Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин). Леушин а. М., Нигматуллин р. Р., Прошин ю. Н
 Скачать 2.33 Mb.
|
|
e x 2 = e y 2 = e z 2 = 1; (П.5 a ) ( e x e y ) = (e x e z ) = (e y e z ) = 0; (П.5 б ) ( А В ) = А x В x + А y В y + А z В z ; (П.5 в ) А x = ( А e x ); А y = (А e y ); А z = (А e z ). (П.5 г ) Проекция вектора A на направление s ( ) / s A s = As . (П.6 а ) Угол между двумя векторами может быть выражен через их компоненты ( ) 2 2 2 2 2 2 cos( ) x x y y z z x y z x y z A B A B A B AB A A A B B B + + γ = = + + + + AB . (П.6 б ) Приложение. Минимальные сведения по математике 224 Векторное произведение [ А В ] (другие возможные обозначения [ A ×B ], ( А ×В ), А ×В , [ А , В ]) двух векторов есть вектор, модуль которого равен |[ А В ]| = АВ |sin( γ )|. (П.7 а ) Величина этого вектора совпадает с площадью параллелограмма, постро- енного на векторах А и В . Его направление перпендикулярно к обоим век- торам А и В и совпадает с направлением правого винта при его повороте от А к В на угол меньший π . Два вектора параллельны или антипараллель- ны друг другу тогда и только тогда, когда их векторное произведение рав- но нулю. Свойства векторного произведения [ A В ] = –[ В А ]; [ А А ] = 0; [( sА ) В ] = s [ А В ]. ( П.7 б ) [ А ( В +С )] = [ А В ] + [ А С ]. (П.7 в ) Выражение векторного произведения в прямоугольных декартовых коор- динатах [ e x e x ] = [ e y e y ] = [ e z e z ] = 0; [ e x e y ] = e z ; [ e y e z ] = e x ; [ e z e x ] = e y ; [ А В ] = ( А y В z – А z В y ) e x + ( А z В x – А x В z ) e y + ( А x В y – А y В x ) e z = = x y z x y z x y z A A A B B B e e e . (П.7г) Смешанное (векторно-скалярное) произведение (А [В С]) = (В [С А] ) = (С [А В]) ≡ (АВС). (П.8а) Последнее равенство выражает собой сокращенное обозначение сме- шанного произведения и отражает свойство циклической перестановки векторов в смешанном произведении. Произведения, содержащие более двух векторов [А [В С]] = В(А С) – С(А В) (Правило “бац”–”цаб”), (П.8б) ([А В] [С D]) = (A C)(B D) – (A D)(B C), (П.8в) ([A B]) 2 = A 2 B 2 – (A B) 2 , (П.8г) [[A B] [C D]] = (A [C D])B – (B [C D])A = (A [B D])C – (A [B C])D. (П.8д) Теоретическая физика. Механика (практический курс) 225 Решение некоторых векторных уравнений (Ниже предполагается, что (А [В С]) ≠ 0) Система Решение (A X) = p [A X] = B [ ] 2 2 1 p A A = + X A B A (П.9а) (A X) = p (B X) = q (C X) = r [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] = p q r + + X B C C A A B A BC B CA C AB (П.9б) Дифференцирование векторов. Приведение матриц к диагональному виду Опыт показывает, что затруднение вызывает дифференцирование век- торных функций по скалярному аргументу. Поэтому ниже приводим ос- новные правила дифференцирования таких функций. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ; ( ) ( const) d t d t d d d t t t a t a a dt dt dt dt dt ± = ± = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ v w v v w v [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; d df t d t f t t t f t dt dt dt = + v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; d d t d t t t t t dt dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ v w v w w v [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; d d df t d d t d t f t t t t t dt df dt dt dt dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ v v w v v w w v [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d t t t t t t t t t t dt dt dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u v w u v w v w w u u v . Примечание: При дифференцировании смешанного произведения порядок век- торов-сомножителей не изменяется! Опираясь на эти правила можно получить выражение для первой про- изводной от двойного векторного произведения. Правила дифференцирования единичных ортов (а) Если эти орты образуют прямоугольную декартовую СК или не меняют свое направление в пространстве с течением времени, то их производ- ная по времени равна нулю. (б) Если единичные орты могут менять свое направление в пространстве, Приложение. Минимальные сведения по математике 226 то их дифференцирование осуществляется по следующему правилу. Пусть v(t) = v (t)e(t). Тогда [ ] ( ) ( ) d t t dt = e ωe и [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) d t v t t t dt = + v e ωv & . (П.10) Вектор угловой скорости ω направлен (по правилу правого винта) вдоль оси поворота вектора скорости v(t) и имеет длину, равную угловой скоро- сти поворота вектора v(t). Если вектор скорости не изменяется по длине, то вектора скорости и ускорения перпендикулярны друг другу. Диагонализация матриц и соответственно невырожденных симметриче- ских квадратичных форм сводится к следующим операциям: 1. Нахождения собственных значений исходной матрицы соответствую- щего порядка путем решения характеристического уравнения. 2. Нахождение ортонормированных собственных векторов матрицы для каждого вычисленного собственного значения. 3. Переход от начальных базисных векторов к найденным собственным векторам исходной матрицы, задающей квадратичную форму, приво- дит ее к диагональному виду. Интегрирование элементарных функций Стандартные методы замены переменной, интегрирование по частям и табличные интегралы от элементарных функций здесь не приводятся. В теоретической механике часто встречаются интегралы от дробно-рацио- нальных выражений и интегралы, содержащие корень от квадратного трехчлена. Интегралы первого типа после выделения корней полинома, соответствующего знаменателю сводятся к стандартным интегралам вида ( ) ( ) 2 , p dx Mx N x a Ax Bx C α + − + + ∫ ∫ Рационализация подынтегрального выражения в интегралах подобного ти- па ( ) 2 , R x a bx cx dx + + ∫ осуществляется с помощью одной из следующих трех подстановок, определяемых в математике как подстановки Эйлера: Теоретическая физика. Механика (практический курс) 227 2 2 1 2 1 ( 0), ( 0), ( )( ) ( ). a bx cx xt a a a bx cx t x c c c x x x x t x x + + = ± > + + = ± > − − = − Основные дифференциальные уравнения и методы их решения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ( ) ( ); ( ) ( ) y x dy dy f x g y f x dx dx g y η ξ = = ∫ ∫ . (П.11) Линейные дифференциальные уравнения и уравнения сводящиеся к ним ( ) ( ); ( ) ( ) , ( ) ( ) x x F F dy f x y g x y x e g x e dx F x f x dx dx − ξ ξ ⎛ ⎞ + = = ⎜η + ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . (П.12) Отметим, что уравнение Бернулли ' ( ) ( ) 0 y f x y g x y α = + = подстановкой 1 ( ) u x y −α = сводится к линейному уравнению, решение которого находится в квадратурах ' (1 ) ( ) (1 ) ( ) 0 u f x u g x + − α + − α = . (П.13а) Отыскание решения системы линейных дифференциальных уравне- ний с постоянными коэффициентами ' 1 1 p p pn n y a y a y = + + ( ) 1,..., p n = , (П.13б) и тесно связанных с этой системой дифференциальных уравнений n-го порядка ( ) ( 1) 1 ( ) n n n y a y a y F x − + + + = , (П.13в) с постоянными коэффициентами {a k } (k = 1,2,…,n) и правой частью F(x), выражаемой тригонометрическими, степенными и другими функциями сводится к следующим основным операциям. 1. Сведение дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменной x y e λ = 2. Отыскание всех корней получившегося полинома 1 1 0 n n n a a − λ + λ + + = (П.14) Приложение. Минимальные сведения по математике 228 для уравнения (П.13б) или нахождения корней характеристического урав- нения для системы (П.13а). Общее решение для случая n различных корней записывается в виде 1 ( ) k n x k k y x C e λ = = ∑ . (П.15) Совокупность констант С k , входящих в последнее уравнение находится из начальных условий. 3. Если правая часть уравнения не равна нулю и выражается в виде триго- нометрических или степенных функций, то решение неоднородного уравнения ищется в виде этих же функций с неопределенными коэф- фициентами. Эти неизвестные коэффициенты находятся из тождествен- ного условия сравнения левого и правого частей уравнения (П.13б). В заключение этого математического приложения приведем один общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши-Римана. Пусть дана система ( , ), ( , ) dx dy u x y v x y dt dt = = , (П.16) где x и y − искомые вещественные функции от вещественной переменной t. Предположим , что правые части этой системы имеют непрерывные част- ные производные и удовлетворяют условиям Коши-Римана , u v u v x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ . (П.17) Введем в рассмотрение комплексную переменную z, положив , dz dx dy z x iy i dt dt dt = + = + Тогда, умножая второе из уравнений системы (П.16) на комплексную еди- ницу и складывая его с первым, получаем ( , ) ( , ) ( ) dz u x y iv x y f z dt = + ≡ . (П.18) Из последнего уравнения получаем Теоретическая физика. Механика (практический курс) 229 0 ( ) z z dz t C f z = + ∫ , (П.19) где t − вещественная переменная, а С = С 1 + iC 2 произвольная комплексная постоянная. Отделяя в последнем уравнении вещественную и мнимую час- ти, получим выражения для x и у как функции от переменной t. Пример . Рассмотрим систему , dx dy mx ny nx my dt dt = + = − + Нетрудно убедиться, что условия (П17) выполнены, и система сводится к одному уравнению , dz bz b m in dt = = − Интегрируя это уравнение и отделяя вещественную и мнимую части, по- лучим окончательно ( ) ( ) 1 2 2 1 ( ) cos( ) sin( ) , ( ) cos( ) sin( ) mt mt x t e C nt C nt y t e C nt C nt = + = − Библиография 230 Библиография Библиография 1. Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р. Учебные задания по теоретической механике. (Под ред. Кочелаева Б.И.) Казань: Лаб. оператив. полиграфии КГУ, 1988. 2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Нау- ка, 1974. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965. 4. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001. 5. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. 6. Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоре- тической механике для физиков. М.: Изд. МГУ, 1978. 7. Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по аналитической механике. М.: Наука, 1980. 8. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1969. 9. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Нау- ка, 1986. 10. Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике. М.: Высшая школа, 1984. 11. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Аналитическая механика. Дополнительные во- просы. Новосибирск: Изд. Новосибирского университета, 1988. 12. Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. М.: Изд. МГУ, 1988. 13. Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М.: ГИФМЛ, 1959. 14. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. (Том I - II). М.: ГИФМЛ, 1961, Том Ш. М.: Наука, ГРФМЛ, 1973. 15. Мисюрев М.А. Методика решения задач по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1963. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 231 16. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. За- дачи и упражнения с ответами и решениями. М.: Мир, 1969. 17. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, ГРФМЛ, 1971. 18. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. (Том I). М.: Наука, ГРФМЛ, 1972. 19. Учайкин В.В. Механика. Основы механики сплошных сред. Задачи и уп- ражнения. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. |