Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
0 под углом ϕ к горизонту в поле силы тяжести. Замечание: Перед решением этой известной школьной задачи с помощью уравнения Гамильтона-Якоби вспомните ее решение "обыч- ным" способом с помощью второго закона Ньютона. Решение. Введем декартовую систему координат. Для описания движения тела достаточно 2 координаты x и y. Ось y направим вертикально вверх, ось x – горизонтально. Начальные условия: x 0 = 0, y 0 = 0, v x0 = v 0 cos ϕ, v y0 = v 0 sin ϕ. Далее действуем по алгоритму. 1. Гамильтониан. Задача имеет две степени свободы: q 1 = x, q 2 = y. Кине- тическая энергия – T = (m/2)(x • 2 + y • 2 ) = T (2) – квадратична по скоростям, потенциальная – U = mgy – имеет обычный вид. Следовательно, функ- ция Лагранжа L(q 1 ,q 2 ,q • 1 ,q • 2 ,t) = L(x,y,x • ,y • ) = T − U = (m/2)( x • 2 + y • 2 ) − mgy. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 217 Обобщенные импульсы (в данном случае они совпадают с обычными!) ; x y L L p mx p my x y ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ & & & & Начальные условия в гамильтоновом формализме при t = t 0 = 0 x = x 0 = 0, y = y 0 = 0; p x = p x0 = mv 0 cos ϕ, p y = p y0 = mv 0 sin ϕ. (10.25) Запишем функцию Гамильтона H(x, y, p x , p y , t) = p x x • + p y y • − L = Т (2) + U = p 2 x /2m + p 2 y /2m + mgy 2. Уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S(x,y,t) 2 2 1 1 0 2 2 S S S mgy m x m y t ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3. Упрощение (интегралы движения). Функция Гамильтона не зависит от времени t и от x. Следовательно, сохраняются обобщенная энергия H (свойство а) и импульс p x (свойство б). Для их определения воспользуемся начальными условиями (10.25) H = p 2 x /2m + p 2 y /2m + mgy = p 2 x0 /2m + p 2 y0 /2m = mv 2 0 /2 = E, (10.26) p x = p x0 = mv 0 cos ϕ = α x . 10.27) Полное действие S(x,y,t) в соответствии со свойствами (10.14) и (10.16) имеет вид S = S (y, α x , E) + α x x −Et, (10.28) а упрощенное уравнение для сокращенного действия S (q 2 ) – 2 2 1 2 2 x S mgy E m m y ⎛ ⎞ α ∂ + + = ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ % . (10.29) 4. Решение уравнения Гамильтона-Якоби. Поскольку S функция только од- ной переменной y, то, заменив частную производную в (10.29) обычной производной dS /dy и разрешив относительно нее уравнение (10.29), имеем 2 2 2 2 x dS mE m gy dy = − − α % Находим решение, в котором опускаем аддитивную константу Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 218 ( ) 3/ 2 2 2 2 2 2 3 x mE m gy S m g − − α = − % . (10.30) Подставляя (10.30) в (10.28), получаем полный интеграл уравнения Га- мильтона-Якоби – функцию, зависящую от 2 координат (x и y), 2 констант ( α x и E) и времени t ( ) 3/ 2 2 2 2 2 2 ( , , , , ) 3 x x x mE m gy S x y E t x Et m g − − α α = − + α − . (10.31) 5. Закон движения – "производная по константе дает константу". Под- ставляем найденный полный интеграл (10.31) в первые из соотношений (10.23) и получаем ( ) 1/ 2 2 2 1 2 1 2 2 x x x mE m gy S S x m g α − − α ∂ ∂ = = + = β ∂α ∂α , (10.32а) ( ) 1/ 2 2 2 2 2 2 2 x mE m gy S S t E mg − − α ∂ ∂ = = − − = β ∂α ∂ . (10.32б) Константы α x = α 1 и E = α 2 определены выше в (10.26), (10.27). Исполь- зуем начальные условия для нахождения β 1 и β 2 , для этого подставим в (10.32) t = t 0 = 0 и применим (10.25) – (10.27) ( ) ( ) 1/ 2 2 2 2 0 0 1 2 1/ 2 2 0 2 2 cos sin sin 2 2 2 sin x x x mE v v g g m g mE v mg g α − α ϕ ϕ ϕ β = = = − α ϕ β = − = − . (10.33) Теперь все константы определены, решаем систему алгебраических уравнений (10.32) относительно неизвестных x и y 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x g gy gx g m g gy gt g α β − + = β β − + = β . (10.34) Из второго уравнения определяем значение 2 2 2 2 g gy β − , которое под- ставляем в первое уравнение, и находим Теоретическая физика. Механика (практический курс) 219 x = β 2 − (α x /m)( β 1 − t) = α x t/m = v 0 tcos ϕ. (10.35) Из второго уравнения (10.34) находим y g 2 β 2 2 − 2gy = g 2 β 2 2 − 2g 2 β 2 t + g 2 t 2 , y = gβ 2 t − gt 2 /2 = v 0 tsin ϕ − gt 2 /2. (10.36) Естественно, что полученный закон движения совпал со "школьными ответом": равномерное движение по горизонтали со скоростью v x = v 0 cos ϕ и равнозамедленное движение по вертикали с начальной скоростью v y = v 0 sin ϕ и ускорением свободного падения g. Исключив из (10.35), (10.36) время t, можно получить известное выражение для тра- ектории – параболу. Задачи Обязательные задачи 10.15. Найти действие одномерного гармонического осциллятора, прохо- дящего через точки х 1 = х(t 1 ) и х 2 = х(t 2 ). 10.16. Записать уравнение Гамильтона-Якоби для механических систем, описываемых функциями Лагранжа (задачи 9.4а-д). Упростить его, использовать при этом все возможные интегралы движения. 10.17. Записать уравнение Гамильтона-Якоби для систем, описываемых данными функциями Гамильтона (задача 9.5а-ж). Упростить его, использовать при этом все возможные интегралы движения. 10.18. Записать уравнения Гамильтона-Якоби для систем, описываемых в задачах а) 9.9; б) 9.10; в) 9.11; г) 9.12. Упростить их, использовав при этом все возможные интегралы движения. 10.19. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для линейного гармониче- ского осциллятора. Найти его полный интеграл и закон движения. 10.20. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби материаль- ной точки массой m, двигающейся в однородном поле тяжести. 3 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) 3 S Et x y m E mgz m g ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − + α + α − − − α − α ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 220 10.21. Составить уравнения Гамильтона-Якоби для механических систем, описанных в задачах: а) Задача 4, решенная в разделе 5 (Уравнения Лагранжа); б) 5.9; в) 5.11; г) 5.12; д) 5.14; е) 5.15; ж) 5.16; з) 5.19; и) 5.23. Упростить их, использовав все возможные интегралы движения. Задачи средней трудности 10.22. Вычислить действие для частицы с массой m и зарядом е, двигаю- щейся в однородном магнитном поле напряженности Н ( ω = eH/mc). 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) ctg ( ) ( ) ( ) 2 2 2 m z z t t S x x y y x y x y t t ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ − ω ω − ⎡ ⎤ = + − + − + ω − ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ 10.23. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для электро- на, двигающегося в постоянном однородном магнитном поле. 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) , x e S Et x z mE Hy dy Hy c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − + α + α + − α − α − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ A e 10.24. Материальная точка массы m движется в поле центральной силы с потенциалом U( ρ) = −α/ρ, где ρ = (x 2 + y 2 ) 1/2 , α > 0. С использовани- ем уравнения Гамильтона-Якоби найти траекторию движения точ- ки. 10.25. Составить уравнения Гамильтона-Якоби для механических систем, описанных в задачах: а) 5.25; б) 5.27; в) 5.30; г) 5.33 д) 9.16. Задачи повышенной трудности 10.26. Какому условию должен удовлетворять потенциал для того, чтобы уравнение Гамильтона-Якоби, описывающее движение частицы с массой m, допускало полное разделение переменных: а) в декартовых координатах, б) в цилиндрических координатах, в) в сферических координатах. 10.27. Найти (в квадратурах) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби за- кон движения системы, гамильтониан которой 2 2 1 1 2 2 2 2 p q H p q + = + Теоретическая физика. Механика (практический курс) 221 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4 1 1 2 1 2 2 2 1 2 sin 2 / , sin 2 / cos 2 / , cos 2 / q t q t p t p t ⎡ ⎤ = α α + β = α β − α α ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = α α + β = α β − α α ⎣ ⎦ 10.28. Найти (в квадратурах) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби за- кон движения системы с гамильтонианом ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 H p p q q ⎡ ⎤ = + + ⎣ ⎦ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 3 2 2 sin , sin sin 2 2 4 cos , cos sin 2 2 4 q t q t t p t p t t ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ α α = α α + β = α + α + β + β ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎣ ⎦ α α ⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫ α α ⎢ ⎥ = α α α + β = α + α + β + β ⎡ ⎤ ⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ α α ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ 10.29. Написать уравнение Гамильтона-Якоби в параболических коорди- натах и показать, что полное разделение переменных будет иметь место, если потенциал U = a( ξ) + b(η) ξ + η , (a(ξ) и b(η) – произвольные функции указанных переменных). Вычислить действие в этом слу- чае. (Переход к параболическим координатам осуществляется по формулам z = (ξ − η)/2, ρ = ξη, ϕ = ϕ, где 0 < ξ,η < ∞). 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) 2 2 4 ( ) , где , , произвольные константы 2 2 4 p mE ma S Et p d p mE mb d E p ϕ ϕ ϕ ϕ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ β − ξ ⎢ ⎥ = − + ϕ + + − ξ + ⎢ ⎥ ξ ⎢ ⎥ ξ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ β − η ⎢ ⎥ + + − η β − ⎢ ⎥ η η ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ Приложение. Минимальные сведения по математике 222 Приложение. Минимальные сведения по математике Приложение. Минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретической механике Векторы и математические действия над ними Вектор – математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Если в n-мерном пространстве задана система координат (СК) (т.е. система n взаимно-перпендикулярных единичных (ортов) e j 1 ), то задание вектора в этом пространстве эквивалентно выбору n чисел, отложенных по осям заданной СК. Математическая запись вектора в трехмерном евклидо- вом пространстве в базисе ортов e j (j ≡ x, y, z) выглядит так А (A x ,A y ,A z ) = A x e x + A y e y + A z e z , (П.1) где A x , A y , A z – компоненты вектора A Длина (модуль или величина) вектора определяется выражением: 2 2 2 x y z A A A A = = + + A . (П.2) Векторная сумма двух векторов А и В ( A + B = C ), соответствующая геометриче- ской сумме направленных отрезков определя- ется правилом параллелограмма или тре- угольника (см. рисунок). Произведение вектора А на скаляр s есть вектор, в | s | раз больший, чем ис- ходный вектор А . Если s > 0, направление нового вектора совпадает с на- правлением А, если s < 0, новый вектор противоположен по направлению 1 В пособии буквы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторы. Если в тексте встреча- ется одна и та же буква, в одном случае выделенная жирным шрифтом, а в другом – курси- вом, то в первом случае буква обозначает вектор, а во втором – его длину. Например, "A" чи- таем "вектор А"; "A"– "длина вектора А". B С А Теоретическая физика. Механика (практический курс) 223 вектору А Вычитание векторов А – В сводится к сложению вектора А и – В А – В = А + (– В ). (П.3) Выражения в прямоугольных декартовых координатах для суммы и разно- сти двух векторов, а также для произведения вектора на число легко полу- чается на основе выражения (П.1). Скалярное произведение ( А В ) (в литературе можно встретить также обо- значения ( A, B ), или ( А ⋅В )) двух векторов А и В с углом γ между ними в результате дает скаляр, определяемый следующим образом ( А В ) = АВ сos( γ ). (П.4) Два вектора взаимно ортогональны (перпендикулярны) друг другу тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Свойства скалярного произведения ( А В ) = (В А ), ( А А ) = А 2 ≥ 0; |( А В )| ≤ АВ ; ( А ( В + С )) = (А В ) + (А С ); (( sА ) В ) = s ( А В ); cos( γ ) = (А В )/( АВ ); Если С = А – В , то С 2 = А 2 + В 2 – 2( А В ) ( теорема косинусов ). Выражение скалярного произведения в прямоугольных декартовых коор- динатах |