Пммсс. Задачник-1. М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2
 Скачать 2 Mb.
|
№1. Группу монтажников из 18 человек, среди которых 4 высшей квалификации, разбивают на две одинаковые по численности бригады. Какова вероятность того, что при случайном выборе в каждой бригаде окажутся по 2 специалиста высшей квалификации? №2. Даны вероятности событий 7 , 0 ) ( ; 6 , 0 ) ( ; 4 , 0 ) ( B A P B P A P Найти ) B A ( P ), B / A ( P №3. 40% всех выпускаемых заводом приборов собираются из высококачественных деталей, а остальные – из деталей обычного качества. Надежность (вероятность безотказной работы за время T) прибора, собранного из высококачественных деталей, равна 0,95, а собранного из деталей обычного качества – 0,7. Прибор испытывался в течение времени T и работал безотказно. Найти вероятность того, что прибор был собран из высококачественных деталей. №4. Студент сдает экзамен автоматическому экзаменатору. На каждый вопрос ответ дается в виде “да” и “нет”. Какова вероятность сдать экзамен наудачу, если для этого нужно дать верные ответы не менее чем на семь вопросов из десяти? №5. Во всем здании общежития используется 600 электроламп, каждая из которых может с вероятностью, равной 0,3, перегореть раньше, чем проработает определенный срок. Определить вероятность того, что за данный срок придется заменить не более 200 электроламп. №6. Отвальный щит бульдозера захватывает полосу грунта шириной 2,4м. До сбрасывания грунта бульдозер каждый раз проходит 5м; средняя концентрация камней равна 0,25 камня на один квадратный метр расчищаемой площади. Определить вероятность захвата бульдозером за один раз: а) ровно двух камней; в) более двух камней. №7. Три спортсмена произвели залп по мишени. Вероятности попадания в мишень каждым стрелком одинаковы и равны 0,9. Дискретная случайная величина – число попаданий в мишень. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: 3 , 0 , 0 ; 3 , 0 , 3 sin ) ( x x x A x f 49 Найти коэффициент A, функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 4 , 6 Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что ошибка взвешивания не превзойдет по абсолютной величине 10г. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 200 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 20кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2500кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p №11. Двадцатилетние измерения толщины льда в январе и феврале на акватории водохранилища дали следующие результаты (в сантиметрах): 61 62 64 66 62 68 63 65 62 65 58 65 61 63 65 66 65 62 58 62 Найти доверительные интервалы для средней толщины льда с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемый параметр распределен по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 3,0 1,5 1,0 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 y 11,8 15,7 20,6 26,7 33,7 41,9 51,1 72,9 80,3 50 ВАРИАНТ 21 №1. В ящике лежат 15 плавких предохранителей, отличающихся только силой тока, на которую они рассчитаны. Из них 7 рассчитаны на 10А, 5 – на 8А и 3 – на 5А. Наугад берутся два предохранителя. Определить вероятность того, что они рассчитаны на максимальный ток. №2. Даны вероятности событий 9 , 0 ) ( ; 7 , 0 ) ( ; 5 , 0 ) ( B A P B P A P Найти P(B/A), ) B A ( P ), B / A ( P №3. Путник идет из некоторого пункта 0 и на разветвлении дорог наугад выбирает один из возможных путей. Схема дорог изображена на рисунке. На рисунке указан пункт A и ведущие в него пути. Какова вероятность того, что путник попадет в пункт А. №4. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии в шахматы из шести или четыре партии из восьми, если ничейный исход партии исключается? №5. ОТК проверяет на стандартность 900 деталей, доля стандартных среди которых составляет 90%. Определить вероятность того, что в проверяемой партии стандартными окажутся не менее 800 деталей. №6. Телефонный кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью с помощью этого кабеля можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для каждого абонента необходима одна жила, а вероятность того, что она повреждена, равна 0,0125. №7. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвета. По диску произведены три выстрела. Дискретная случайная величина – число пуль, попавших в белые секторы. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: 51 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝒙𝝐(−∞, −𝟏) ∪ (𝟏, ∞) 𝟐𝒂, 𝒙 ∈ −𝟏, 𝟎 𝒂, 𝒙𝝐 𝟎, 𝟏 Определить коэффициент a , функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале ] 2 ; 0 [ Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Прочность изделия есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 200кг/ 2 cм и средним квадратическим отклонением 20кг/ 2 см . Какую максимальную прочность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,9? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 100 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 12 кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2000кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 8 , 0 0 p №11. Двадцать измерений времени, необходимого для прохождения всего маршрута автобусом, дали следующие результаты (в минутах): 24,0 25,6 27,6 26,2 26,0 26,0 28,4 28,0 29,8 30,0 28,0 31,0 31,8 33,8 33,8 34,0 35,0 36,0 35,4 36,6 Найти доверительные интервалы для среднего времени прохождения маршрута с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. Предполагается, что определяемая случайная величина распределена по нормальному закону №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , 2 c bx ax y определить коэффициенты a , b и с методом наименьших квадратов. x 26 30 34 36 42 46 50 54 y 3,94 4,60 5,67 6,93 8,25 7,73 10,55 12,40 52 ВАРИАНТ 22 №1. Две бригады строителей получают 10 инструментов, среди которых 2 отличного качества. Инструменты случайным образом делятся поровну. Какова вероятность того, что в каждой бригаде будет инструмент отличного качества? №2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени Т, если вероятность безотказной работы элементов А, В и С соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. №3. Проверка агрегатов машины при техническом обслуживании позволяет определить неисправность с вероятностью 0,8. Вероятность ошибочного обнаружения неисправности равна 0,01. Неисправные машины составляют 20% среди всех поступающих на техобслуживание машин. Определить вероятность того, что машина исправна, если она была признана неисправной. №4. Рабочий обслуживает пять станков, каждый из которых может выйти из строя в течение смены с вероятностью 0,01. Определить вероятность того, что по меньшей мере четыре станка проработают всю смену. №5. При изготовлении отливок 20% всего их количества не проходит через отдел технического контроля. Какова вероятность того, что в партии из 400 отливок менее 90 отливок, не прошедших контроль? №6. В среднем на станцию скорой помощи в течение часа поступает 12 вызовов. Определить вероятность того, что за 20 минут поступит: а) ровно четыре вызова; б) не менее трех вызовов. №7. В партии из 8 деталей имеется 6 первосортных. Последовательно одну за другой вытаскивают случайным образом 2 детали. Дискретная случайная величина – число первосортных деталей среди отобранных. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: 2 , 0 , 0 ; 2 , 0 , cos ) ( x x x A x f 53 Найти коэффициент A, функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале , 3 Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 3см и дисперсией 0,16 см 2 Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина примет значение, меньшее, чем 3,5см, а при втором испытании – большее, чем 2,2см? №10. Найти необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 100 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 10кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2100кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 0 p №11. Результаты гидрологических наблюдений в течение 20 лет за величиной годового стока реки (в кубических километрах) приведены ниже: 0,81 0,79 0,85 0,81 0,82 0,81 0,82 0,80 0,81 0,81 0,80 0,79 0,80 0,83 0,79 0,76 0,79 0,74 0,80 0,81 Найти доверительные интервалы для среднего значения годового стока с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , 2 c bx ax y определить коэффициенты a , b и с методом наименьших квадратов. x 0,1 0,3 0,6 1,0 1,2 1,8 2,1 2,7 y 1,34 1,08 0,94 1,06 1,35 2,01 2,62 3,0 54 ВАРИАНТ 23 №1. Имеющиеся четыре билета в театр разыгрываются случайным образом среди пяти юношей и семи девушек. Определить вероятность того, что билеты достанутся двум юношам и двум девушкам. №2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность безотказной работы элементов А, В, С и D соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. №3. Вероятность того, что при бурении скважины будут обнаружены грунтовые воды, равна 0,3. Грунтовым водам сопутствуют твердые породы с вероятностью 0,6. Там, где грунтовых вод нет, твердые породы встречаются с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что при бурении будут обнаружены твердые породы. №4. В семье имеется пять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, определить вероятность того, что в такой семье три девочки и два мальчика. №5. Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна 0,4. Определить вероятность того, что среди 600 пар, поступивших на контроль, окажется не менее 230 пар первого сорта. №6. При артиллерийском обстреле “по площадям” на один гектар попадает в среднем 500 снарядов. Определить вероятность разрушения блиндажа площадью в 20 квадратных метров, если он не выдерживает более двух попаданий. №7. В группе из 12 студентов 3 юноши. Наудачу по номеру в журнале назначаются 2 человека на дежурство. Дискретная случайная величина – число юношей среди назначенных. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. График плотности вероятности некоторой случайной величины дан на чертеже: 55 Найти коэффициент A, аналитическое выражение для плотности вероятности ) (x f , функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале ] 3 , 1 [ . Построить график ) (x F №9. Длина обоев в рулоне - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 18м и средним квадратическим отклонением 0,3м. Найти вероятность того, длина обоев в наугад взятом рулоне не превзойдет 18,5м. №10. Найти необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 100 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 11кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2100кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 85 , 0 0 p №11. В течение короткого промежутка времени измерялась влажность воздуха в цехе, получены следующие данные (в процентах): 49 50 52 48 49 51 48 49 50 53 48 49 52 47 49 50 51 49 51 50 Найти доверительные интервалы для средней влажности воздуха с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , c bx ax y 2 определить коэффициенты a , b и с методом наименьших квадратов. x 0,33 0,66 0,99 1,33 1,66 1,99 2,33 2,66 y 11,86 15,07 20,60 26,69 33,71 43,93 51,13 61,49 56 ВАРИАНТ 24 №1. Прямоугольная металлическая решетка состоит из цилиндрических прутьев радиусом 1см, расстояния между осями прутьев соответственно равны 10см и 15см. Определить вероятность того, что брошенный без прицеливания перпендикулярно решетке мяч радиусом 2см проскочит через нее. №2. Определить вероятность прохождения сигнала по электрической цепи за данный промежуток времени, если вероятность безотказной работы элементов А, В, С и D соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. №3. На двух станках производится одинаковая продукция. Производительность первого станка в два раза больше производительности второго. Вероятность появления брака на первом станке – 0,1, на втором - 0,15. Изготовленные за смену детали складываются в контейнер. Определить вероятность того, что случайно выбранное из контейнера изделие не окажется бракованным. №4. Вероятность того, что электрическая лампа проработает не менее 1000 часов, равна 0,6. Определить вероятность того, что хотя бы одна из пяти ламп проработает весь этот срок. №5. В меню студенческой столовой три первых блюда – борщ, рассольник и харчо. Вероятность того, что подошедший студент возьмет борщ, равна 0,4. Сколько порций борща должно быть изготовлено, чтобы с вероятностью 0,9 удовлетворить спрос, если столовую за смену посещает 400 человек? №6. Корректура книги объемом в 500 страниц имеет 100 опечаток.. Определить вероятность того, что на случайно выбранной странице окажется: а) не более трех опечаток; в) ни одной опечатки. №7. На установке 4 ракеты. Ведется стрельба по цели, вероятность поражения которой выпущенной ракетой равна 0,8. Стрельба ведется до поражения цели. Дискретная случайная величина – число выпущенных ракет. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: ] 1 , 1 [ , 0 ]; 1 , 1 [ |), | 1 ( ) ( x x x A x f 57 Найти коэффициент A, функцию распределения ) (x F , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0,2]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Толщина синтетической пленки есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 0,1мм и средним квадратическим отклонением 0,01мм. Какова вероятность того, что толщина пленки не превысит 0,12мм? №10. Найти необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 2 см / кг 200 ) q ( M и средним квадратическим отклонением ) q ( 15кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2000кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 p 0 №11. Одинаковые образцы сплава должны содержать ровно три грамма серебра. Исследования 20 образцов дало следующее содержание серебра (в миллиграммах): 2960 3010 2980 3000 2950 3000 3040 3010 2980 3000 2960 3010 2980 3000 2950 2960 3010 2980 3000 3000 Найти доверительные интервалы для среднего содержания серебра с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , c bx ax y 2 определить коэффициенты a , b и с методом наименьших квадратов. x 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 y 0,43 0,94 1,91 1,01 4,0 4,56 6,45 8,59 |