Пммсс. Задачник-1. М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2
 Скачать 2 Mb.
|
b ax y ; в этом случае система (2) для определения a и b принимает вид n i i n i i n i i i n i i n i i y n b x a y x x b x a 1 1 1 1 1 2 (3) Вычисления, необходимые для определения коэффициентов системы (3), удобно вести в виде табл. 1 ) ,..., 2 , 1 ( n i Таблица 1 i i x 2 i x i y i i y x i x 2 i x i y i i y x Варианты 11–20. Дробно линейная зависимость b x a y ; в этом случае система (2) для определения a и b принимает вид n i i n i i n i i i n i i n i i y n b x a y x x b x a 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 (4) Вычисления, необходимые для определения коэффициентов системы (4), удобно вести в виде табл. 2 ) ,..., 2 , 1 ( n i 9 Таблица 2 i i x i x 1 2 1 i x i y i i x y i x i x 1 2 1 i x i y i i x y Варианты 21–30. Квадратическая зависимость c bx ax y 2 ; в этом случае система (2) для определения a , b и c принимает вид n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i y n c x b x a y x x c x b x a y x x c x b x a 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 4 (5) Вычисления, необходимые для определения коэффициентов системы (5), удобно вести в виде табл. 3 ) ,..., 2 , 1 ( n i Таблица 3 i i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i i y x i i y x 2 i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i i y x i i y x 2 Системы нормальных уравнений для определения неизвестных параметров в данном задании линейны и обычно решаются методом Гаусса. 10 ВАРИАНТ 1 №1. Из 30 деталей, среди которых 10 вышего качества, случайным образом выбираются на сборку 20. Какова вероятность того, что среди них окажется 7 деталей высшего качества? №2. ОТК проверяет некоторые изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие. №3. На некотором заводе первый станок производит 40% всей продукции, а второй – остальную. В среднем 9 из 1000 деталей, производимых первым станком, оказываются бракованными, а у второго – одна бракованная деталь из 250. Случайно выбранная из всей дневной продукции деталь оказалась по результатам проверки бракованной. Какова вероятность того, что она произведена на первом станке? №4. Вероятность попадания в десятку для данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность попадания в десятку не менее трех раз при десяти выстрелах. №5. При транспортировке и погрузочно-разгрузочных работах 3% поступившего кирпича оказывается битым. Какова вероятность того, что из партии в 10000 кирпичей битыми окажется не более 400 штук? №6. При массовом производстве интегральных схем вероятность появления брака равна 0,005. Определить вероятность того, что в партии из 600 изделий бракованными будут: а) не более трех изделий; б) ровно три изделия. №7. Отрезок разделен на две равные части. На этот отрезок брошены три точки. Попадание точки в любое место отрезка равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших на левую часть отрезка. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ) (x F . Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 2 ( , 1 ], 2 , 0 [ , ), 0 , ( , 0 ) ( 3 x x bx a x x F Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [1,4]. Построить графики ) (x F и ). (x f 11 №9. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 40, и дисперсией, равной 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал [30;80]. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 120 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 12кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 1800кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 0 p №11. Проведенные измерения диаметра цилиндрической части заклепок дали следующие результаты / в миллиметрах/: 8,12 8,17 8,20 8,21 8,20 8,17 8,22 8,27 8,22 8,17 8,32 8,20 8,21 8,18 Предполагая, что определяемый размер распределен по нормальному закону, найти доверительные интервалы для среднего размера с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0 4 10 15 21 29 36 51 68 75 y 66,7 71,0 76,3 80,5 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1 130,4 12 ВАРИАНТ 2 №1. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два окажутся выигрышными. №2. Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6, 0,7 и 0,75. Определить вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу. №3. В цехе фабрики 30% продукции производится первой машиной, 25% - второй, а остальная продукция – третьей. Первая машина дает 1% брака, вторая – 2% и третья – 3%. Случайно выбранная единица продукции оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она изготовлена на первой машине. №4. Для пуска некоторой установки необходимо включить 6 блоков. Вероятность того, что блок включится при нажатии соответствующей кнопки на пульте управления, равна 0,9 для каждого блока. Нажаты все кнопки. Определить вероятность того: а) установка заработает; б) два блока не включатся. №5. Вероятность того, что изготовленные для подшипников шарики не укладываются в допустимые размеры, равна 0,02. Определить вероятность того, что в партии из 10000 штук забракованных шариков окажется не более 240. №6. В камере Вильсона фиксируется 36 столкновений частиц в час. Найти вероятность того, что в течение одной минуты: а) не произойдет ни одного столкновения; б) произойдет более двух столкновений. №7. По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятности искажения первого и второго сообщения равны 0,2 и 0,1. Дискретная случайная величина – число правильно переданных сообщений. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 1 [ , ); 1 , ( , 0 ) ( 4 x x A x x f Определить коэффициент , A функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [-2,2]. Построить графики ) (x F и ). (x f 13 №9. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта по модулю можно гарантировать с вероятностью 0,8? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 210 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 21кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2400кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 0 p №11. Проведенные измерения количества выпавших осадков в октябре за период в 15 лет для данной местности дали следующие результаты (в мм): 99 125 103 92 100 109 118 116 98 140 122 101 120 131 106 Найти доверительные интервалы для среднего значения количества выпавших осадков с доверительной вероятностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. Предполагается, что определяемая величина распределена по нормальному закону №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0,2 0,4 0,5 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 y 3,3 3,7 4,0 4,3 4,5 4,9 5,1 5,5 5,8 6,2 14 ВАРИАНТ 3 №1. Среди десяти люминесцентных ламп имеется одна негодная. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу шести ламп все окажутся годными. №2. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос? №3. На станции очистки сточных вод 30% стока поступает с первого предприятия, 40% - со второго и остальное – с третьего. Вероятность появления в сточных водах солей тяжелых металлов для первого, второго и третьего предприятий соответственно равна 0,01, 0,02 и 04. Определить вероятность появления солей тяжелых металлов во всем стоке. №4. Строительная организация имеет пять бульдозеров, надежность (вероятность безотказной работы в течение некоторого времени Т) каждого из них равна 0,9. Определить вероятность того, что за время Т: а) ни один из пяти бульдозеров не потребует ремонта; б) два бульдозера будут нуждаться в ремонте. №5. На сбор приглашено 120 спортсменов. Вероятность того, что выбранный случайным образом спортсмен выполнит нормативы комплекса ГТО первой ступени, равна 0,7. Определить вероятность того, что не мене 60 спортсменов выполнят эти нормативы. №6. На диспетчерский пункт, в среднем, поступает три заказа в минуту на такси. Определить вероятность того, что за две минуты поступит: а) не менее четырех вызовов; б) ровно четыре вызова. №7. Стеновая панель подвергается на испытаниях последовательному воздействию трех нагрузок. Вероятности разрушения панели при этих нагрузках соответственно равны 0,1; 0,3 и 0,4. При разрушении деталь следующей нагрузке не подвергается. Дискретная случайная величина – число воздействовавших на деталь нагрузок. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 2 ( , 1 ]; 2 , 0 [ , ); 0 , ( , 0 ) ( 2 x x Bx A x x F 15 Определить параметры A и , B найти выражение для плотности вероятности ) (x f , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [-1,1]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 6 , 1 a и средним квадратическим отклонением 1 Какова вероятность того, что при двух испытаниях эта случайная величина два раза попадет в интервал [1,2]? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 200 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 20кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2000кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 0 p №11. Проведенные измерения времени работы дизельных двигателей одной марки до первого капремонта дали следующие результаты (в часах): 3960 5000 4250 3680 4000 4360 4120 4720 4640 3900 5600 4880 4040 4800 5240 Найти доверительные интервалы для среднего значения моторесурса двигателя с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 y 17,0 16,2 13,3 13,0 9,7 9,9 6,2 5,8 5,7 16 ВАРИАНТ 4 №1. В партии из десяти деталей восемь стандартных. Определить вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных из партии деталей есть хотя одна стандартная. №2. По линии связи, имеющей четыре приемно-передающих пункта, передается сообщение. Вероятность того, что сообщение будет искажено на первом, втором, третьем и четвертом пункте соответственно равна 0,1; 0,15; 0,2 и 0,25. Какова вероятность получения неискаженного сообщения? №3. ОТК проводит контроль выпускаемых приборов. Приборы содержат скрытые дефекты с вероятностью, равной 0,15. При проверке наличие дефекта обнаруживается с вероятностью 0,9. Кроме того, с вероятностью 0,05 исправный прибор может быть ошибочно признан дефектным. При обнаружении дефекта приборы бракуются. Определить вероятность того, что забракованный прибор имеет дефект. №4. Игрок набрасывает кольца на колышек, вероятность удачи при этом равна 0,1. Определить вероятность того, что из шести колец на колышек попадут хотя бы два. №5. В некотором городе в среднем за один год рождаются 12300 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Определить вероятность того, что в данном городе за год мальчиков родится меньше, чем девочек. №6. Металлические трубы, каждая длиной восемь метров, имеют среднюю концентрацию микродефектов в 0,375 микродефекта на один погонный метр. Определить вероятность того, что данная труба будет бракованной, если по техническим причинам допускается не более пяти микродефектов на каждую трубу. №7. В круге радиуса r находится круг вдвое меньшего радиуса. В большой круг случайным образом брошены три точки. Попадание точки в любое место большого круга равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших в круг меньшего радиуса. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 2 ( , 1 ]; 2 , 0 [ ), 3 ( ); 0 , ( , 0 ) ( 3 x x x x B A x x F 17 Определить параметры A и , B найти выражение для плотности вероятности ) (x f , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [-0,5;0,5]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 0 a и средним квадратическим отклонением 1 Что больше: } 1 , 0 5 , 0 { X P или } 2 1 { X P ? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(F)=220кг и средним квадратическим отклонением ϭ(F)=24кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2400кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной p 0 =0,9. №11. Максимальная толщина снегового покрова за последние 15 лет в данной местности по данным наблюдений была равна (в сантиметрах): 50 48 52 53 54 61 52 50 48 54 53 50 46 53 61 Найти доверительные интервалы для среднего значения толщины снегового покрова с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что искомая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 7,9 11,6 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6 25,2 y 13,0 22,8 24,8 28,6 31,6 38,7 40,0 44,9 43,0 44,3 |