Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
x A θ A x A Aθ θ A x A x . (8.16) Здесь учтено, что для ортогональной матрицы обратная матрица совпа- дает с транспонированной или A −1 = A т . Нормальную координату θ α можно записать и в матричной форме ( ) 1 ( 1,2, , ) n j j j A x n α α = θ = α = ∑ K . (8.17) Таким образом, матрица амплитуд, найденная с помощью (8.12)–(8.13), полностью определяет нормальные координаты. 7б. Случай вырождения: среди n полученных решений уравнения (8.11) есть r совпадающих ω 2 α 1 = ω 2 α 2 =…= ω 2 α r . Такие частоты ω α m называют- ся вырожденными, а число r называется кратностью вырождения. Для таких частот описанная выше процедура нахождения нормальных частот не может быть проведена однозначно. Возникает проблема вы- бора решений. Это связано с тем, что при подстановке частот в систе- Малые колебания механических систем 164 му уравнений (8.10) число независимых уравнений определяется раз- ностью n − r, и, следовательно, при r ≥ 2 уравнений (8.12) – (8.13) становится недостаточно для однозначного определения амплитуд A ( α m ) j с точностью до числа. Остается (r − 1) свободных параметров. Для нахождения полного набора решений A ( α m ) j на них дополнительно к условиям нормировки (8.13) обычно налагаются еще и условия ор- тогональности ( ) ( ) 1 0, m l n k k k A A m l α α = = ≠ ∑ . (8.18) 8. Проверка и анализ решения . Рассматривается физический смысл по- лученного решения, проверяются самые простые предельные случаи. Вынужденные и затухающие линейные колебания Кратко рассмотрим колебания системы вблизи положения устойчивого равновесия в присутствии сил трения и вынуждающих сил. Для простоты рассмотрим системы с одной степенью свободы (n = 1). В рамках принятого линейного приближения действующая на систему диссипативная (непотенциальная) сила должна линейно зависеть от обоб- щенной скорости q • . С учетом уравнений (5.18) в линейном приближении по смещениям от точки равновесия x и скоростям смещений x • получим следующее дифференциальное уравнение 2 0 2 0 x x x + μ + ω = && & , (8.19) где 2 0 ω – собственная частота колебаний (см. 8.2a-е), μ – положительная величина, называемая коэффициентом затухания. С помощью стандарт- ной подстановки x = exp(λt) находим решение, которое в случае слабого затухания ( μ < ω 0 ) выглядит следующим образом cos( ) t x ae t −μ = ω + φ , (8.20) где частота затухающих колебаний 2 2 0 ω = ω − μ . (8.21) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 165 Вещественные константы a и φ определяются из начальных условий. Та- ким образом, появление трения в системе не только уменьшает со време- нем амплитуду колебаний, но и сдвигает частоту затухающих колебаний ω в область более низких частот. Рассмотрим вынужденные малые колебания в системе, на которую действует некоторое достаточно слабое переменное внешнее поле. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией c 0 x 2 /2 система обла- дает еще потенциальной энергией U ex (x,t). Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины x, получим U ex (x,t) ≈ U ex (0,t) − xF(t), где ex 0 ( ) x dU F t dx = = − – вынуждающая "сила". Первый член U ex (0,t) в этом разложении является функцией только време- ни и может быть опущен в функции Лагранжа (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Приближенная функция Лагран- жа L системы приобретает вид L (x,x • ,t) = a 0 x • 2 /2 − c 0 x 2 /2 + xF(t). Уравнение движения для вынужденных колебаний в линейном при- ближении тогда записывается в таком виде 2 0 ( ) x x t + ω = Φ && , (8.22) где введены собственная частота колебаний ω 0 и Φ(t) = F(t)/a 0 (см. 8.2а-д). Для решения неоднородного уравнения (8.22) осталось определить только частное решение x ч.р. , поскольку решение соответствующего одно- родного уравнения (8.2в) уже известно (см. 8.2г) x(t) = Acos(ω 0 t + φ) + x ч.р. . (8.23) Для простых зависимостей Φ(t) в большинстве задач, приведенных ниже, поиск x ч.р. не представляет особой сложности. Тем не менее, уравнение (8.22) может быть проинтегрировано и в самом общем случае при помощи подстановки ξ = x • + iω 0 x. Тогда 0 0 0 0 0 ( ) ( ) t i t i t i t e e e d ω ω − ω τ ξ = ξ + Φ τ τ ∫ , (8.24) Малые колебания механических систем 166 h l ϕ x 0 где ξ 0 = x • 0 + iω 0 x 0 определяется начальными условиями, а решение – x(t) = Im(ξ/ω 0 ). Разберем приведенные схемы решения задач на типичных примерах. Примеры решения задач Задача 1 . Частица массы m способна двигаться по гладкой горизонтальной прямой. К частице прикреплена пружина жесткости k, другой конец которой закреплен на расстоянии h от прямой. Длина пружины в ненапряженном состоянии l 0 . Найти частоту малых колебаний частицы. Решение. Предварительно замечаем, что слово "глад- кая" означает "отсутствие сил трения" (см. раздел 6). Обычно сила тяжести направлена вертикально вниз, поэтому слово "гори- зонтальная" означает, что силу тяжести в задаче можно не учитывать. Чис- ло степеней свободы n = 1, воспользуемся приведенным выше алгоритмом. 1. Составление исходной функции Лагранжа . Ось x направим вдоль пря- мой (см. рис.). В качестве обобщенной координаты q можно выбрать либо x, либо длину пружину l, либо угол между пружиной и прямой ϕ, и т.д. Решения во всех случаях должны привести к одинаковым частотам. Вы- берем q = ϕ и найдем лагранжиан частицы L(ϕ,ϕ • ) = T(ϕ,ϕ • ) − U(ϕ). Для удобства запишем кинетическую энергию T сначала в декартовых коор- динатах 1 T(x • ) = mx • 2 /2, а затем преобразуем в T( ϕ,ϕ • ), используя связь x = hctg ϕ, и, следовательно, x • = d(hctg ϕ)/dt = −hϕ • /sin 2 ϕ T( ϕ,ϕ • ) = a(ϕ)ϕ • 2 /2, a( ϕ) = mh 2 /sin 4 ϕ. Потенциальная энергия пружины (упругой силы) зависит от удлинения пружины (l − l 0 ) и равна U(l) = k(l − l 0 ) 2 /2. Используя l = h/sin ϕ, получим U( ϕ) = k(h − l 0 sin ϕ) 2 /(2sin 2 ϕ). 2. Нахождение точек равновесия . Система отсчета одна, она инерциаль- на: слагаемых T (0) ( ϕ) в кинетической энергии нет, поэтому эффективная 1 Запись T в декартовых координатах практически никогда не вызывает затруднений. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 167 потенциальная энергия U eff ( ϕ) ≡ U(ϕ). Точки равновесия ϕ (0) являются решениями следующего алгебраического уравнения 0 2 ( ) cos ( sin ) 0 sin( )(cos 1) dU kh h l d ϕ ϕ − ϕ = = ϕ ϕ ϕ − Получаются три точки равновесия ϕ (01) = π/2, ϕ (02) = arcsin(h/l 0 ), ϕ (03) = π − ϕ (02) Заметим здесь, что две последние точки равновесия (справа и слева от нуля, см. рис.) имеют смысл лишь при h ≤ l 0 (аргумент функции arcsin не может быть больше единицы). 3. Определение точек устойчивого равновесия . Проверяем положи- тельность второй производной от U( ϕ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 2 2cos 1 cos sin sin ( ) (cos 1) h l d U U kh d ϕ + − ϕ ϕ + ϕ ′′ ϕ = = ϕ ϕ − во всех точках равновесия: c 01 = U"(ϕ (01) ) = kh(h − l 0 ) > 0 при h > l 0 ; c 02 = U"(ϕ (02) ) = k(l 0 /h) 2 (l 0 2 − h 2 ) > 0 при l 0 > h; c 03 = U"(ϕ (03) ) = c 02 = U"(ϕ (02) ) > 0 при l 0 > h. Следовательно, точка равновесия ϕ (01) = π/2 является устойчивой при h > l 0 и неустойчивой при l 0 > h, симметричные точки ϕ (02),(03) устойчивы только при l 0 > h. 4. Линеаризация функции Лагранжа . Разлагая кинетическую и потен- циальную энергии в ряд по смещениям от точки равновесия χ = ϕ − ϕ (0) и скоростям χ • = ϕ • и ограничиваясь квадратичными слагаемыми по этим малым величинам, получаем для разных точек равновесия L ( ϕ,ϕ • ) = a 01 ϕ • 2 /2 − c 01 ( ϕ − π/2) 2 /2 = L ( χ,χ • ) = mh 2 χ • 2 /2 − khχ 2 (h − l 0 )/2 при h > l 0 (a 01 = a| ϕ=π/2 ); L ( ϕ,ϕ • ) = a 02 ϕ • 2 /2 − c 02 ( ϕ−arcsin(h/l 0 )) 2 /2 = = L ( χ,χ • ) = ml 0 4 χ • 2 /(2h 2 ) − k(l 0 /h) 2 χ 2 (l 0 2 − h 2 )/2 при h < l 0 (a 01 = a| ϕ=arcsin(h/l 0 ) ). 5. Решение получающихся линейных дифференциальных уравнений Малые колебания механических систем 168 mh 2 χ •• + kh(h − l 0 ) χ = 0, при h > l 0 , m(l 0 4 /h 2 ) χ •• + k(l 0 /h) 2 (l 0 2 −h 2 ) χ = 0, при h < l 0 Стандартная подстановка χ = Acos(ωt + φ) ведет к собственным часто- там ω m и гармоническим решениям ϕ m (t) ω 1 = (c 01 /a 01 ) 1/2 = 0 1 k l m h ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ϕ 1 = Α 1 cos( ω 1 t + φ 1 ) − π/2, при h > l 0 ; ω 2,3 = (c 02 /a 02 ) 1/2 = 2 2 0 1 k h m l ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ϕ 2,3 = Α 2,3 cos( ω 2,3 t + φ 2,3 ) − ϕ (02,03) , при h < l 0 При необходимости, константы интегрирования A m и φ m могут быть найдены из известных начальных условий. 6. Проверка и анализ решения . Таким образом, при h > l 0 колебания возможны только вблизи точки устойчивого равновесия ϕ (01) = π/2. Это согласуется с физическим смыслом, так как при h > l 0 пружинка все время натянута. Если же l 0 > h, пружинка при ϕ = π/2 сжата, то малейшее от- клонение от этой точки равновесия приводит к колебаниям вблизи либо ϕ (02) , либо ϕ (03) , а длина пружинки l будет периодически изменяться отно- сительно своего равновесного значения l 0 Задача 2 . Частица массы m движется по окружности радиуса R, вращаю- щейся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг вертикальной оси, лежа- щей в плоскости окружности и проходящей через ее центр (см. рисунок к задаче 5.18 с учетом ω → Ω). Найти частоту малых колебаний частицы. Решение. Слово "вертикальная" означает, что в задаче необходимо учиты- вать силу тяжести. Число степеней свободы n = 1. Задачи с вращением, как правило, решаются в неинерциальной, вращательной, системе координат. 1. Начало координат расположим в центре окружности, ось z направим вверх вдоль оси вращения. В качестве обобщенной координаты q выберем угол θ между радиус-вектором и осью z. Опять запишем лагранжиан сна- чала в декартовых координатах (x, y, z) неподвижной инерциальной систе- мы координат, а затем преобразуем в L( θ,θ • ), используя соотношения (см. сферическую систему координат в разделе 1: ϕ = Ωt, r = R) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 169 x = R sin θ cos Ωt, y = R sin θ sin Ωt, z = R cos θ. Подставим эти декартовые координаты в стандартное выражение для кинетической энергии T(x • ,y • ,z • ) = m(x • 2 + y • 2 + z • 2 )/2 и в потенциальную энер- гию U(z) = mgz. После упрощений получим выражения в обобщенных ко- ординатах T( θ,θ • ) = mR 2 θ • 2 /2 + mR 2 Ω 2 sin 2 ( θ)/2 и U(θ) = mgRcosθ. Во вращающейся системе координат эффективная потенциальная энергия U eff ( θ) = U(θ) − T (0) . Здесь второе слагаемое определяет вклад центробежной силы (6.33): U eff ( θ) = mgRcosθ − mR 2 Ω 2 sin 2 (θ)/2, а T eff ( θ • ) = T (2) = aθ • 2 /2, где a = mR 2 2. Точки равновесия θ (0) являются решениями следующего алгебраиче- ского уравнения ( ) 2 2 2 eff sin sin cos sin cos 0 dU mgR mR mR g R d = − θ − Ω θ θ = − θ + Ω θ = θ Получается четыре точки равновесия ϕ (0m) : sin θ = 0 → θ (01) = 0; θ (02) = π; cos θ = −g/(RΩ 2 ) → θ (03) = arccos{g/(RΩ 2 )}; θ (04) = π − arccos{g/(RΩ 2 )}. 3. Устойчивость положений равновесия . Проверяем положительность 2 2 2 2 2 2 eff eff 2 ( ) cos 2 cos d U U mgR mR mR d ′′ θ = = − θ − Ω θ + Ω θ во всех точках равновесия: c 1 = U " eff ( θ (01) ) = −mR 2 (g/R + Ω 2 ) < 0, → θ (01) = 0 неустойчива всегда; c 2 = U " eff ( θ (02) ) = mR 2 (g/R − Ω 2 ) > 0, → θ (02) = π устойчива при Ω 2 < g/R; c 3,4 = U " eff ( θ (03),(04) ) = mR 2 Ω 2 − m(g/Ω) 2 > 0, → θ (03),(04) устойчивы при Ω 2 > g/R. Опускаем очевидные пп.4-5. 6. Решение . Частоты линейных колебаний вблизи соответствующих точек равновесия θ (0m) определяются соотношениями ω m = (c m /a) 1/2 ω 2 = g/R − Ω 2 при Ω 2 < g/R; ω 3,4 = Ω 2 − g 2 /(R Ω) 2 при Ω 2 > g/R. Малые колебания механических систем 170 7. Анализ . Проверяем самый простой случай – отсутствие вращения ( Ω = 0). Тогда материальная точка колеблется только под действием си- лы тяжести около самой нижней точки окружности ( θ 0 = π), а частота колебаний ω 0 = g/R совпадает с известной по школьному курсу физики частотой малых колебаний математического маятника. Другой предель- ный случай – отсутствие силы тяжести (вращение в невесомости), т.е. g = 0, при этом колебания происходят вблизи "экваториального" значе- ния ( θ 1 = π/2): материальная точка под действием центробежной силы стремится занять наиболее далекое от оси вращения положение, а час- тота определяется угловой скоростью вращения ω 1 = Ω. Таким образом, оба предельных случая согласуются и с полученными ответами, и с "физикой" задачи. |