Пммсс. Задачник-1. М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2
 Скачать 2 Mb.
|
№1. На складе имеется 20 контрольно-измерительных приборов, но только 12 из них оттарированы. Определить вероятность того, что из пяти наудачу взятых приборов четыре оттарированы. №2. Надежность (вероятность безотказной работы за данный промежуток времени Т) каждого прибора равна 0,6. Сколько приборов надо включить параллельно, чтобы довести надежность всей системы до 0,95? №3. На складе имеются электролампы, изготовленные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым, а остальные – вторым заводом. Известно, что из каждых 100 ламп, произведенных первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из 100 ламп, произведенных вторым, 80 удовлетворяют стандарту. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта. №4. Станок-автомат производит 70% всех изделий первым сортом, а остальное – вторым. Требуется установить, что является более вероятным – получить два первосортных изделия из пяти наудачу отобранных или пять первосортных из десяти. №5. По данным технического контроля в среднем 10% изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных часов не менее 350 штук не будет нуждаться в дополнительной регулировке? №6. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; в) более двух вызовов. №7. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за объектом, объект обнаруживается с вероятностью 0,8. При обнаружении объекта обзор прекращается, при этом производится не более трех циклов обзора. Дискретная случайная величина – число произведенных циклов обзора. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: ). , 1 [ , ); 1 , ( , 0 ) ( 4 x x a x x f 19 Найти коэффициент а, функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0,2]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина X – ошибка измерений прибора распределена по нормальному закону с дисперсией 0,16 мм 2 Систематические ошибки отсутствуют. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по модулю 0, 6 мм. №10. Найти необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 225 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 25кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2400кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p №11. Проведенные испытания на растяжение образцов конструкционной стали дали следующие значения для максимального напряжения (кг/ 2 см ): 3100 4000 3800 4100 3400 4200 3700 3900 3200 4100 3800 4200 3500 4000 3900 Найти доверительные интервалы для среднего значения максимального напряжения с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 30 29,1 28,4 28,1 28,0 27,7 27,5 27,2 27,0 26,8 20 ВАРИАНТ 6 №1. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Определить вероятность того, что номер набран правильно. №2. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при пожаре датчик сработает, для первого и второго соответственно равны 0,9 и 0,95. Определить вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик. №3. На конвейер поступают однотипные изделия, изготовленные двумя рабочими. При этом первый поставляет 60%, а второй – 40% общего числа изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим, окажется нестандартным, равна 0,005, вторым – 0,01. Взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено первым рабочим. №4. Вероятность попадания в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что при десяти независимых выстрелах будет не менее семи попаданий в десятку. №5. К техническому водопроводу подключено 160 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0,7 в данный момент времени осуществляет отбор воды из магистрали. Определить вероятность того, что в этот момент забор воды производят не менее 80 и не более 120 предприятий. №6. На один кубический метр грунта в среднем приходится два крупных камня. Найти вероятность того, что в ковш экскаватора емкостью в три кубических метра попадет: а) не более пяти камней; в) ровно два камня. №7. В квадрате со стороной a находится квадрат со стороной 2 a На больший квадрат случайным образом попадают три точки. Попадание точки в любое место квадрата равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших на маленький квадрат. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , ( , 1 ]; , [ ), 1 ( 2 1 ); , ( , 0 ) ( b x b a x x a x x F 21 Определить параметры а и b , найти выражение для плотности вероятности, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [-1,2]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Вес груза одного вагона - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 2 т. Найти вероятность того, что вес груза очередного вагона не превышает 70 т. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием кг 190 ) ( F M и средним квадратическим отклонением ) (F 25кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2600кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 0 p №11. Проведены контрольные испытания 16 осветительных ламп. Их срок службы оказался равным (в часах): 2500 2640 3120 3500 3200 3010 2780 2850 2990 3620 3200 2400 3520 3120 3000 3010 Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной случайной величиной, найти доверительные интервалы для среднего срока службы с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 y 5,1 7,8 11,2 14,3 16,9 26,4 27,9 27,5 30,2 37,5 22 ВАРИАНТ 7 №1. В физкультурной группе 11 спортсменов и среди них 6 перворазрядников. Определить вероятность того, что среди пяти случайно выбранных спортсменов окажется три перворазрядника. №2. Определить вероятность разрыва электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность выхода из строя элементов A, B, C соответственно равна 0,6; 0,5 и 0,7. №3. Прибор может работать в двух режимах: A и B. Режим А наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, режим В – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в режиме А равна 0,1, а в режиме В – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время Т. №4. На стройку должно быть завезено 6 партий отделочных материалов. Вероятность того, что каждая данная партия будет завезена в соответствии с графиком, равна 0,8. Определить вероятность того, что не менее 4 партий будет доставлено в срок. №5. На плотине установлено 220 тензодатчиков. Вероятность неправильного подключения к измерительной установке каждого из них равна 0,05. Определить вероятность того, что неправильно подключено не более 15 датчиков. №6. Отвальный щит бульдозера захватывает полосу грунта шириной 2,5 метра. Средняя концентрация крупных камней на одном квадратном метре площади равна 0,04 камня. До сбрасывания грунта бульдозер каждый раз проходит 40 метров. Какова вероятность захвата: а) не более 4 крупных камней; б) ровно трех камней. №7. ЭВМ подвергается тестированию с целью локализации дефекта. Для этого применяется последовательно три теста: . T , T , T 3 2 1 При обнаружении дефекта тестирование прекращается. Вероятности локализации дефекта при тестах 3 2 1 T , T , T соответственно равны 0,7; 0,9 и 0, 95. Дискретная случайная величина – число произведенных тестирований. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F 23 №8. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: ]. 2 , 0 [ , 0 ]; 2 , 0 [ , 2 1 ) ( x x x A x f Найти коэффициент A, функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [-1,1]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Завод изготавливает арматурные стержни, длина которых является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 3,2м и средним квадратическим отклонением 0,03 м. Найти вероятность того, что длина наугад взятого стержня не превосходит 3,25 м. №10. Найти необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 120 ) F ( M кг и средним квадратическим отклонением ) F ( 15кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2100кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 p 0 №11. Оценивается процентное содержание некоторой компоненты в исследуемом материале. Проведенные измерения для 16 проб дали следующие результаты: 33,0 31,0 32,5 27,5 29,0 31,0 32,5 33,0 33,5 34,0 29,0 31,0 32,5 33,0 33,5 33,0 Найти доверительные интервалы для среднего значения процентного содержания с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. Принять, что определяемый параметр распределен по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0,1 0,91 0,90 1,5 2,00 2,20 2,62 3,00 3,30 3,52 y 0,15 0,20 0,43 0,35 0,52 0,81 0,68 1,15 1,22 1,37 24 ВАРИАНТ 8 №1. В книжной лотерее разыгрывается пять книг. Всего в урне имеется 30 билетов. Первый подошедший к урне вынимает четыре билета. Определить вероятность того, что два из этих билетов окажутся выигрышными. №2. Три стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся. №3. На сборку поступает однотипные детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50%, второе – 30% и третье – 20% всего количества. Вероятность появления брака для первого, второго и третьего предприятия соответственно равны 0,05; 0,1 и 0,15. Выборочный контроль обнаружил бракованную деталь. Какова вероятность того, что брак произошел по вине второго предприятия. №4. В мастерской имеется 12 моторов. Вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой. №5. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется не менее 100 девочек, если среди поступивших в школы мальчики составляют в среднем 48%. №6. Трос состоит из 200 отдельных стальных жил (проволок). Вероятность того, что одна жила не удовлетворяет техническим условиям, равна 0,015. Трос относят ко второму сорту, если в нем более четырех дефектных жил. Определить вероятность того, что трос второго сорта. №7. Прямоугольник со сторонами l 1 и l 2 разделен на четыре равные части, одна из которых заштрихована. На прямоугольник брошены три точки. Попадание точки в любое место прямоугольника равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших на заштрихованную часть. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 4 ( , 1 ]; 4 , 1 [ , ); 1 , ( , 0 ) ( x x b ax x x F Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности ) (x f , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что 25 случайная величина примет значение в интервале [2,3]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 10. Какова дисперсия этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по модулю не превышало 0,2? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 150 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 15кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 1800кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p №11. Оценивается концентрация примеси некоторого вещества в исследуемом материале. Получены следующие результаты: 5,0 5,3 5,5 5,7 4,5 4,9 5,0 5,3 5,8 4,2 4,5 4,8 4,9 5,0 5,3 5,5 5,7 Найти доверительные интервалы для средней концентрации данного вещества с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что результаты измерений распределены по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 41 50 81 104 120 139 154 180 208 241 y 4 8 10 14 16 20 19 23 26 30 26 ВАРИАНТ 9 №1. На складе телеателье имеется пятнадцать кинескопов, причем десять из них изготовлены московским, а остальные львовским заводами. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых кинескопов окажется три кинескопа, изготовленных московским заводом. №2. На автоматической линии, состоящей из четырех последовательно работающих станков, деталь проходит обработку. Вероятность появления брака для первого, второго, третьего и четвертого станков соответственно равны 0,05; 0,06; 0,07 и 0,08. Деталь бракуется, если брак допущен хотя бы одним станком. Определить вероятность появления бракованной детали для всей линии. №3. Детали, поступающие на сборку, изготовлены тремя заводами, причем первый поставляет 40% всего количества и вероятность того, что они отличного качества, равна 0,8, второй – 30% с вероятностью отличного качества 0,7 и третий 30% с вероятностью отличного качества 0,9. Определить вероятность того, что оказавшаяся не отличного качества деталь изготовлена на третьем заводе. №4. В магазин вошли восемь покупателей. Найти вероятность того, что три из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого покупателя равна 0,3. №5. В здании института имеется 6000 электроламп, вероятность включения каждой из которых равна 0,5. Определить вероятность того, что число одновременно включенных электроламп будет заключено между 2800 и 3200. №6. В течение часа коммутатор получает в среднем тридцать вызовов. Телефонистка отлучилась на две минуты. Какова вероятность того, что за это время: a) не поступит ни одного вызова; б) поступит более двух вызовов. №7. Стрелок имеет три патрона. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,8. При попадании в мишень стрельба прекращается. Дискретная случайная величина – число израсходованных патронов. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , ( , 1 ]; , [ , 8 1 ); , ( , 0 ) ( 3 b x b a x x a x x F 27 Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности ) (x f , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [1,3]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Завод изготавливает арматурные стержни, длина которых является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 3,2 м. и средним квадратическим отклонением 0,03 м. Найти вероятность того, что длина наугад взятого стержня будет не менее 3,15 м. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 60 ) ( q M кг/м и средним квадратическим отклонением ) (q 6кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 1800кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 0 p №11. По результатам наблюдений за суммарными годовыми осадками в данной местности за 17 лет были получены следующие данные (в миллиметрах): 993 969 993 878 1060 961 1002 960 1054 969 1018 902 1054 1093 1015 1012 1010 Найти доверительные интервалы для среднего суммарного значения годовых осадков с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемый параметр имеет нормальное распределение. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 35 44 73 97 114 126 141 166 202 250 y 3 6 8 11 14 18 21 22 24 31 |