математическое моделирование. Т 1 МАТ. Моделирование. Литература по теме 197 Вопрос Узловые операторы. 201 Вопрос Текст программной модели смо. 202 Вопрос Сборка и запуск исполнительного модуля модели. 205

• Название: Литература по теме 197 Вопрос Узловые операторы. 201 Вопрос Текст программной модели смо. 202 Вопрос Сборка и запуск исполнительного модуля модели. 205
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 02.06.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: Т 1 МАТ. Моделирование.docx
• Тип: Литература; #564707
• страница: 28 из 31

матрицы Адамара. Матрица Адамара размерности 2 n х 2n строится из матриц размерности n х n по правилу:

	+ 1 +1		+Hn	+Hn
H 2 =	+ 1 -1	> H 2 n =	n +Hn	n -Hn

Матрица планирования в примере рис. 57 образована матрицей H₈,

отсюда столбец с номером 0. С такой матрицей можно проверить влияние не более семи факторов. Если их больше (от 8 до 15) , то следует строить матрицу H₁₆. Число опытов в этом случае равно 16, если же факторов меньше 15, то просто отбрасываются последние столбцы матрицы H .

После выполнения эксперимента по данному плану анализируем его результат следующим образом.

Для каждого фактора j, j=1,...7 находится сумма значений выходного параметра по всем опытам, где j-ый фактор был на верхнем уровне (+):

^f;=1l f

Г.Фу =+

и сумму значений выходного параметра по всем опытам, где j-ый фактор был на нижнем уровне (-):

F"=! F


А.
i-Ф.. =_- '.^Фi

После чего находим разность

F + -F-

i i

и вносим результаты в соответствующие столбцы таблицы. Теперь ранжируем факторы по убыванию А в предположении того, что более

сильно влияющие факторы характеризуются большим значением абсолютной величины разности. Ранг фактора вносится в нижнюю строку таблицы.

Это предположение, однако, нуждается в проверке, поскольку влияние может быть вызвано как случайным сочетанием уровней других факторов, так и тем, что максимальное влияние фактора проявляется не обязательно тогда, когда он находится на верхнем или нижнем уровнях, а тогда, когда он находится на каком-то промежуточном.

Вопрос 33. Аналитическое описание функции отклика.

Традиционные методики проведения экспериментов из-за зависимости компонентов восстанавливаемого аналитического описания не позволяют определить раздельное влияние каждого фактора на результирующий показатель, т. е. эти методики обеспечивают получение аналитических зависимостей, пригодных лишь для решения интерполяционных задач. В отличие от них теория планирования эксперимента дает возможность оценить вклад каждого параметра в значение показателя, т.е. приближенно восстановить закон функционирования объекта по экспериментальным данным. Полученное аналитическое описание объекта можно использовать для предварительного исследования вариантов построения системы или в интересах построения модели старшей системы, включающей данный объект на правах элемента. Эксперименты, направленные на раскрытие механизма исследуемого явления и определяющие аналитическую зависимость, называют интерполяционными или регрессионными.

Модель объекта представляет собой аналитическую зависимость отклика от факторов. Чаще всего эта зависимость неизвестна, известными являются факторы x\ и выходные величины отклика y\.

Часто встречается задача исследования одной выходной величины у как функции нескольких факторов:

У = ^Fj ^(xb ^x2^, ... Xn)

Вид этой зависимости определяется из физической сущности, а численные значения коэффициентов вычисляются в соответствии с результатами эксперимента. Поэтому модель называют также эмпирической. Модель объекта может быть построена и на основе теоретически описания происходящих процессов. В этом случае модель называется теоретической.

Одним из основных является требование простоты модели. При планировании эксперимента предполагается, что этому требованию отвечают алгебраические полиномы вида:

Y=Bo + Б₁Х₁ + ... + BnXn + В12Х1Х2 + ... Bnn-lXnXn-1 + BjjXj² + ...

+ ^BnnXn² + ..

Разложение функции в степенной ряд возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.

Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы Y=f(x\,..., x_n) и записана в полиномиальном виде

Y=b0 + bjxj + b2x2 ... + bnxn + + ... b_m-1x^n-1 + bjjxj² + ...

+ ^bnn^xn² +.■■

Очевидно, что Bi^bi, но

Y=F(X1,..., Xi,..., Xn) = f(x1,..., xi,..., xn)

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi.

При определении общего числа членов степенного ряда количество парных сочетаний для n факторов в полиноме, тройных сочетаний, i-ых сочетаний при n>i находится по соотношению

■ n(n - l)(n - 2)...(n - i -1)

^Cn = , ₀ :

1-2 • ....i

Например, для набора четырех чисел (n=4) - 1, 2, 3, 4 число тройных сочетаний составляет

, 4 • 3 • 2

C3 = = 4 (123, 134, 124, 234)

⁴ 1-2 • 3

Если считать, что существует фактор х₀ всегда равный 1, то

n

b + bx + bx +... + bx = bx + bx + bx +... + bx =V bx

0 11 22 n n 00 11 22 n n / t i i

i=0

Если дополнительно все двойные, тройные и т.д. сочетания факторов, а также квадраты факторов и все соответствующие им коэффициенты для i=n+1,...m, обозначить через xi и bi, то степенной ряд можно записать в виде

m

Y = Z bx

i=0

Здесь m+1 общее число рассматриваемых членов степенного ряда. Для линейного полинома с учетом всех возможных сочетаний факторов

m +1 = 1 + C^x„ + ••• + C'+... + C"

n n n

Полный квадратичный полином будет иметь вид:

5

^ — Ь + I I Ь^^Х^Х^ + Ь\\Х^ + b2.X2 — ^^Ь_гХ_г ,

i=0

где

хо=1, хз=х1х2, х4=х1², х5=х2², ^3=^12, Ь4=Ьц, b5=b22-

При использовании методов планирования эксперимента для решения задачи построения математической модели объекта необходимо найти ответы на такие вопросы:

• 
  Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?
  
• 
  Как найти коэффициенты Во, В1, ... , B_m?
  
• 
  Как оценить точность представления функции отклика?
  
• 
  Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?
  

Математический аппарат планирования экспериментов позволяет проводить активный эксперимент и получать только необходимую информацию отдельно о каждом факторе или сочетании факторов. В частности, коэффициенты регрессии, которые являются основными характеристиками каждого фактора, определяются независимо друг от друга. Управляемость процесса получения информации заключается в том, что в процессе исследований ставятся эксперименты не по всем возможным сочетаниям факторов, а только по сочетаниям (значениям факторов в каждом эксперименте), которые обеспечат получение нужной информации. Это позволяет:

1. 
   резко сократить количество опытов и облегчает обработку и анализ полученных результатов;
   
2. 
   целенаправленно проводить исследования, четко обосновывая условия и количество экспериментов.
   

Если высказывается гипотеза о линейной зависимости исследуемого процесса, то минимальное значение числа уровней факторов в экспериментах равно двум (-1 и +1), так как прямую линию можно построить по двум точкам. При количестве факторов равном n,

количество экспериментов N будет равно 2". План, построенный таким образом, получил название полного факторного эксперимента (ПФЭ).

При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести, число опытов планов ПФЭ становится слишком большим. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ). Они представляют собой части полного факторного эксперимента (половину, четверть и т.д.) и называются дробными репликами ПФЭ, в которых количество опытов N уменьшается до значения 2"^-kk.


В методе Гаусса-Зейделя сначала находится и фиксируется наилучшее значение x_1max фактора x₁, и далее проводится серия

Вопрос 4. Поиск оптимальных значений.

Часто возникающей на практике задачей является задача поиска значений параметров системы, обеспечивающих достижение оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при известных ограничениях на значения параметров.

Полный перебор всех допустимых сочетаний значений параметров системы с целью поиска оптимального варианта нерационален с точки зрения затрат необходимых ресурсов. Например, имея всего три фактора с пятью уровнями, потребуется провести 5³ = 125 экспериментов для нахождения оптимальной комбинации значений.

Для нахождения оптимума может быть использован подход, называемый классическим, или методом Гаусса-Зейделя, который можно пояснить с помощью графического представления зависимости функции отклика одновременно от двух факторов в виде «контурной карты» (рис. 58Рис.):




Рис. 58. Нахождение оптимума Рис. 59. Пример некорректного функции отклика методом результата применения метода Гаусса-Зейделя Гаусса-Зейделя




экспериментов с последовательным изменением второго фактора x2 при фиксированном (найденном) значении x1.

Однако в случаях, когда кривые равного значения откликов сильно отличаются от окружностей и являются вытянутыми эллипсами, использование метода может привести и к ошибочному решению, что поясняется следующим примером (рис. 59).

Очевидно, что полученный результат (красная точка) не является оптимальным значением.

Для решения указанной задачи теория планирования эксперимента предлагает такую последовательность проведения опытов, которая позволяет применить градиентные методы поиска при априорно неизвестной функции, связывающей показатель качества с параметрами системы (функции отклика), когда варьируются одновременно все факторы, и движение на очередном шаге осуществляется в направлении наибольшего возрастания функции (рис. 60):

X2t







Xi

Рис. 60. Пошаговое нахождение оптимума