Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
: попробуйте повторить решение при другом выборе обобщен- ной координаты (q = z). Как вы объясните полученные при этом выборе результаты? Задача 3 . Найти общее решение задачи о малых колебаниях частицы мас- сы m, способной двигаться по гладкой внутренней стороне поверхности z = 5x 2 + 3xy + y 2 . Ось z – вертикальна (см. рисунок, внизу на плоскости x0y приведены линии уровня). Решение. Задача имеет две степени сво- боды. Воспользуемся соответствующим алгоритмом и найдем общее решение, т.е. найдем собственные частоты и нормальные координаты этой системы. 1. В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты q 1 = x и q 2 = y, ось z направлена вверх, тогда потенциальная энергия си- лы тяжести запишется как U(z) = mgz = mg(5x 2 + 3xy + y 2 ), а кинетическая энергия как T(x • ,y • ,z • ) = m(x • 2 + y • 2 + z • 2 )/2 = (m/2)[x • 2 + y • 2 + (10xx • + 3x • y + 3xy • + 2yy • ) 2 ]. -1 0 1 -2 -1 0 1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y x z Теоретическая физика. Механика (практический курс) 171 2. Точки равновесия (x (0) , y (0) ) являются решениями следующей системы алгебраических уравнений (10 3 ) 0; (3 2 ) 0 U U mg x y mg x y x y ∂ ∂ = + = = + = ∂ ∂ Решение одно: q (0) = (x (0) , y (0) ) = (0,0). 3. Составляем матрицу вторых производных U" (см. (8.5)–(8.6)) 2 2 2 2 2 2 10 3 3 2 U U mg mg y x x mg mg U U x y y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ U Как мы видим, вторые производные не зависит от x и y. Это произошло из-за того, что исходная потенциальная энергия была квадратичной функцией этих переменных. Тем не менее, проверяем положительность как любого диагонального элемента, так и полного определителя этой матрицы, что очевидно. Следовательно, единственная точка равновесия (0,0) – устойчива. 4. В силу указанной квадратичности потенциальной энергии и нулевых равновесных значений "разложение" потенциальной энергии в ряд по малым смещениям от точки равновесия носит формальный характер, тем не менее запишем 2 2 2 1 1 2 2 , 1 ( , ) ( , ) (0,0) (5 3 ) 2 kl k l l k U x y U x y U c mg = = + χ χ = χ + χ χ + χ ∑ % Здесь для удобства записи мы перешли к индексированным перемен- ным, имеющим смысл отклонения от точки равновесия χ j = q j − q j0 (т.е. в данном случае χ 1 = x, χ 2 = y). Как мы видим, потенциальная энергия в данном случае имеет тот же квадратичный вид, что и исходное выраже- ние. В принципе, при определенном навыке, мы могли бы сразу запи- сать ее "приближенный" вид. Иначе дело обстоит с кинетической энер- гией: в ней присутствуют слагаемые, как квадратичные по малым пере- менным скоростям смещений χ • j , так и малые величины 4-ой степени по Малые колебания механических систем 172 скоростям χ • j и смещениям χ j . Запись (0) (0) ( ) kl kl a a = q в (8.7) соответствует тому, что мы должны подставить в кинетическую энергию x = x 0 и y = y 0 T(x • ,y • ) = (m/2)[x • 2 + y • 2 + (10xx • + 3x • y + 3xy • + 2yy • ) 2 ] ≈ ≈ T = (m/2)[x • 2 + y • 2 + (10x 0 x • + 3x • y 0 + 3x 0 y • + 2y 0 y • ) 2 ] = = T ( χ • 1 , χ • 2 ) = (m/2)(χ • 1 2 + χ • 2 2 ). 5. Уравнения Лагранжа приобретают вид 1 1 2 2 1 2 10 3 0 0 3 2 0 j j g g d L L g g dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ χ + χ + χ = ⎧ ∂ ∂ − = ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ χ + χ + χ = ∂χ ∂χ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ % % && && & 6. После подстановки χ j = A j exp(i ωt) = A j exp(i ωt + ϕ j ) (см. (8.9а) и (8.9б)) приходим к системе однородных алгебраических уравнений для ампли- туд A j 2 1 2 2 1 2 ( 10 ) 3 0 3 ( 2 ) 0 g g g g ⎧ −ω + + = ⎪ ⎨ + −ω + = ⎪⎩ A A A A (8.25) Условие нетривиальности решения ведет к уравнению на собственные частоты ω 2 4 2 2 2 10 3 12 11 0 3 2 g g g g g g −ω + = ω − ω + = −ω + Решениями биквадратного уравнения являются квадраты собственных частот ω 2 1 = 11g и ω 2 2 = g. Переходим к заключительному этапу. 7. Нормальные координаты . Поочередно подставим найденные частоты в систему уравнений на A j (8.25). Из двух уравнений независимым явля- ется только одно. Например, возьмем первое их них и при ω 2 = ω 2 1 = 11g получим связь между A (1) j : A (1) 1 = 3 A (1) 2 (верхний индекс в скобках соот- ветствует номеру собственной частоты и является номером столбца). Для того, чтобы дойти "до числа", наложим еще одно условие нормировки (8.13) | A (1) 1 | 2 + | A (1) 2 | 2 = 1. Отбрасывая несущественный фазовый множи- тель, получаем для вещественных амплитуд A (1) 1 = 1/ 10 и A (1) 2 = 3/ 10. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 173 Повторяем процедуру для второй частоты ω 2 = ω 2 2 = g и получаем матрицу амплитуд (1) (2) 1 1 (1) (2) 2 2 1 3 10 10 3 1 10 10 A A A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A Основываясь на (8.15), введем нормальные коор- динаты θ α ( α = 1, 2 нумерует частоты) и согласно (8.16)–(8.17) определим их следующим образом θ 1 = (χ 1 + 3χ 2 )/ 10; θ 2 = (3χ 1 − χ 2 )/ 10; или, вспоминая начальные обозначения, θ 1 = (x + 3y)/ 10; θ 2 = (3x − y)/ 10. 8. Анализ результатов. На рисунке показаны проекции нормальных ко- лебаний на плоскость x0y, на которой проведены линии уровня – изоли- нии высоты z (см. выше картинку данной поверхности 1 ). Хорошо видна ортогональность нормальных колебаний, что показывает их независи- мость. Видно также, что колебание θ 1 с большей частотой ω 1 = 11g происходит по наиболее крутой части поверхности z = 5x 2 + 3xy + y 2 ; колебанию θ 2 отвечает движение по пологой "долине" с частотой в 11 раз меньше. Замечание: Проверьте полученные результаты для частот, используя со- ображения размерностей. Каково ваше мнение по этому пово- ду? Где источник несоответствия? Задача 4. Определить конечную амплитуду вынужденных колебаний час- тицы массы m после действия вынуждающей силы F(t), меняющейся по закону F = 0 при t < 0; F = F 0 t/T при 0 < t < T; F = F 0 = const при t > T, пред- полагая, что в начальный момент t = 0 частица покоится в положении рав- новесия (х 0 = 0, x • 0 = 0). 1 Здесь эти рисунки нарисованы для большего понимания, при решении задач воспроизведение таких картинок не является обязательным. -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x y θ 2 θ 1 Малые колебания механических систем 174 F F 0 t T 0 Решение. В задачах на вынужденные колеба- ния полагается, что вынуждающая сила дей- ствует вместе с упругой силой F упр = −cx. Час- то этот факт даже не отражается в условии за- дачи. Запишем уравнение движения (8.22) 2 0 ( ) / x x F t m + ω = && , где собственная частота колебаний 2 0 ω = c/m, а график зависимости выну- ждающей силы F(t) приведен на рисунке. Вид правой части уравнения (8.26) меняется в зависимости от t, по- этому решаем это дифференциальное уравнение отдельно для области I (0 < t < T) и для области II (t > T), а полученные решения "сшиваем" на границе t = T. Решение неоднородного уравнения (8.26) для области I запишем в стандартном виде (8.23). Его частное решение x ч.р. = F 0 t/mT 2 0 ω легко нахо- дится, и тогда полное решение после учета условий при t = 0 имеет вид x I (t) = A I cos( ω 0 t + φ I ) + F 0 t/mT 2 0 ω = F 0 ( ω 0 t − sinω 0 t)/mT 3 0 ω , где φ I = π/2. Полное решение (8.26) для области II с учетом своего частного реше- ния x ч.р. = F 0 /m 2 0 ω записывается следующим образом x II (t) = A II cos( ω 0 t + φ II ) + F 0 /m 2 0 ω . Из условия непрерывности х и x • x I (T) = x II (T) → A II cos( ω 0 T + φ II ) = −F 0 sin ω 0 T/mT 3 0 ω , x • I (T) = x • II (T) → A II sin( ω 0 T + φ II ) = −F 0 cos ω 0 T/mT 3 0 ω − F 0 /mT 3 0 ω найдем искомую амплитуду A II , сложив квадраты этих выражений ( ) 2 2 0 0 0 0 3 3 0 0 2 1 cos , 2 sin 2 II II F F T A T A mT mT ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω = − ω = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Отметим, что, если время действия "включения" вынуждающей силы удовлетворяет соотношению T = 2πn/ω 0 (n – целое), то такая сила полно- стью "гасит" исходные гармонические колебания в системе. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 175 Задачи Обязательные задачи 8.1. Найти частоту колебаний частицы с массой m, способной двигаться по горизонтальной прямой AB и прикрепленной к пружине, другой конец которой закреплен в точке C на расстоянии L от прямой. Пружина, имея длину L, натянута с силой F 0 (В качестве обобщенной координаты использовать либо координату x вдоль прямой AB, либо длину пружины l в произвольный момент времени) 8.2. Найти частоту колебаний маятника массы m 2 точка подвеса которо- го (с массой m 1 в ней) способна совершать движение в горизонталь- ном направлении. Проверить случай обычного маятника, когда точка подвеса закреплена. 1 2 1 m m g m l ⎡ ⎤ + ω = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 8.3. Найти частоту малых колебаний частицы массы m в поле U(x) = U 0 cos αx − F 0 x, F 0 = const. 2 2 2 0 0 0 1 U F m U ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ α ⎢ ⎥ ω = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ α ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 8.4. Стержень, образующий угол α с вертикалью, вращает- ся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг верти- кальной оси. По стержню может двигаться без трения тяжелое колечко S массы m. Найти положение равнове- сия колечка и частоту малых колебаний системы. 0 2 2 cos sin g r α ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ Ω α ⎣ ⎦ 8.5. Найти частоту малых колебаний системы, описанной в задаче 5.5. 8.6. Колечко массы m может скользить по гладкому проволочному эл- липсу. Уравнение эллипса в декартовой системе координат x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = 1. Ось z – вертикальна. Найти частоту малых колеба- m 1 l ϕ m 2 S r α Ω O Малые колебания механических систем 176 ний частицы: а) для неподвижного эллипса, б) для эллипса, кото- рый вращается с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси z (см. также задачу 7.35). 2 2 0 0 0 4 4 0 0 2 4 2 2 4 0 ) ; ) , при , , при ( ) gb a б a a b a b ⎡ ⎤ ω = ω = ω = ω − Ω Ω < ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ω − ω ⎢ ⎥ ω = Ω Ω > ω ⎢ ⎥ Ω + − ω ⎣ ⎦ 8.7. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рисунке и называемой паровым регулятором Уатта. Плоская система с шар- нирными соединениями вращается в поле тяжести вокруг вертика- льной оси с постоянной угловой скоростью Ω. Тело массы m 2 может двигаться вдоль вертикальной оси. Верхняя точ- ка O закреплена. Рассмотрите только самый простой слу- чай a = b = l, m 1 = m 2 = m (см. также задачи 5.19 и 8.33). 4 4 2 2 0 0 4 4 0 2 2 2 0 0 2 , при ; 3 2 , при g a ⎡ ⎤ Ω − Ω ω = Ω Ω > Ω = ⎢ ⎥ Ω − Ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ω = Ω − Ω Ω < Ω ⎣ ⎦ 8.8. Решить задачу 8.4, если между колечком и точкой O имеется пру- жина жесткости c с длиной в ненапряженном состоянии l 0 (см. так- же задачу 7.29). 8.9. Найти частоту малых колебаний ω 0 системы, описанной в задаче 5.20. 8.10. Найти частоту малых колебаний системы, описанной в задаче 5.23, если шар с массой m 2 вращается с заданной угловой скоростью ϕ • = Ω = const. 8.11. Предполагая, что в начальный момент t = 0 частица покоится в на- чале координат (х 0 = 0, x • 0 = 0) определить вынужденные колебания частицы под влиянием силы F(t) для случаев: а) F = F 0 = const, б) F = at, в) F = F 0 e −αt , г) F = F 0 e −αt cos βt. В последнем случае при решении удобно писать силу в комплексном ви- де F = F 0 e −αt+iβt O a Ω a b b m 1 m 1 m 2 Теоретическая физика. Механика (практический курс) 177 m m c c 0 0 0 2 2 0 0 ) cos sin ( ) t F в x e t t m −α ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ α = − ω + ω ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ω ω + α ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 8.12. Определить конечную амплитуду колебаний линейного гармониче- ского осциллятора частоты ω 0 после действия вынуждающей силы, меняющейся по закону: а) t < 0, F = 0; 0 < t < T, F = F 0 = const; t > T, F = 0; б) t < 0, F = 0; 0 < t < T, F = F 0 t/T; t > T, F = 0; в) t < 0, F = 0; 0 < t < π/ω 0 , F = F 0 sin ω 0 t; t > π/ω 0 , F = 0, предполагая, что при t = 0, осциллятор покоился в точке с коорди- натой х = 0. 0 2 0 ) F в a m ⎡ ⎤ π = ⎢ ⎥ ω ⎣ ⎦ 8.13. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если функция Лагранжа ее имеет вид L = (x • 2 + y • 2 )/2 − ω 2 0 (x 2 + y 2 )/2 + αxy, где ω 0 и α – константы. ⎣⎢ ⎢⎡ ⎦⎥ ⎥⎤ собственные частоты: ω 2 1 = ω 2 0 − α, ω 2 2 = ω 2 0 + α нормальные координаты: θ 1 = (x + y)/ 2, θ 1 = (x − y)/ 2 8.14. Определить колебания системы, изображенной на рисунке, пружи- ны предполагаются одинаковыми, массы частиц равны m. Движение происходит вдоль вертикальной линии. Выразить функцию Лагранжа через нормальные координаты и соответ- ствующие им скорости. 2 1,2 3 5 = 2 c m ⎡ ⎤ ± ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 8.15. Найти общее решение задачи о малых колебаниях частицы массы m, способной двигаться по гладкой внутренней стороне поверхно- сти (ось z – вертикальна). а) z = x 2 + xy + y 2 , б) z = x 2 + 5xy + 2y 2 , в) z = 4x 2 + xy + 3y 2 , г) z = 3x 2 + 2xy + 2y 2 , д) z = 2x 2 + 4xy + 5y 2 , е) z = 3x 2 + 2xy + 3y 2 , ж) z = x 2 + 2xy + 4y 2 , з) z = x 2 + 2xy + 2y 2 , и) z = 5x 2 + xy + 4y 2 , Малые колебания механических систем 178 к) z = 2x 2 + xy + 3y 2 , л) z = 2x 2 + 2xy + 3y 2 , м) z = 3x 2 + 6xy + 11y 2 Задачи средней трудности 8.16. Предполагая, что потенциал взаимодействия двух атомов с массами m 1 и m 2 в двухатомной молекуле имеет вид U = U 0 {exp[ −2(r − r 0 )/a] − βexp[−(r − r 0 )/a]}, где V, r 0 , β, a – константы, найти частоту колебаний невращающей- ся двухатомной молекулы. 8.17. Решить задачу о малых колебаниях маятника массы m с закреплен- ной точкой подвеса, если вместо нерастяжимого легкого стержня используется невесомая пружина с длиной l 0 в ненапряженном со- стоянии и жесткостью с. 8.18. Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего без трения по го- ризонтальной прямой, и шарика массы m, соединен- ного с ползуном невесомым стержнем длины l, спо- собным вращаться в вертикальной плоскости отно- сительно точки прикрепления стержня O. К ползуну присоединена пружина жесткости c, другой конец которой закреплен неподвижно (см. также задачу 5.15). Определить частоты малых колебаний системы. ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ частоты являются корнями уравнения ω 4 − {c/M + (g/l)(m + M)/M}ω 2 − (c/M)(g/l) = 0 8.19. Показать, что потенциал U = αx 2n порождает линейные колебания с независящей от амплитуды частотой только при n = 1. 8.20. Рассмотреть изменение положений точек равновесия одномерной нелинейной системы с потенциалом U = αx 2 /2 + βx 4 /4 ( β = const > 0) в зависимости от величины управляющего параметра α. 8.21. В предположении х i /R << 1 найти собственные частоты системы двух осцилляторов, потенциальная энергия которой имеет вид ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 1 2 e e e m V x x R x R x R x x ω = − − + + α + β − + + − , где e, R, ω 0 , α, β − константы. M m c ϕ x l O Теоретическая физика. Механика (практический курс) 179 8.22. Определить частоты малых колебаний двойного плоского маятника с массами m 1 и m 2 и длинами нитей l 1 и l 2 (см. задачу 5.11): а) m 1 = m 2 = m, l 1 = l 2 = l; б) m 1 = m 2 = m, l 1 = 2l 2 = 2l; в) m 1 = 2m 2 = 2m, l 1 = l 2 = l; г) m 1 ≠ m 2 , l 1 = l 2 = l; д) m 1 = m 2 = m, l 1 ≠ l 2 ; е) m 1 ≠ m 2 ; l 1 ≠ l 2 8.23. Определить нормальные частоты и координаты системы, состоящей из двух точечных масс m 1 и m 2 , двигающих- ся вдоль горизонтальной прямой, и трех не- весомых пружин с жесткостью c 1 , c 12 и c 2 Решить задачу для самого простого случая m 1 = m 2 = m, c 1 = с 2 = с 12 = с. Как изменится наименьшая частота колебаний сис- темы, если одну из частиц неподвижно закрепить (эффект Релея)? 8.24. Тело массы m, прикрепленное к неподвижной стенке пружиной же- сткости c, совершает движение вдоль горизонтальной направляю- щей 0x под действием силы F x = mΦ(t), испытывая сопротивление −βx • , пропорциональное скорости. Найти движение тела при началь- ных условиях x(0) = x 0 , x • (0) = x • 0 в следующих трех случаях: а) β 2 = 2mc, б) β 2 = 4mc, в) β 2 = 6,25mc. ⎣⎢ ⎢⎡ ⎦⎥ ⎥⎤ ) б x(t) = [x 0 + (x • 0 + αx 0 )t]e −α(t − τ) + ⌡ ⌠ 0 t (t − τ)Φ(τ)e −α(t − τ) d τ, α = c 2m 8.25. Для системы, описанной в предыдущей задаче, x(0) = x • (0) = 0, сту- пенчатое воздействие Φ(t) задано следующим образом: Φ = 0, при t < 0; и Φ = a = const, при t > 0. Найти закон движения x(t) при t > 0 во всех рассмотренных выше случаях (см. пп. а-в в 8.24). ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ) б x(t) = (a/ α 2 )[1 − (1 + αt 0 ) e −α(t − τ) ], α = c 2m 8.26. Показать, что любое финитное движение системы с лагранжианом 2 2 2 4 2 2 2 q L q q q ω ω = − + & представляет собой периодическое движение с периодом 2 π/ω. (При решении перейти к новой переменной z = 1/q) m 1 c 1 c 12 c 2 m 2 Малые колебания механических систем 180 ϕ O C y x 8.27. На линейный осциллятор с трением (собственная частота ω 0 , сила трения F тр = −2λmx • ) действует вынуждающая сила F(t). а) Найти при установившихся колебаниях условия резонанса и среднюю работу A силы F(t) = f 1 cos ωt + f 2 cos 2ωt. б) Найти условия резонанса и среднюю за большой промежуток времени работу < > A силы F(t) = f 1 cos ω 1 t + f 2 cos ω 2 t при установив- шихся колебаниях. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 ) 4 4 f f б A m ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ λ ω ω ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ = + ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ω − ω + λ ω ω − ω + λ ω ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ 8.28. а) Решить задачу о малых колебаниях для системы, описанной в за- даче 7.36. б) Найти частоту малых колебаний для этой же системы в случае ее вращения с постоянной угловой скоростью Ω вокруг вертикальной оси, проходящей через точку A. 8.29. Неоднородный диск радиуса R и массы m, центр инерции которого расположен на расстоянии a от его геометрического центра O, мо- жет катиться без проскальзывания по гори- зонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр инерции, равен J. Найти малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. 0 0 2 cos sin , ( ) mga t t m R a J ⎡ ⎤ ϕ ϕ = ϕ ω + ω ω = ⎢ ⎥ ω − + ⎣ ⎦ & Задачи повышенной трудности 8.30. Два шарика с массами m могут скользить по двум гладким горизон- тальным прямым, образующим угол π/3. Шарики связаны между собой, а также с вершиной угла пружинами жесткости c. Пружины, закрепленные концами в вершине угла, в нерастяженном состоянии Теоретическая физика. Механика (практический курс) 181 O z ϕ α имеют длину l 1 , а пружина, соединяющая шарики – длину l 2 . Найти все точки равновесия и собственные частоты системы. 8.31. Система, состоящая из двух жестко связанных стержней Ox и Oy, образующих угол α = π/3, вращается с постоянной угловой скоро- стью Ω вокруг вертикального стержня Oy. По каж- дому из стержней может двигаться без трения ко- лечко массы m. Колечки притягиваются друг к дру- гу с силой, пропорциональной расстоянию между ними (коэффициент пропорциональности a = 9mΩ 2 /5). Найти малые колебания системы в ок- рестности положения устойчивого равновесия. 2 2 1 2 4 , 4 3 a a m m ⎡ ⎤ ω = ω = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 8.32. Обращенный математический маятник (см. рисунок) массы m и длины l может совершать колебания между преградами, образую- щими с вертикалью Oz малый угол 2 α. Считая удар о преграду аб- солютно упругим, найти приближенное значе- ние периода T колебаний маятника. 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 4 arsh , при 2 arsh , при g l T l g g l g g l T l g g g l ⎡ ⎤ α = ϕ > ϕ ⎢ ⎥ ϕ − ϕ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ α ⎢ ⎥ = ϕ < ϕ ⎢ ⎥ ϕ − ϕ ⎣ ⎦ & & & & 8.33. Найти частоту малых колебаний системы в задаче 8.7 для более сложных случаев: а) a = b = l, m 1 ≠ m 2 ; б) a ≠ b, m 1 = m 2 = m; в) a ≠ b, m 1 ≠ m 2 (общий случай). 8.34. Определить нормальные частоты и координаты системы в задаче 8.23 для более сложных случаев: а) m 1 = m 2 = m, c 1 = с 2 = 2с 12 = 2с; б) m 1 = 3m 2 = 3m, c 1 = с 2 = 2с 12 = 2с; в) m 1 ≠ m 2 , c 12 = с 1 = с 2 = 2с; г) m 1 ≠ m 2 , c 12 ≠ с 1 ≠ с 2 ≠ c 12 O α Ω x y m m Малые колебания механических систем 182 12 N … l ϕ 1 l ϕ 2 m F(t) 8.35. Однородная горизонтальная прямоугольная тонкая пластинка со сторонами а и b опирается своими углами на четыре одинаковые пружины жесткости с. Предполагая, что масса пластины равна М, определить частоты ее свободных колебаний. 8.36. Найти собственные частоты колебаний системы маятников, изо- браженной на рисунке. Массы всех шариков равны m, длины всех стержней – l, и все пружины имеют одну и ту же жесткость, равную с. Допустить, что углы откло- нений стержней от вертикали подчиняются гра- ничному условию φ 0 = φ N + 1 = 0. 2 2 4 sin , 1,2,..., 2( 1) n g c n n N l m N ⎡ ⎤ π ω = − + = ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ 8.37. Найти закон дисперсии системы N частиц массой m, двигающихся вдоль горизонтальной прямой и соединенных ме- жду собой и с неподвижными стенками пружина- ми жесткости c, предполагая, что отклонения частиц от положений равновесия подчиняются граничным условиям x 0 = x N +1 = 0. 2 sin , 1,2,..., 2( 1) n c n n N m N ⎡ ⎤ π ω = = ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ 8.38. Найти закон дисперсии: а) системы 2N частиц с массами m и M, со- единенных пружинами жесткости с; б) системы 2N частиц с массами m, соединенных пружина- ми жесткости c 1 и c 2 , как показано на рисунке. 2 2 2 1,2 4 ) 1 1 sin , ; 1,2,..., 2 1 c n mM а n N mM N m M ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ μ π ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ω = ± − μ = = ⎜ ⎟ μ + + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 8.39. Два одинаковых маятника массы m и длины l соединены пружиной жесткости c (длина пружины в ненапряженном состоянии l 0 ). К одному из них приложена сила F(t) = F 0 sin Ωt, направленная по горизонтали. Ис- следовать зависимость амплитуд линейных коле- баний маятников A i (i = 1,2) от частоты внешней 12 N … 12 2N … … а) б) m m M M c 1 c 1 c 2 c 2 Теоретическая физика. Механика (практический курс) 183 силы Ω (рассмотреть также предельные случаи очень большой и очень малой частоты Ω по сравнению с другими характерными час- тотами задачи). ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 пруж 2 2 2 2 2 2 1 маят пруж 2 маят пруж 2 4 2 ; = ; = A A g c l m ⎡ ⎤ ω − ω = ⎢ ⎥ ω − ω − Ω + Ω ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ω = ω + ω ω = ω ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 8.40. Решить задачу о малых колебаниях системы, описанной в задаче 7.37. 8.41. Собственная частота линейного осциллятора без затухания равна ω 0 . Найти частоту затухающих колебаний этого же осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если за n ко- лебаний его амплитуда уменьшается в k раз. 2 0 ln 1 2 k n ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ω = ω + ⎜ ⎟ π ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 8.42. Однородный диск радиуса R и массы m 1 = m, центр которого соеди- нен с неподвижными стенками двумя одинаковыми пружинами же- сткости c каждая, может без проскальзыва- ния катиться по горизонтальной прямой. К центру диска подвешен математический ма- ятник длины l и массы m 2 = m/2. Считая, что cl = mg, найти малые колебания системы. 2 2 1 2 2 3 , 2 g l g l ⎡ ⎤ ω = ω = ⎣ ⎦ 8.43. Три цилиндрические трубы с радиусами R 0 = 3r, R 1 = 2r, R 2 = r вложены одна в другую, как показано на рисунке. Внеш- няя труба радиуса R 0 неподвижна, про- скальзывание меду трубами отсутствует, а их массы равны соответственно m 1 = 3m, m 2 = m. Найти малые колебания системы около положения устойчи- O O 1 O 2 ϕ 1 ϕ 2 m 1 c m 2 c ϕ Малые колебания механических систем 184 вого равновесия. 2 2 1 2 3 , g r g r ⎡ ⎤ ω = ω = ⎣ ⎦ 8.44. Параметры системы, описанной в задаче 8.18, удовлетворяют усло- виям M = m и 2mg = cl, а к ползуну приложена горизонтальная сила F x (t) = F 0 sin Ωt. а) Найти малые колебания системы б) Определить ненулевую частоту воздействия Ω и начальные зна- чения х 0 , x • 0 , ϕ 0 , ϕ • 0 , при которых ползун во время движения будет неподвижен. Найти закон изменения ϕ(t). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 1,2 2 2 2 4 ) sin sin sin 2 sin 2 sin sin 2 2 ; ; , константы 2 4 i i a x C t C t A g l t l C t C t Al t F l A C m g gl l ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ω + φ + ω + φ + − Ω Ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ϕ = − ω + φ + ω + φ − Ω Ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ω = ± = φ − ⎢ ⎥ − Ω + Ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 8.45. Решить задачу о малых колебаниях механической системы, описан- ной в задаче 5.25 при следующих значениях параметров а) m 1 = m 2 = m 3 = m, c 1 = с 2 = с 3 = с; б) m 1 = m 3 = 2m 2 = 2m, 2c 1 = с 2 = с 3 = 2с; в)Рассмотреть предельные случаи, когда одна из масс обраща- ется в бесконечность, а другие массы равны между собой. 8.46. Определить влияние, оказываемое вращением Земли, на малые ко- лебания маятника (так называемый маятник Фуко). 8.47. Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса R, находящегося на негладкой горизон- тальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения. 2 (9 16) 2 T g R g π π ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ |