простоты индекс точки равновесия m ниже мы опускаем:
q
(0m)
→ q
0
, а c
(0m)
→ c
0 4.
Линеаризация функции Лагранжа
. Исходную функцию Лагранжа
L(q,q
•
) необходимо разложить в ряд Тейлора по малым скоростям x
•
= q
•
и смещениям от точки устойчивого равновесия x
= q − q
0
. При этом огра- ничиваются квадратичными слагаемыми по этим величинам. Кинетиче- ская энергия с этой точностью
1
превращается в T

eff
T
eff
(q,q
•
)
= T
(2)
(q,q
•
)
+ T
(1)
(q,q
•
) ≈ T

eff
(x,x
•
)
= a
0
x
• 2
/2,
(8.2a) где a
0
≈ a(q
0
) – константа. Потенциальная энергия U
eff
(q) превращается в U

eff
U
eff
(q)
= U(q) − T
(0)
(q) ≈ U

eff
(x)
=
U

eff
(0)
+ c
0
x
2
/2,
(8.2б) постоянное значение U

eff в точке равновесия U

eff
(0) не дает вклада в уравнение Лагранжа (5.23), следовательно,
L

(x,x
•
)
= a
0
x
• 2
/2
− c
0
x
2
/2(a
0
, c
0
– константы).
Таким образом, приближенная функция Лагранжа L

является функцией Лагранжа линейного гармонического осциллятора.
5.
Решение
получающегося линейного дифференциального уравнения
0
d
L
L
dt
x
x
⎛
⎞ ⎛
⎞
∂
∂
−
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠ ⎝
⎠
%
%
&
, или a
0
x
••
+ c
0
x
= 0,
(8.2в) ищем в стандартном виде
2 1
Легко убедиться, что линейные по обобщенной скорости члены разложения
T
(1)
вклада в ли- неаризованное уравнение Лагранжа с указанной точностью не дадут.
2
Взята реальная часть стандартной подстановки
x
=
A
e
i
ωt
, где комплексная амплитуда
A
= Ae
i
φ

Малые колебания механических систем
160
x
= Acos(ωt + φ).
(8.2г)
После подстановки (8.2г) во второе уравнение (8.2в) получаем
−a
0
ω
2
+ c
0
= 0, откуда определяется собственная частота колебаний
ω = ω
0
= c
0
/a
0
(8.2д)
Константы интегрирования: амплитуда колебаний A и начальный сдвиг фазы
φ, могут быть найдены из известных начальных условий.
6.
Проверка и анализ решения
. Рассматривается физический смысл по- лученного решения, проверяются самые простые предельные случаи.
Алгоритм решения задач при n ≥ 2
Обобщим приведенный выше алгоритм (n
= 1) на многомерный слу- чай, когда число степеней свободы механической системы n ≥ 2.
1.
Составление исходной функции Лагранжа
механической системы (см. также (5.20) и (5.21))
L(
q
,
q
•
)
= T(
q
,
q
•
)
− U(
q
)
= T
(2)
(
q
,
q
•
)
+ T
(0)
(
q
)
− U(
q
)
=
(
)
(2)
0
eff
,
1
( , )
( )
( )
( )
( )
2
n
kl
k l
l k
T
U
T
a
q q
U
=
−
−
=
−
∑
q q
q
q
q
q
&
& &
. (8.3)
Для простоты здесьположили T
(1)
(
q
,
q
•
)
= 0. U
eff
(
q
)
= U(
q
)
− T
(0)
(
q
) – по- тенциальная энергия механической системы для неинерциальной сис- темы координат. Для инерциальной системы координат U
eff
(
q
) ≡ U(
q
).
2.
Нахождение положения равновесия
в неинерциальной системе коор- динат. Точки равновесия
q
(0)
(q
(0)1
,q
(0)2
,…,q
(0)n
) являются решениями сле- дующей системы алгебраических уравнений eff eff eff
1 2
0,
0, ... ,
0
n
U
U
U
q
q
q
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
. (8.4)
В общем случае положений равновесия
(q
(01)
,
q
(02)
, …) может быть не- сколько. Дальнейшее решение проводится по отдельности для каждого из найденных положений равновесия
q
(0m)
. Для простоты индекс m ниже опускаем.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
161 3.
Определение положения
устойчивого
равновесия
. Матрица вторых производных eff
′′
U
(7.7), вычисленных в точке равновесия,
(0)
11 12 1
2 21 22 2
eff eff
(0)
1 2
(
)
, где
n
n
kl
k
l
n
n
nn
c
c
c
c
c
c
U
c
q q
c
c
c
=
⎛
⎞
⎜
⎟
∂
⎜
⎟
′′
=
=
⎜
⎟
∂ ∂
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
q q
U
q
(8.5) должна обладать определенными свойствами. Положение равновесия является устойчивым, если любой минор в (8.5) положителен. Доста- точно проверить n таких определителей, например,
11 12 11
eff
(0)
21 22 0,
0,
,
(
)
0
c
c
c
c
c
′′
>
>
>
U
q
K
(8.6)
4.
Линеаризация функции Лагранжа
. Исходную функцию Лагранжа
L(
q
,
q
•
) разлагаем в ряд Тейлора по малым скоростям x
•
j
= q
•
j
и смещениям от положения устойчивого равновесия x
j
= q
j
− q
(0)j
с точностью до квад- ратичных слагаемых. Пренебрегая константой U
eff
(
q
(0)
), имеем
(2)
(0)
,
1
( )
2
n
kl
k l
l k
T
a x x
=
∑
x
%
&
& &
, eff
,
1
( )
2
n
kl k l
l k
U
c x x
=
∑
x
%
. (8.7)
Здесь константа
(0)
(0)
(
)
kl
kl
a
a
=
q
, матричный элемент a
kl
введен в (8.3) (см. также (5.21)), а постоянный элемент c
kl
матрицы eff
′′
U
определен в (8.5).
5.
Решение
получающейся системы линейных дифференциальных урав- нений
{
}
(0)
1 0
0
n
kj
k
kj k
k
j
j
d
L
L
a x
c x
dt
x
x
=
⎛
⎞ ⎛
⎞
∂
∂
−
= ⇒
+
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠ ⎝
⎠
∑
%
%
&&
&
(j
= 1,2,…,n) (8.8) ищется в стандартном виде
x
j
=
A
j
exp(i
ωt) ,
(8.9а) где
A
j
= A
j
e
i
φ
j
– комплексная амплитуда. Напомним, что физический смысл имеет реальная часть (8.9а), т.е.
Re{
A
j
exp(i
ωt)} = A
j
cos(
ωt + ϕ
j
) ,
(8.9б) где
φ
j
– сдвиг фазы. Мы будем искать n вещественных амплитуд A
j

Малые колебания механических систем
162 6.
Собственные частоты.
Подставим (8.9) в (8.8). Решение получающейся системы n однородных линейных алгебраических уравнений
{
}
(0) 2 1
0
n
kj
kj
k
k
a
c
=
−
ω +
=
∑
A
(j
= 1,2,…,n) (8.10) ищется из условия нетривиальности (хотя бы две амплитуды
A
k
отличны от нуля), т.е. обращения в нуль определителя системы (8.10)
{
}
(0) 2
(0) 2 11 11 1
1
(0) 2
(0) 2
(0) 2 1
1
det
0
n
n
kj
kj
n
n
nn
nn
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
−
ω +
−
ω +
−
ω +
=
=
−
ω +
−
ω +
K
K
K
K
K
. (8.11)
Из (8.11) получим уравнение порядка n на
ω
2
, имеющее n корней – квадратов собственных частот рассматриваемой механической систе- мы. Дальнейшее рассмотрение задачи зависит от степени вырождения каждого из корней.
7.
Нормальные координаты.
7а. Невырожденный случай: все n полученных решений уравнения (8.11)
ω
2
α
– различные (
α = 1,2, …,n). Каждый найденный корень ω
2
α
необхо- димо подставить в систему (8.10)
{
}
(0) 2
( )
1 0
n
kj
kj
k
k
a
c
α
α
=
−
ω +
=
∑
A
(j
= 1,2,…,n). (8.12)
Используя любые (n
− 1) уравнений (8.12) и еще одно условие норми-
ровки колебаний (после чего матрица
A
становится унитарной):
( )
2 2
( )
( )
1 1
1
n
n
k
k
k
k
A
α
α
=
=
=
=
∑
∑
A
, (8.13) пренебрегая несущественными фазами, можно найти все значения веще- ственных амплитуд колебаний
Α
(
α)
j
, относящиеся к данной частоте
ω
α
с точностью "до числа"
1
. Перебрав все значения
α (и ω
α
!), найдем ортого-
нальную матрицу амплитуд
A
=
{
Α
(
α)
j
} (нижний индекс – номер строки,
1
Если отказаться от необязательного условия (8.13), то значения амплитуд находятся с точно- стью до произвольной константы.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)
163
верхний – номер столбца). Учитывая (8.9), запишем полное решение для смещения x
j
( )
1
cos(
)
n
j
j
x
A c
t
α
α
α
α
α=
=
ω + φ
∑
(j
= 1,2,…,n). (8.14)
Здесь c
α
и
φ
α
– произвольные константы, которые можно определить из начальных условий. Смысл записи (8.14) можно выразить так: каждая обобщенная координата x
j
участвует одновременно в колебаниях с раз- личными частотами
ω
α
, или, вообще говоря, во всех модах колебаний.
Возникает вопрос: нельзя ли найти такую линейную комбинацию исходных смещений x
j
, которая участвовала бы в колебании только с одной частотой
ω
α
?
Для нахождения таких комбинаций (или
нормальных координат
θ
α
) обратим соотношение (8.14). Введем
нормальные координаты
θ
α
= c
α
cos(
ω
α
t
+ φ
α
) (
α = 1,2,…,n) (8.15) и перепишем (8.14) в векторной форме
1
умножим
1 1
слева на обратим
1
т
−
−
−
−
=
⎯⎯⎯⎯⎯
→
=
⎯⎯⎯⎯
→ =
=