Пммсс. Задачник-1. М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2
 Скачать 2 Mb.
|
№1. В группе из 12 человек четверо имеют спортивные разряды. Случайным образом группа разбивается на две команды с одинаковым числом участников. Определить вероятность того, что в каждой команде окажется равное число разрядников. №2. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток для первого, второго и третьего узла соответственно равна 0,9; 0,95 и 0,85. Определить вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно. №3. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников, 15 – второразрядников и 20 третьеразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0,2, для второразрядника эта вероятность – 0,1, а для третьеразрядника – 0,05. Случайно выбранный участник выиграл. С какой вероятностью это был третьеразрядник? №4. Среди имеющихся на складе контрольно-измерительных приборов только 60% оттарированы. Определить вероятность того, что из пяти случайно взятых приборов четыре оттарированы. №5. Известно, что 60% всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов выпускается первым сортом. Определить вероятность того, что в партии из 200 аппаратов первосортных окажется не меньше половины. №6. В камере Вильсона в среднем регистрируется 15 элементарных частиц в час. Определить вероятность того, что в течение двадцати минут будет зарегистрировано: а) хотя бы 2 частицы; б) ровно три частицы. №7. В полукруге находится круг вдвое меньшего диаметра. В полукруг наудачу бросаются три точки. Попадание точки в любое место полукруга равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших в круг. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 2 ( , ]; 2 , 0 [ , ); 0 , ( , 0 ) ( x b x ax x x F 29 Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности ) (x f , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0,5;1,5]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина X – ошибка измерений прибора – распределена по нормальному закону. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти среднее квадратическое отклонение, если ошибка измерения с вероятностью 0,8 не выходит за пределы 20 м. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 220 ) ( q M кг/м и средним квадратическим отклонением ) (q 24 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2400кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p №11. Измерения времени, необходимого для изготовления определенной детали, дали следующие результаты (в минутах): 10,1 11,2 9,8 11,3 12,5 10,1 11,1 11,8 13,0 11,5 10,7 10,0 10,6 11,8 11,3 10,5 11,5 12,4 Предполагая, что определяемое время распределено по нормальному закону, найти доверительные интервалы для среднего значения времени с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b ax y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 1,5 4,0 5,0 7,0 8,5 10,0 11,0 12,5 14,0 15,5 y 5,0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 11,3 9,2 11,8 12,3 30 ВАРИАНТ 11 №1. Найти вероятность того, что дни рождения случайных 12 человек придутся на разные месяцы года. №2. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется набирать номер не более трех раз. Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная? №3. При проверке посевных качеств зерен пшеницы установлено, что все зерна могут быть разбиты на четыре группы. К первой группе относится 96% всех зерен, ко второй, третьей и четвертой относятся соответственно 2%, 1% и 1%. Вероятности того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, для семян первой, второй, третьей и четвертой групп соответственно равны: 0,5; 0,2; 0,18 и 0,02. Определить вероятность того, что из взятого наудачу зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. №4. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Определить вероятность того, что сообщение из десяти знаков содержит ровно три искажения. №5. В специализированный магазин радиоаппаратуры поступило 150 цветных телевизоров. Вероятность того, что телевизор требует регулировки перед продажей, равна 0,4 для каждого из них. Определить вероятность того, что не менее 50 и не более 80 телевизоров потребуют дополнительной регулировки. №6. Среднее число ошибочных соединений узла связи за смену (8 ч.) равно 16. Найти вероятность того, что за два часа будет не менее трех ошибочных соединений. №7. Отрезок разделен на две части в отношении 2:1. На этот отрезок брошены три точки. Попадание точки в любое место отрезка равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших на большую часть отрезка. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: 2 , 0 , 0 ; 2 , 0 , 2 sin ) ( x x x A x f 31 Определить коэффициент A, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале ; 4 Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Диаметр валиков, изготовленных станком-автоматом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 10 мм и средним квадратическим отклонением 0,1 мм. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,99 будут заключены диаметры изготовленных валиков. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 60 ) ( q M кг/м и средним квадратическим отклонением ) (q 6кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2000кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 0 p №11. Проведенные измерения погрешности в установке опорных колонн дали следующие результаты (в миллиметрах): 4,3 4,4 4,2 4,3 4,4 4,5 4,3 4,6 4,4 4,1 4,3 4,4 4,5 4,3 4,5 4,4 4,2 4,3 Найти доверительные интервалы для средней погрешности в установке колонн с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемый параметр имеет нормальное распределение. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить параметры a и b методом наименьших квадратов. x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 y 10,15 5,52 4,08 2,85 2,11 1,62 1,41 1,30 1,21 32 ВАРИАНТ 12 №1. Имеется 6 деталей первого сорта, 5 – второго сорта, 4 – третьего сорта. Какова вероятность того, что среди 3 случайно выбранных деталей окажутся детали всех сортов? №2. На стройку от разных поставщиков должны поступить 4 партии материалов. Вероятности того, что партии будут доставлены в срок, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7 и 0,95. Найти вероятность того, что хотя бы одна партия не будет доставлена в срок. №3. Вероятность того, что изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту, равна 0,96. Предлагается упрощенная система контроля, которая пропускает с вероятностью 0,98 изделия, удовлетворяющие стандарту, и с вероятностью 0,05 изделия, не удовлетворяющие стандарту. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее такой контроль, удовлетворяет стандарту? №4. Прибор состоит из 8 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени T) каждого узла равна 0,9. Найти вероятность того, что за время T откажет не более двух узлов, если узлы выходят из строя независимо друг от друга. №5. Вероятность того, что после одного учебного года учебник будет нуждаться в новом переплете, равна 0,25. Определить вероятность того, что не менее 960 и не более 1050 учебников будет необходимо переплести заново, если фонд учебной библиотеки состоит из 4000 книг. №6. На один кубический метр грунта приходится в среднем 2 крупных камня. Найти вероятность того, что в ковше экскаватора емкостью в 2,5 кубических метра окажется: а) более четырех крупных камней; б) ровно четыре крупных камня. №7. Имеются два ящика с типовыми элементами замены. В первом ящике 12 исправных и 3 неисправных элемента, а во втором 15 исправных и 5 неисправных элементов. Из каждого ящика наугад вынимается для использования по одному элементу. Дискретная случайная величина – число исправных элементов среди вынутых. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ) 1 , 1 ( , 0 ; ) 1 , 1 ( 1 ) ( 2 x x x C x f 33 Определить коэффициент С, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (0,5; 1). Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Ошибка взвешивания - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равным 5 г. Найти вероятность того, что взвешивание произведено с ошибкой, не превышающей 10 г. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 210 ) ( q M кг/м и средним квадратическим отклонением ) (q 20 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2200кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 0 p №11. Проведенные измерения емкости каждого из 19 конденсаторов дали следующие результаты (в микрофарадах): 3,5 3,8 4,0 4,3 4,0 4,3 3,7 4,3 4,5 3,8 4,0 3,8 4,0 4,3 3,7 4,3 3,7 4,0 4,3 Найти доверительные интервалы для среднего значения емкости конденсаторов с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что емкость конденсаторов распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 21 24 28 30 34 35 36 39 40 y 2 1,3 1,2 1,3 1,1 1,1 1,0 1,1 1,1 34 ВАРИАНТ 13 №1. На одинаковых карточках выписаны все натуральные числа от 1 до 25 включительно. Случайным образом вынимаются две карточки. Определить вероятность того, что на этих карточках будут написаны простые числа. №2. Стрелок производит три выстрела по движущейся мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,1, при втором – 0,3 и при третьем – 0,5. Определить вероятность хотя бы одного попадания. №3. Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находится по два белых и два черных шара, а в одной – пять белых и один черный. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров? №4. В телевизионной студии имеется четыре телевизионных передающих камеры. Вероятность того, что одна камера в данный момент времени включена, равна 0,6. Определить вероятность того, что в данный момент включены: а) ровно две камеры; б) хотя бы одна камера. №5. Из поступившей большой партии зерна, в которой доля крупных зерен составляет 20%, отбирают для пробы 1000 зерен. Определить вероятность того, что число крупных зерен в этой пробе окажется не менее 180 и не более 220. №6. Прибор состоит из 2000 однотипных элементов, причем вероятность отказа для каждого из них равна 0,0005. Определить вероятность отказа прибора, если он происходит при отказе хотя бы одного элемента. №7. В лифт пятиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Дискретная случайная величина – число человек, выходящих на четвертом этаже. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ] , 0 [ , 0 ; ] , 0 [ sin ) ( x x x C x f 35 Определить коэффициент С, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 2 , 2 Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой OX. Средняя дальность полета снаряда равна a. Предполагая, что дальность полета снаряда распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 80 м, найти какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 до 160 м. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 200 ) ( q M кг/м и средним квадратическим отклонением ) (q 20 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2400кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p №11. Испытания на продолжительность работы радиоламп определенного типа дали следующие результаты (в часах): 1800 1200 2400 600 1800 1200 2400 3000 1800 1200 2400 900 1200 1800 2400 3000 1200 2400 1800 Предполагая, что определяемый параметр распределен по нормальному закону, найти доверительные интервалы для среднего значения времени работы с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 16,50 13,75 13,31 12,50 13,75 12,36 12,83 12,50 11,83 36 ВАРИАНТ 14 №1. Имеются четыре одинаковые карточки: две с буквой М и две с буквой А. Определить вероятность того, что ребенок, не умеющий читать, выкладывая карточки одну после другой, составит слово “МАМА”. №2. На станции очистки сточные воды последовательно проходят три фильтра. Первый фильтр поглощает вредные компоненты с вероятностью 0,7, второй – с вероятностью 0,8 и третий – с вероятностью 0,9. Определить вероятность того, что после прохождения всех трех фильтров вода не будет содержать вредных компонентов. №3. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно: станки первого типа производят 90% продукции отличного качества, второго – 85% и третьего – 80%. Все изготовленные за смену детали поступают на склад в одну емкость. Определить вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется высшего качества, если станков первого типа имеется 10 штук, второго – 6 и третьего – 4. №4. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Проведено десять бросков. Что вероятнее, он забросит мяч в корзину шесть или восемь раз? №5. Вероятность выхода из строя за время T одного конденсатора равна 0,02. Определить вероятность того, что за это время из 600 конденсаторов из строя выйдут не более 20 штук. №6. При работе ЭВМ в среднем за пять часов происходит два сбоя в ее работе. Определить вероятность того, что за 30 минут работы машины: а) произойдет не более одного сбоя; б) не произойдет ни одного сбоя. №7. В лотерее 200 билетов, из них 10 выигрышных. Куплено два билета. Дискретная случайная величина – число выигрышных билетов среди купленных. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ] 3 , 1 [ , 0 ; ] 3 , 1 [ ) ( 2 x x ax x f Определить параметр a, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0,5; 2]. Построить графики ) (x F и ). (x f 37 №9. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 50 мм и средним квадратическим отклонением 0,9 мм. В каких границах, симметричных относительно математического ожидания, следует ожидать размер детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,92? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 90 ) q ( M кг/м и средним квадратическим отклонением ) q ( 10 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2500кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 p 0 №11. Даны промежутки времени ремонта систем газопроводов Московской области из-за разрывов сварных швов и коррозионных повреждений (в часах): 2,33 3,00 3,43 5,33 5,55 5,50 6,00 6,00 6,75 7,00 7,25 7,33 7,50 10,00 10,58 11,00 11,00 11,70 11,75 Найти доверительные интервалы для среднего значения определяемой величины с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина имеет нормальное распределение. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 5,67 4,45 3,84 3,74 3,73 2,18 2,06 1,87 1,75 y 6,8 8,5 10,50 10,20 6,8 11,8 12,2 13,4 13,7 |