математическое моделирование. Т 1 МАТ. Моделирование. Литература по теме 197 Вопрос Узловые операторы. 201 Вопрос Текст программной модели смо. 202 Вопрос Сборка и запуск исполнительного модуля модели. 205

• Название: Литература по теме 197 Вопрос Узловые операторы. 201 Вопрос Текст программной модели смо. 202 Вопрос Сборка и запуск исполнительного модуля модели. 205
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 02.06.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: Т 1 МАТ. Моделирование.docx
• Тип: Литература; #564707
• страница: 26 из 31

большими временными и трудовыми затратами, поскольку сводится к последовательному варьированию отдельных совокупностей входных переменных при сохранении значений остальных неизменными, и измерению значений выходных переменных, получающихся для каждой совокупности значений входных переменных.

Эксперименты на имитационной модели являются, как правило, многофакторными и связаны с поиском рациональной структуры и оптимизацией параметров моделируемой системы, отысканием оптимальных условий ее функционирования и т.д. Степень сложности исследуемой системы и, соответственно, используемой для исследований имитационной модели в очень многих случаях не позволяет провести ее всестороннее теоретическое изучение в разумные сроки. Поэтому, несмотря на значительный объем проведенных на модели экспериментов достаточно полный анализ объекта исследования оказывается невозможным и окончательное решение получается весьма приблизительным.

Под экспериментом понимают совокупность операций, совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах.

Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это случай пассивного эксперимента.

Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым.

Опытом называется отдельная часть эксперимента.

Целью планирования эксперимента является нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Планирование эксперимента есть процесс выбора плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Результатом планирования эксперимента является план эксперимента, который представляет собой совокупность данных, определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Проведение исследований на основе планирования эксперимента требует выполнения некоторых требований. Основными из них являются требования управляемости (см. выше) и воспроизводимости результатов эксперимента. Воспроизводимость характеризуется разбросом значений результата определенных опытов, проводимых через неравные промежутки времени: если разброс не превышает некоторой заданной величины, то объект исследования считается удовлетворяющим требованию воспроизводимости результатов.

Хорошо составленный план эксперимента обеспечивает:

• 
  минимизацию общего число опытов;
  
• 
  одновременное варьирование всеми входными переменными;
  
• 
  использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
  
• 
  наличие четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
  

Объект исследования в теории планирования эксперимента обычно представляется в виде «черного ящика» (рис. 55):




Рис. 55. Модель «черного ящика»




Входы «черного ящика» (стрелки слева), обозначенные Х], Х2,...

Х_п и представляющие собой воздействия на «черный ящик», называются

факторами. Кроме того, на объект воздействуют возмущающие факторы, которые являются случайными и не поддаются управлению.

Факторы, выбранные для эксперимента, должны отвечать требованиям:

• 
  однозначности;
  
• 
  независимости: факторы не должны оказывать влияния друг на
  

друга;

• 
  совместимости: все комбинации факторов должны быть реализуемы и не приводить к абсурду;
  
• 
  управляемости: значение фактора можно задавать по усмотрению экспериментатора (предполагается активный эксперимент);
  
• 
  полноты: если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведёт к неправильному определению оптимальных условий и появлению большой ошибки опыта.
  

Факторы в эксперименте бывают количественными и качественными.

Количественные факторы представляются в виде значения шкалы действительных чисел. Например, число обслуживающих приборов в системе массового обслуживания.

Качественным факторам, значения которых не могут быть представлены числом, можно поставить в соответствие числовые обозначения, перейдя тем самым к количественным. Например,

дисциплину обслуживания в обслуживающем приборе можно кодировать числами натурального ряда: «Первый пришел - первый обслужен»^ШО) - 1, «Последний пришел - первый обслужен» (LIFO) - 2 и т.д.

Для каждого из факторов указывают граничные значения.

Х_1ШШ<Х.<X.^i = 1,... n

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляет собой прямоугольник, при n=3 - куб, при n >3 - гиперкуб.

Факторы могут иметь разные размерности (Мбайт, ГГц, операций/с) и различные диапазоны изменения. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов. Переход к кодированным (безразмерным) значениям задается преобразованием

X - Xcp

X = ■

AX,.

где




Xlmin Xlcp Xlma* Л1
Xj - натуральное (абсолютное) значение фактора; Хср - именованное (абсолютное) значение фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале; AXj - интервал варьирования фактора; xj - кодированное значение фактора;

Если фактор является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до -1. Так при двух уровнях это +1 и -1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.

Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемую центральной точкой плана или центром эксперимента (Рис.).

Л2

Хгтя*

Хгср

X2min

Рис. 53. Пространство параметров

С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором проводятся две операции:

1. 
   перенос начала координат в точку, соответствующую значениям основных уровней факторов в точку с координатами Хj^,
   

^Х2сp ■■■ , ^Хпсp

2. 
   сжатие-растяжение пространства в направлении координатных осей таким образом, что минимальное значение кодированных факторов соответствует «-1», а максимальное значение «+1».
   

Рис. 54. Поверхность отклика многофакторного эксперимента
Выходы «черного ящика называются откликом, а функция Y=F(X1, Х2, ■■■, Хп) - функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, .. , Хп называется поверхностью отклика (рис. 54):







X1 Х2 ХЗ Х4 X Рис. 55. Поверхность отклика однофакторного эксперимента

Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика сложностей не вызывает. Задав несколько значений фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y=F(X) (рис. ):

Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Функцию отклика в трехмерном пространстве можно графически представить в виде «контурной карты», которую можно считать видом сверху на трехмерную поверхность отклика, описывающую функцию Y (рис. 56 а), или же ее можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями второго (рис. 56,б) или первого факторов (рис. 56, в):

Xi=X] Xl=Xf Xi=X*

Xi Xi X.2

а б в

Рис. 56. Представление поверхности отклика двухфакторного

эксперимента

Если уверенности в том, что опыты хорошо воспроизводятся, нет, то опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных.

По виду полученной функции отклика можно подобрать для нее математическое выражение. Подход к решению этой задачи рассмотрен в следующем вопросе темы.

Вопрос 2. Отсеивающий эксперимент

Когда число факторов превышает семь, особую остроту приобретает задача выявления факторов, незначительно влияющих на показатель качества системы (функцию отклика). Планирование и проведение отсеивающего эксперимента позволяет выделить из всей совокупности факторов только