ВАРИАНТ 25
№1. В прямоугольном броневом щите размерами 2м на 1м имеется невидимая для противника амбразура размерами 10см на 10см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
№2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность безотказной работы элементов
А, В, С и D соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.
№3. События
2 1
H
и
H
образуют полную группу событий. Известно, что
3
,
0
)
H
(
P
,
3
,
0
)
A
(
P
,
2
,
0
)
H
/
A
(
P
2 1
Найти
).
A
/
H
(
P
2
№4. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся машины содержит цифру три один раз, если известно, что номера машин состоят из буквенного кода и четырехзначных чисел, неповторяющихся и равновозможных.
№5. Читальный зал института рассчитан на 300 студентов, каждый из которых с вероятностью 0,2 берет на абонементе англо-русский словарь. Сколько таких словарей должно быть на абонементе, чтобы с вероятностью 0,85 можно было обеспечить всех желающих?
№6. Вероятность разрушения бетонного образца при испытании на сжатие равна
0,01. Определить вероятность того, что в партии из 300 образцов разрушится: а) ровно два образца; в) не более четырех образцов.
№7. Два стрелка имеют по два патрона и стреляют поочередно по одной мишени.
Стрельба, которую начинает первый стрелок, ведется до первого попадания.
Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым стрелком
– 0,7. Дискретная случайная величина – число израсходованных патронов.
Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения
).
(x
F
Построить график
)
(x
F
№8. Плотность вероятности некоторой непрерывной величины задана следующим образом:
59 2 , 2 , 0 ; 2 , 2 , cos 3 ) ( aaxaaxaxxf Найти коэффициент a, функцию распределения ) ( xF, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 18 , 0 . Построить графики ) ( xFи ). ( xf№9. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 4,5 и дисперсией 0,25. Какова вероятность того, что при трех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал [4,5 ; 5,0]? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q)=100кг/м и средним квадратическим отклонением ) ( q 10кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2500кг/м 2 , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p№11. При отработке технологии производства нового материала сделано 20 проб и получены следующие значения содержания примесей ( в процентах): 1,8 2,3 1,5 1,8 2,5 1,8 2,3 2,8 1,5 1,8 2,5 3,0 1,8 2,3 2,8 1,5 1,8 2,5 2,3 1,8 Найти доверительные интервалы для среднего процента с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что процентное содержание примесей распределено по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , c bx ax y 2 определить коэффициенты a , b и с методом наименьших квадратов. x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 4,22 5,45 5,94 y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,25 4,33 12,8 16,85
60
ВАРИАНТ 26
№1. Определить вероятность угадать три числа в игре «Спортлото – пять из тридцати шести».
№2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность безотказной работы элементов
А
1
, А
2
, А
3
, А
4
за это время соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8 и 0,8.
№3. В цехе первый, второй и третий станки изготавливают соответственно 25%,
35%, и 40% всех выпускаемых болтов. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Случайно взятый со склада болт оказался дефектным. Определить вероятность того, что он изготовлен на втором станке.
№4. Вероятность того, что образец цементного камня выдержит 10 циклов замораживания – размораживания равна 0,7. Испытывается партия из десяти образцов. Определить вероятность того, что не менее восьми образцов выдержат испытания.
№5. За смену изготавливается 2000 однотипных узлов некоторого прибора.
Вероятность того, что узел придется отправлять на дополнительную регулировку, равна 0,4. Вероятность того, что число отправляемых на дополнительную регулировку узлов не превысит К, равна 0,95. Определить К.
№6. В среднем на один квадратный метр поверхности искусственного спутника попадает за время его работы на орбите 400 микрометеоритов. Определить вероятность попадания более трех микрометеоритов на стекло иллюминатора, если его площадь равна 100 см
2
№7. Стрелок имеет четыре кумулятивные гранаты и ведет ими стрельбу по танку до его поражения. Вероятности поражения танка при первом, втором и т.д. выстрелах соответственно равны 0,7; 0,7 ; 0,8 и 0,9. Дискретная случайная величина - число использованных гранат. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения
)
(x
F
. Построить график
)
(x
F
№8. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана графически:
61 Найти коэффициент а, функцию распределения ) ( xF, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 6 ; 2 . Построить график ) ( xF№9. Вес 1м 2 бумаги, используемой для производства высококачественных обоев, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 70г и средним квадратическим отклонением 5г. Найти вероятность, что вес 1м 2 не превысит 78г. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q) = 100 кг/м и средним квадратическим отклонением (q) = 10 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным = 2000 кг/ см 2 , а вероятность с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной р 0 = 0,8. №11. 11 При разработке норматива времени необходимого для изготовления определенной конструкции из железобетона были получены следующие данные хронометража ( в часах): 15 17 16 18 17 20 22 16 17 20 23 16 17 18 20 22 15 16 17 18 Найти доверительные интервалы для среднего значения измеряемого параметра с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения с надежностью 0,99. Принять, что определяемый параметр распределен по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что х и у связаны зависимостью cbxaxy 2 , определить коэффициенты а, b, с методом наименьших квадратов. х 1 2 3 4 5 6 7 8 у 100,0 85,6 74,4 65,3 56,7 43,4 40,8 34,8
62
ВАРИАНТ 27
№1. Рассматриваются всевозможные пятизначные числа. Определить вероятность того, что все цифры случайно выбранного пятизначного числа различны.
№2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность безотказной работы элементов
А
1
, А
2
, А
3
, А
4
за это время соответственно равна 0,6; 0,7;0,8 и 0,9.
№3. События Н
1
и Н
2
образуют полную группу событий. Известно, что
Р(А/Н
1
) = 0,2, Р(А) = 0,7, Р(А/Н
2
) = 0,8. Найти Р(Н
1
).
№4. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми, если ничейный исход партии исключается?
№5. За смену производится 2000 деталей которые за тем сортируются и складируются в два соответствующих контейнера. Вероятность изготовления деталей первого сорта 0,6, второго сорта - 0,4. На какое количество деталей должен быть рассчитан каждый контейнер, чтобы с вероятностью 0,9 он не был переполнен к концу смены?
№6. Трубы длиной 6м имеют случайное распределение микродефектов, средняя концентрация которых равна 0,1 микродефект на один погонный метр трубы.
Определить вероятность того, что данная труба имеет: а) ровно 2 микродефекта; б) не более двух микродефектов.
№7. В партии из восьми деталей находятся две второсортные. Последовательно одна за другой вытаскиваются случайным образом две детали. Дискретная случайная величина – число второсортных деталей среди вытащенных. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения
)
(x
F
. Построить график
)
(x
F
№8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
;
3
,
1
'
3
;
0
,
sin
,
0
;
,
0
)
(
x
x
x
b
a
x
x
F
Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности
)
(x
f
, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что
63 случайная величина примет значение в интервале 6 ; 1 . Построить графики ) ( xF и ) ( xf№9. Диаметр выпускаемой детали - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и дисперсией 0,04 см 2 . Найти вероятность того, что три наудачу взятые детали имеют диаметр в пределах от 4,5 см до 5,2 см. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q) = 50 кг/м и средним квадратическим отклонением (q) = 5 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным = 2100 кг/ см 2 , а вероятность с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной р 0 = 0,95. №11. Даны значения промежутков времени (перерывов в газоснабжении по Московской области),вызванных повреждениями на газопроводах среднего и высокого давления ( в ч.): 1,0 2,2 2,6 3,0 4,0 1,3 2,3 2,8 3,0 4,3 1,5 2,5 3,0 5,0 3,0 1,5 2,5 3,0 3,4 4,0 2,0 2,5 3,0 3,8 6,0 Найти доверительные интервалы для среднего значения определяемой величины с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что х и у связаны зависимостью cbxaxy 2 , определить коэффициенты а, b, с методом наименьших квадратов. х -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у -0,71 -0,01 -0,51 0,81 0,88 0,81 0,49 0,34
64
ВАРИАНТ 28
№1. Определить вероятность того, что наугад выбранная шестизначное число составлено из четных цифр
№2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность безотказной работы элементов
А
1
, А
2
, А
3
, А
4
и А
5
за это время соответственно равна 0,6; 0,4 ;0,5; 0,3 и 0,9.
№3. В тире имеется пять различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка из них соответственно равна 0,5; 0,6;
0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из выбранной наугад винтовки.
№4. Отдел технического контроля проверяет некоторые изделия, каждое из которых независимо от других может с вероятность 0,02 оказаться дефектным. Определить вероятность того, что из девяти проверенных изделий дефектными окажутся не более двух .
№5. В механическом цехе работают 120 токарей. Вероятность того, что токарю потребуется резец данного типа, равна 0,2. Сколько резцов данного типа должна иметь инструментальная кладовая, чтобы потребность в них была обеспечена с вероятностью 0,95?
№6. Сколько доз определенного лекарства, для внутривенных вливаний необходимо иметь в машине скорой помощи, чтобы с вероятностью 0,98 его хватило на всю смену (8 часов), если известно, что в среднем за сутки используется 6 таких доз.
№7. При первом включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,7, при втором - с вероятностью 0,9, при третьем включении зажигания двигатель включается всегда. Дискретная случайная величина – число включений зажигания до начала работы двигателя. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения
)
(x
F
Построить график
)
(x
F
№8. График плотности вероятности некоторой случайной величины дан на чертеже:
65
Найти значение параметра а, аналитическое выражение для плотности вероятности
)
(x
f
, функцию распределения
)
(x
F
, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
2
;
0
. Построить график
)
(x
F
№9. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий
7
,
0
Х
или
7
,
0
Х
имеет большую вероятность?
№10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q) =
70 кг/м и средним квадратическим отклонением
(q) = 10 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным
= 2200 кг/ см
2
, а вероятность с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной р
0
= 0,9.
№11. Для определения марки цемента были проведены испытания образцов цементного камня на сжатие, которые дали следующие результаты ( в кг/см
2
)
298 290 298 263 318 288 301 288 316 291 306 271 316 328 305 304 303 291 255 295 296 293 308 316 286
Найти доверительные интервалы для среднего значения измеряемой величины с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что измеряемая величина распределена по нормальному закону.
№12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что х и у связаны зависимостью
c
bx
ax
y
2
, определить коэффициенты а, b, с методом наименьших квадратов. х
0 2
3 4
5 6
8 10
У
4,3 5,1 5,6 7,4 8,8 9,7 10,1 9,4
66 ВАРИАНТ 29 №1. Паркетный пол составлен из прямоугольных плиток размерами 6 на 24см. Определить вероятность того, что упавшая на пол монета полностью окажется на одной плитке, если еѐ диаметр равен 2 см. №2. Вероятность того, что основное взрывное устройство не сработает, равна 0,01, а независимое дублирующее устройство не сработает - 0,02. Найти вероятность взрыва. №3. Проверка агрегатов машины при техническом обслуживании позволяет определить неисправность с вероятностью 0,9. Вероятность ошибочного обнаружения неисправности равна 0,02. Неисправные машины составляют 15% среди всех поступающих на техническое обслуживание машин. Определить вероятность того, что машина неисправна, если она признана исправной. №4. Вероятность того, что муфтовое соединение труб при прессовке водопровода не даст течи, равна 0,9. Рассматриваемый участок водопровода содержит восемь таких соединений. Определить вероятность того, что при этом течь дадут: а)не более двух соединений; б) ровно три соединения. №5. Доля высококачественных деталей, штампуемых преприятием составляет 75%. Сколько деталей можно заказать предприятию, чтобы с вероятностью 0,96 можно было ожидать, что среди заказанных деталей будет не менее 700 высококачественных. №6. Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что из 1500 изделий будет не более трех бракованных. №7. Истребитель, вооруженный тремя ракетами, посылает их в цель. Если цель не поражена ракетой, то запускается следующая. Вероятность поражения цели первой, второй и третьей ракетами соответственно равна 0,8; 0,9; 0,95. Дискретная случайная величина – число выпущенных ракет. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x). №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: 2 2 0 2 2 cos 2 π;πx,;π;πxx,Af(x)= Найти коэффициент А, функцию распределения ) ( xF, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале ; 0 . Построить графики ) ( xF и ) ( xf№9. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку взвешивания 150мг. Номинальный вес
67 порохового заряда 2,3г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5г.
№10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q) =
50 кг/м и средним квадратическим отклонением
(q) = 5 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным
= 2100 кг/ см
2
, а вероятность с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной р
0
= 0,85.
№11. Испытываются теплоизоляционные свойства нового строительного материала
– стеклопора, которые оцениваются условными баллами. Получены следующие результаты:
150 165 160 160 155 160 163 163 180 165 155 165 163 160 170 160 163 165 170 165 150 165 170 155 160
Найти доверительные интервалы для истинного значения определяемого параметра с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от истинного значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемый параметр распределен по нормальному закону.
№12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что х и у связаны зависимостью
c
bx
ax
y
2
, определить коэффициенты а, b, с методом наименьших квадратов. х
12,0 13,1 14,0 16,1 17,4 18,0 20,0 21,4 у
54 59 67 76 85 97 107 118
68
ВАРИАНТ 30
№1. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго.
Найти вероятность того, то все пассажиры выйдут: а) на пятом этаже; б)на разных этажах.
№2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,75.
Стрелки делают по одному выстрелу одновременно. Определить вероятность того, что в цель попадет только один стрелок.
№3. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.
№4. В круге радиусом R = 6 см находится круг радиусом r =
6
cм. В большой круг случайным образом попадает шесть точек, причем попадание точки в любое место круга считается равновозможным. Найти вероятность того, что при этом хотя бы одна точка попадет в маленький круг.
№5. Вероятность повреждения облицовочной плитки при погрузочных работах и транспортировке равна 0,02. Какое количество плиток надо заказать, чтобы с вероятностью 0,99 было доставлено не менее 2000 неповрежденных плиток?
№6. Передвижная ремонтная бригада за смену в среднем использует четыре запасных детали определенного вида. Каким должен быть запас деталей, чтобы с вероятностью 0,89 бригаде не пришлось возвращаться на базу в течение смены?
№7. Прибор состоит из трех узлов и работает в течение длительного времени Т. За это время первый, второй и третий узлы независимо друг от друга выходят из строя с вероятностями, соответственно равными 0,1; 0,2 и 0,1. Дискретная случайная величина – число вышедших из строя узлов. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения
)
(x
F
Построить график
)
(x
F
№8. График плотности вероятности некоторой непрерывной случайной величины дан на чертеже:
Найти коэффициент А, аналитическое выражение для плотности вероятности, функцию распределения
)
(x
F
, математическое ожидание и дисперсию, а
69 также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
0
;
5
,
0
. Построить график
)
(x
F
№9. Случайные ошибки измерения распределены по нормальному закону, с математическим ожиданием 5 см и средним квадратическим отклонением 0,1 см. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,05см.
№10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q) =
50 кг/м и средним квадратическим отклонением
(q) = 10 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным
= 2000 кг/ см
2
, а вероятность с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной р
0
= 0,9.
№11. Время затрачиваемое на бурение шпуров в скальной породе при 25 независимых испытаниях оказалось следующим (в минутах):
10,0 10,3 9,5 10,0 10,3 11,0 12,0 10,0 10,3 9,0 9,5 10,0 10,3 11,0 12,0 12,5 9,5 10,0 10,3 11,0 12,5 10,0 10,3 11,0 12,0
Найти доверительные интервалы для среднего значения определяемой величины с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону.
№12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что х и у связаны зависимостью
c
bx
ax
y
2
, определить коэффициенты а, b, с методом наименьших квадратов. х
0 7
12 17 22 27 32 37 у
100 87,3 72,9 63,2 54,7 47,5 41,4 36,3
|
Скачать 2 Mb.