Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
Раздел 10. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби. Канонические преобразования Особую ценность гамильтоновому формализму в классической меха- нике придает наличие в ней более широкого (по сравнению, например, с лагранжевым формализмом) класса преобразований, относительно которо- го уравнения Гамильтона ковариантны. Задание преобразований в гамильтоновом формализме означает зада- ние правил, по которым меняются обобщенные переменные (импульсы и координаты). Запишем пока произвольное преобразование от "старых" пе- ременных к "новым": (q,p)→(Q,P). В общем случае, это 2n соотношений 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., , ) ( ,..., , ,..., , ) j j n n j j n n Q Q q q p p t P P q q p p t = ⎧⎪ ⎨ = ⎪⎩ ( j = 1,2,…,n). (10.1) Конечно преобразования (10.1) можно записать и в обратном порядке (Q,P)→(q,p), т.е. в виде выражений "старых" переменных через "новые". Главное – это то, что среди всех преобразований типа (10.1) существует специальный класс так называемых канонических преобразований, ко- торые не только сохраняют вид уравнений движения 1 , но и обладают це- лым рядом других полезных свойств. Канонические преобразования порождаются так называемыми про- изводящими функциями, зависящими от 2n независимых переменных (n "старых" и n "новых") и времени t, причем время выступает в роли пара- метра. Таким образом, всего существует четыре различных типа произво- дящих функций: F 1 (q,Q, t), F 2 (q,P, t), F 3 (p,Q, t), F 4 (p,P, t), 1 При этом уравнения Гамильтона (9.2) не меняют своего вида в новых переменных, хотя сам гамильтониан в новых переменных имеет другой вид H '(Q,P, t) (см. ниже (10.8)). Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 204 зная которые можно получить явные соотношения связи старых и новых переменных типа (10.1), т.е. найти канонические преобразования. Правила, с помощью которых это делается, можно найти из соотно- шений следующего вида ( ) [ ] 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n j j j j j dF t p dq P dQ H t H t dt = ′ = − + − ∑ q Q Q P q p . (10.2) Здесь независимыми являются "старые" и "новые" координаты: { q j } и { Q j } соответственно. Для перехода к другой функции, например, к F 2 (q,P, t), где независимыми являются "старые" координаты {q j } и "новые" импульсы {P j }, подставим в (10.2) соотношение P j dQ j = d(P j Q j ) − Q j dP j (10.2а) и получим ( ) [ ] 2 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) n j j j n j j j j j dF t d F t Q P p dq Q dP H t H t dt = = ⎡ ⎤ = + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ′ = + + − ∑ ∑ q P q Q Q P q p (10.3) Из (10.2) сразу следуют правила, с помощью которых по производя- щей функции первого типа F 1 (q,Q,t) можно восстановить канонические преобразования: F 1 (q,Q,t): p j = ∂F 1 ∂q j , P j = − ∂F 1 ∂Q j . (10.4) Из (10.3) следует F 2 (q,P,t): p j = ∂F 2 ∂q j , Q j = ∂F 2 ∂P j . (10.5) Аналогично можно получить F 3 (p,Q,t): q j = − ∂F 3 ∂p j , P j =− ∂F 3 ∂Q j (10.6) F 4 (p,P,t): q j = − ∂F 4 ∂p j , Q j = ∂F 4 ∂P j . (10.7) Каждая из этих записей (10.4)–(10.7) представляет собой систему 2n алгеб- раических уравнений с 2n неизвестными Q j и P j , разрешая которые можно Теоретическая физика. Механика (практический курс) 205 по известной производящей функции F m (...,…,t) (m = 1÷4) получить соот- ношения типа (10.1). Более того, во всех перечисленных случаях гамиль- тониан в новых переменных H ' записывается следующим образом H '(Q,P,t) = ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ H(q,p,t) + ∂F m ∂t | p = p(Q,P,t) q = q(Q,P,t) (m = 1÷4) (10.8) (см. ниже примеры решения задач). Естественно, если преобразование (10.1): (q,p)→(Q,P) – каноническое, то обратное преобразование (Q,P)→(q,p) – также каноническое. Важным свойством скобок Пуассона является их инвариантность от- носительно канонических преобразований. Пусть f(q, p, t) и g(q, p, t) – некоторые функции "старых" переменных q, p и t. Эти же функции в "новых" переменных запишутся как f(Q,P,t) = f(q(Q,P,t), p(Q,P,t), t) и g(Q,P,t) = g(q(Q,P,t), p(Q,P,t), t) соответ- ственно. Таким образом, если преобразование (q,p) → (Q,P) – канониче- ское, то выполняется равенство {f, g} q,p = {f, g} Q,P . (10.9) Здесь индексы означают, что скобки Пуассона (9.9) слева вычисляются по "старым" переменным q и p, а справа – по "новым" Q и P. Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (10.1) является выполнение следующих равенств, связанных с фундамен- тальными скобками Пуассона {Q j , Q k } q,p = 0, {P j , P k } q,p = 0, {P j , Q k } q,p = δ jk . (10.10) Можно восстановить вид производящей функции, если известны пре- образования типа (10.1) и доказана их каноничность. Для решения этой своеобразной "обратной задачи" нужно проинтегрировать систему уравне- ний с частными производными (10.4)–(10.7). Этим же приемом можно вос- пользоваться и для нахождения производящей функции одного типа F k , если задана производящая функция другого типа F j : сначала по F j находят- ся канонические преобразования (10.1), а затем по ним восстанавливается F k Хотя для решения последней задачи (F j →F k ) более эффективен спо- соб, основанный на соотношениях типа (10.2)–(10.3). Так, например, из Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 206 (10.3) сразу следует, что 2 1 1 ( , , ) 1 2 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) n j j j t n j j j t F t F t Q P F t F t Q P = = = = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ Q Q q P P P q Q q P q Q q Q q P Аналогично можно найти и другие переходы. Например, для перехода от F 1 (q,Q,t) к F 4 (p,P,t) нужно перейти от независимых "старых" и "новых" ко- ординаты ({q j } и {Q j }) к независимым "старым" и "новым" импульсам ({p j } и {P j }), т.е. 4 1 ( , , ) 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n j j j j t j j t F t F t q p Q P = = = = ⎛ ⎞ = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ q q p P Q Q p P p P q Q Примеры решения задач Задача 1. Найти канонические преобразования, порождаемые следующи- ми производящими функциями: а) F 2 (q,P) = ∑ j q j P j ; б) F 2 (q,P) = ∑ j f j (q,t)P j ; в) F 1 (q,Q) = ∑ j q j Q j Решение. а) Воспользуемся соотношениями (10.5), предварительно поме- няв индекс суммирования с j на k, p j = ∂F 2 ∂q j = ∂ ∂q j ∑ k=1 n q k P k = ∑ k=1 s ∂q k ∂q j P k = ∑ k=1 n δ jk P k = P j , аналогично Q j = ∂F 2 ∂P j = ∑ k=1 n q k ∂P k ∂P j = q j Таким образом, это тождественное преобразование: P j = p j , Q j = q j б) Опять поменяем индекс суммирования с j на k, чтобы не возникло пута- ницы при вычислениях, и воспользуемся (10.5) Q j = ∂F 2 ∂P j = ∑ k=1 n f k (q,t) ∂P k ∂P j = f j (q,t); p j = ∂F 2 ∂q j = ∑ k=1 n ∂f k (q,t) ∂q j P k Первое соотношение описывает точечное преобразование координат, от- Теоретическая физика. Механика (практический курс) 207 носительно которого ковариантны уравнения Лагранжа, и это является лишь частным случаем канонических преобразований в гамильтоновом формализме. Это показывает более общий характер последнего. в) Воспользуемся соотношениями (10.4) (опять под знаком суммы j → k) p j = ∂F 1 ∂q j = ∑ k=1 n ∂q k ∂q j Q k = ∑ k=1 n δ jk Q k = Q j , аналогично P j = − ∂F 1 ∂Q j = − ∑ k=1 n q k ∂Q k ∂Q j = − q j Данное преобразование взаимозаменяет обобщенные импульсы и коорди- наты: P j = − q j , Q j = p j . Это показывает, что в гамильтоновом методе деле- ние переменных на импульсы и координаты носит достаточно условный характер. Задача 2. Для гармонического осциллятора найти канонические преобра- зования, порождаемые производящей функцией F 1 = −(m/2)ω 0 q 2 tgQ, и но- вый гамильтониан H '(Q,P). Решение. Воспользуемся соотношениями (10.4) p = ∂F 1 ∂q = − m ω 0 qtgQ, P = − ∂F 1 ∂Q j = mω 0 q 2 /(2cos 2 Q). Отсюда найдем выражения "старых" переменных через "новые" 0 0 2 / cos ; 2 sin q P m Q p m P Q = ω = − ω это нам потребуется для нахождения вида гамильтониана в "новых" пере- менных (10.8). Гамильтониан гармонического осциллятора (см. типичную задачу 1б раздела 9) – H(q,p) = p 2 /2m + mω 2 0 q 2 /2. Подставим найденные преобразования q(Q,P) и p(Q,P) и гамильтониан в (10.8), тогда получим H '(Q,P) = ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ H(q,p,t) + ∂F 1 ∂t | p = p(Q,P,t) q = q(Q,P,t) = ω 0 P. Интересно, что задача о законе движения гармонического осциллятора в новых переменных решается "на пальцах". Новый гамильтониан не зави- сит от времени, следовательно, H = E = const, Q – также циклическая коор- дината, следовательно, P = P 0 = E/ω 0 – интеграл движения, константа. Из уравнений Гамильтона сразу следует, что 0 H Q P ′ ∂ = = ω ∂ & , и Q = ω 0 t + Q 0 , Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 208 где Q 0 определяется начальными условиями, а найденные канонические преобразования дают закон движения в "старых" переменных 2 0 0 0 0 0 2 / cos( ); 2 sin( ) q E m t Q p mE t Q = ω ω + = − ω + Здесь полная энергия E также определена начальными условиями. Задачи Обязательные задачи 10.1. По производящей функции F m найти каноническое преобразование: а)F 1 = ∑ j = 1 n f j (t)q j n Q j m ; б)F 1 = ∑ j = 1 n sin(q j t + Q j ); в)F 1 = ∑ i, j = 1 n a ij q i Q j ; г)F 1 = ∑ j = 1 n [ln(q j t) − t]Q j m д)F 2 = ∑ i, j = 1 n a ij ln(q i t)exp(b j P j ); е)F 2 = ∑ j = 1 n q j lnP j ; ж)F 2 = ∑ i, j = 1 n a ij cos(q i t) sin(P j t); з)F 3 = ∑ j = 1 n tg(Q j t + p j ); и)F 3 = ∑ i, j = 1 n f ij (t)p i Q j ; к)F 3 = ∑ j = 1 n sin(p j t)exp(a j Q j t); л)F 4 = ∑ j = 1 n f j (t)p j n P j m ; м)F 4 = ∑ i, j = 1 n a ij ln(p i t)exp(P j t); н)F 4 = ∑ j = 1 n (p j + P j+1 ) 2 , где P n +1 = P n 10.2. Установить каноничность следующих преобразований а) Q = pe q , P = q + e − q + lnp; б) Q = qe − p + p, P = e p + lnq. 10.3. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией F 1 (q,Q,t) = (m/2)ω(t)q 2 ctgQ и записать уравнения движе- ния для "гармонического осциллятора" с частотой ω(t) в новых пе- ременных Q и P. 2 sin , 2 cos sin 2 , cos 2 2 P q Q p m P Q m Q Q P P Q ⎡ ⎤ = = ω ⎢ ⎥ ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ω ω = ω + = − ⎢ ⎥ ω ω ⎣ ⎦ & & & & 10.4. По производящей функции F 2 ( |