Пммсс. Задачник-1. М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2

• Название: М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2
• Анкор: Пммсс
• Дата: 10.11.2022
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: Задачник-1.pdf
• Тип: Документы; #781779
• страница: 1 из 7

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
________________________________________________________________________
Кафедра высшей математики
М.Л.Каган, Т.С. Кузина В.Д. Петелина
Задание для самостоятельной работы
студентов II курса дневного отделения
по разделам “Теория вероятностей и элементы
математической статистики”.
МОСКВА – 2012

2
Составители:
Профессор, кандидат физ.-мат. наук М.Л. Каган
Профессор, кандидат физ.-мат. наук Т.С. Кузина
Профессор, кандидат физ.-мат. наук В.Д. Петелина
Научный редактор
Профессор, доктор физ.-мат. наук М.В. Самохин

3
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................................... 4
ВАРИАНТ 1 ....................................................................................................................... 10
ВАРИАНТ 2 ....................................................................................................................... 12
ВАРИАНТ 3 ....................................................................................................................... 14
ВАРИАНТ 4 ....................................................................................................................... 16
ВАРИАНТ 5 ....................................................................................................................... 18
ВАРИАНТ 6 ....................................................................................................................... 20
ВАРИАНТ 7 ....................................................................................................................... 22
ВАРИАНТ 8 ....................................................................................................................... 24
ВАРИАНТ 9 ....................................................................................................................... 26
ВАРИАНТ 10 ..................................................................................................................... 28
ВАРИАНТ 11 ..................................................................................................................... 30
ВАРИАНТ 12 ..................................................................................................................... 32
ВАРИАНТ 13 ..................................................................................................................... 34
ВАРИАНТ 14 ..................................................................................................................... 36
ВАРИАНТ 15 ..................................................................................................................... 38
ВАРИАНТ 16 ..................................................................................................................... 40
ВАРИАНТ 17 ..................................................................................................................... 42
ВАРИАНТ 18 ..................................................................................................................... 44
ВАРИАНТ 19 ..................................................................................................................... 46
ВАРИАНТ 20 ..................................................................................................................... 48
ВАРИАНТ 21 ..................................................................................................................... 50
ВАРИАНТ 22 ..................................................................................................................... 52
ВАРИАНТ 23 ..................................................................................................................... 54
ВАРИАНТ 24 ..................................................................................................................... 56
ВАРИАНТ 25 ..................................................................................................................... 58
ВАРИАНТ 26 ..................................................................................................................... 60
ВАРИАНТ 27 ..................................................................................................................... 62
ВАРИАНТ 28 ..................................................................................................................... 64
ВАРИАНТ 29 ..................................................................................................................... 66
ВАРИАНТ 30 ..................................................................................................................... 68

4
ВВЕДЕНИЕ
Представленные задания предназначены для самостоятельной работы студентов
Каждый вариант задания состоит из 12 задач, охватывающих основные вопросы курса теории вероятностей и математической статистики. Если какая-то часть курса излагается сокращенно или исключается полностью, то, естественно, соответствующие задачи следует облегчить, сняв некоторые вопросы условия, или полностью исключить эти задачи.
В задаче I требуется выполнить непосредственный подсчет вероятностей, основанный на применении классической и геометрической схем; при этом предполагается знание основных элементов комбинаторики: перестановок, размещений, сочетаний. В некоторых случаях возможно решение этой задачи с применением основных теорем.



)
(
)
(
A
i
i
P
A
P

n
A
m
A
P
)
(
)
(

, n – общее число исходов m(A)
– число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих A.
Геометрическая схема
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(






V
A
V
S
A
S
L
A
L
A
P
Вероятностью случайного события A, попадания точки в область, соответствующую А, называется отношение мер области A и фигуры, которая соответствует достоверному событию

Задача 2 ориентирована на применение теорем сложения и произведения вероятностей и предполагает ясное понимание совместности и несовместности, зависимости и независимости событий.
Вероятность противоположного события
)
(
1
)
(
A
P
A
P


Вероятность суммы 2-х событий
)
(
)
(
)
(
)
(
AB
P
B
P
A
P
B
A
P




Если


AB
, то
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P



Условная вероятность события B при условии, что событие A произошло
)
(
)
(
)
/
(
A
P
AB
P
A
B
P

Вероятность произведения 2-х событий
)
/
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
A
P



Если A и B независимые события
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P




5
Задача 3 рассчитана на применение формул полной вероятности и Бейеса. В решении обязательно должно быть обосновано применение соответствующей формулы.
Формула полной вероятности
)
/
(
)
(
)
(
1
i
n
i
i
H
A
P
H
P
A
P




где
n
H
H
H
,...,
,
2 1
– гипотезы, составляют полную группу событий
Формула Бейеса





n
i
i
i
k
k
k
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
1
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
В задаче 4 предполагается применение формулы Бернулли, а в задаче 5 – локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа. В решении этих задач обязательно должна быть обоснована применимость схемы Бернулли.
Формула Бернулли
m
n
m
m
n
n
q
p
C
m
P




)
(
, где
)
( A
P
p

,
p
A
P
q




1
)
(
1








2 1
2 1
)
(
m
m
m
m
n
m
m
n
n
q
p
C
m
m
m
P
При достаточно большом n и не слишком малых p и q используются асимптотические формулы Муавра-Лапласа
)
10
(

np
)
(
1
)
(
x
npq
m
P
n



, где
2 2
2 1
)
(
x
e
х





,
npq
np
m
x


,
)
(
)
(
x
x




)
(
)
(
)
(
1 2
2 1
x
x
m
m
m
P
n






, где
dt
e
x
x
t




0 2
2 2
1
)
(

,
npq
np
m
x


1 1
,
npq
np
m
x


2 2
,
)
(
)
(
x
x





В задаче 6 применяется формула Пуассона – закон редких событий или простейший, пуассоновский поток событий
Если n велико, P(A)=p при одном испытании мало, то используется формула
Пуассона
a
n
e
m
a
m
P
m


!
)
(
,
10


np
a





k
m
m
n
m
a
e
k
m
P
a
0
!
)
(
В задаче 7 требуется составить закон распределения дискретной случайной величины (ряд распределения), найти ее числовые характеристики и построить график функции распределения.





)
(
)
(
)
(
x
i
x
i
p
x
X
P
x
F
– функция распределения





n
i
i
i
p
x
a
X
M
1
)
(
,
2 2
)
(
)
(
a
X
M
X
D


– числовые характеристики
В задаче 8 для заданного закона распределения некоторой непрерывной случайной величины требуется в зависимости от конкретного условия найти

6 плотность вероятности f(x), функцию распределения F(x), неизвестные коэффициенты, математическое ожидание, дисперсию и построить графики f(x) и
F(x).






x
dt
t
f
x
X
P
x
F
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
F
x
f







1
)
(
dx
x
f
,
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
X
a
P
b
a












dx
x
xf
a
X
M
)
(
)
(
,
2 2
)
(
)
(
a
X
M
X
D


Задача 9 рассчитана на нормальный закон распределения.
2 2
2
)
(
2 1
)
(



a
x
e
x
f



,





 




a
x
x
F
5
,
0
)
(





 















a
x
a
x
x
X
x
P
1 2
2 1
)
(
)
( X
M
a

,
)
( X



Задача 10 представляет собой расчет на прочность балки со случайной нагрузкой. Из курса сопротивления материалов необходимый момент сопротивления определяется из условия
 



m ax
,
W
M
max max


, m ax
M
– максимальный изгибающий момент,
W – момент сопротивления max

зависит от размеров, характера закрепления и случайной нагрузки.
Зависимость max

от нагрузки линейная, потому max

также как и нагрузка распределена нормально.
Необходимый момент сопротивления балки определяется из условия
 
0
m ax
)
0
(
p
P





Задачи 11 и 12 связаны со статистической обработкой результатов экспериментов
В задаче 11 требуется найти точечные оценки и доверительные интервалы для среднего значения (математического ожидания) и среднеквадратического отклонения случайной величины по выборке n, полученной из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону. Точечные оценки определяются по формулам



n
i
x
n
x
a
1 1

;
x – выборочная средняя






n
x
x
n
s
D
i
1 2
2 2
)
(
1 1



;

7






n
x
x
n
s
i
1 2
)
(
1 1


,
s – исправленное среднеквадратическое отклонение,
i
x
– выборочные значения.
Доверительный интервал для математического ожидания a , накрывающий неизвестное
a
с надежностью

, определяется следующей формулой:
n
s
t
x
a
n
s
t
x








, где

t определяется по таблице квантилей распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы по доверительной вероятности

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения

с надежностью

, можно определить несколькими способами: а) доверительный интервал, симметричный относительно точечной оценки s, определяется формулой
)
1
(
)
1
(
q
s
q
s





где q определяется по таблице по заданным n и

. Следует учесть, что если q>1, то неравенство естественно уточняется
)
1
(
0
q
s




б) доверительный интервал с равными
2 1


вероятностями выхода определяемого параметра за левую и правую границы интервала определяется формулой
s
h
n
s
h
n











1 1
где


h и


h определяются условиями
2 1
)
(
2 1








h
P
n
, или
2 1
2 1
1
)
2 1
(












h
n
P
и
2 1
)
(
2 1








h
P
n
и находятся по таблице квантилей распределения
2

с
)
1
(

n
степенями свободы в) доверительный интервал с наименьшей верхней границей определяется формулой


h
n
s
1 0




, где

h определяется из условия






)
(
2 1
h
P
n
и находятся по таблице квантилей распределения
2

с
)
1
(

n
степенями свободы.
Выбор одного из вариантов построения доверительного интервала для

определяется спецификой факультета и сообщается студентам дополнительно.

8
В задаче 12 требуется произвести обработку экспериментальных данных методом наименьших квадратов.
Пусть имеется таблица опытных данных
)
,
).....(
,
(
1 1
n
n
y
x
y
x
, связанные функциональной зависимостью, вид которой предполагается известным с точностью до входящих в нее параметров b.....c a,
, число которых не должно превышать n; c)
b,...,
a,
f(x,
y

. По методу наименьших квадратов значения неизвестных параметров ищутся из условия минимума функции




n
1
i
2
)]
,...,
,
,
(
[
c)
b,...,
S(a,
c
b
a
x
f
y
i
i
, (1) что приводит к системе нормальных уравнений, число которых совпадает с числом определяемых параметров:






































0
)]
,...,
,
,
(
[
0
)]
,...,
,
,
(
[
0 0
1 1
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
x
x
x
x
c
f
c
b
a
x
f
y
a
f
c
b
a
x
f
y
c
s
a
s
(2)
Решая систему (2) находим искомые значения b.....c a,
В расчетном задании предлагаются три вида зависимости
)
(x
f
y

Варианты