Пммсс. Задачник-1. М. Л. Каган, Т. С. Кузина В. Д. Петелина Задание для самостоятельной работы студентов ii курса дневного отделения по разделам "Теория вероятностей и элементы математической статистики". Москва 2012 2
 Скачать 2 Mb.
|
№1. Имеются два “секретных” цифровых замка, открывающихся только при определенном наборе цифр. Один замок имеет на оси шесть дисков, разделенных на пять секторов, второй – пять дисков, разделенных на шесть секторов. Какой замок лучше (для какого замка вероятность открыть его случайным набором цифр меньше)? №2. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом станке, будет первосортная, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Определить вероятность того, что все детали окажутся первосортными. №3. В больницу в среднем поступает 50% больных с заболеванием А, 30% - с заболеванием В и 20% - с заболеванием – С. Вероятность полного излечения болезни А,В и С соответственно равна 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность того, что поступивший в больницу больной будет выписан здоровым. №4. Известно, что 10% всего числа радиоламп не удовлетворяет всем требованиям стандарта. Определить вероятность того, что из четырех взятых наудачу ламп окажется не более одной нестандартной. №5. Для испытаний на прочность изготовлено 600 образцов. Вероятность разрушения образца из-за случайных дефектов его структуры при данной нагрузке равна 0,08. Определить вероятность разрушения: а) ровно 50 образцов; б) не менее 40 и не более 65 образцов. №6. Стенные блоки площадью в шесть квадратных метров имеют случайное распределение микротрещин со средней концентрацией в 0,1 микротрещин на один квадратный метр. Определить вероятность того, что данный блок: а) не имеет ни одной трещины; б) имеет не более трех трещин. №7. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобрано 2 человека. Дискретная случайная величина – число мужчин среди отобранных. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: 2 , 2 , 0 ; 2 , 2 cos ) ( x x x A x f 39 Определить коэффициент А, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 𝟎, 𝝅 𝟒 . Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и дисперсией 0,04 см 2 Найти вероятность того, что размеры диаметра наудачу взятой детали отличаются от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 0,4 см. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 60 ) ( q M кг/м и средним квадратическим отклонением ) (q 10 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2100кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 p 0 №11. Хронометрические измерения времени, необходимого для проведения некоторого технологического процесса, дали следующие результаты (в минутах): 5,0 4,8 5,2 5,3 5,4 6,1 5,0 5,2 4,8 5,4 5,3 5,0 4,8 5,3 5,3 5,4 6,1 4,8 5,2 5,4 Найти доверительные интервалы для среднего значения норматива времени с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,95. Принять, что результаты измерений распределены по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0,5 1,1 1,8 2,3 2,9 3,6 4,2 6,5 8,1 y 4,48 2,81 2,45 2,03 1,87 1,87 1,76 1,70 1,62 40 ВАРИАНТ 16 №1. Группа туристов, состоящая из 15 юношей и 5 девушек, выбирает по жребию дежурных в количестве четырех человек. Определить вероятность того, что в числе выбранных окажутся трое юношей и одна девушка. №2. Вероятность того, что весь комплект стеновых панелей, изготовленных с применением стеклопора, будет высшего качества, равна 0,9. Для комплекта панелей, изготовленных по старой технологии, эта вероятность равна 0,7. Бригада получила три комплекта панелей первого вида и два – второго. Определить вероятность того, что все пять комплектов будут высшего качества. №3. На некоторой фабрике 30% всей продукции производится первой машиной, 25% - второй, а остальная продукция – третьей. Первая машина дает 1% брака, вторая – 1,5% и третья – 2%. Определить вероятность того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной. №4. На отрезок ] 10 , 0 [ l наудачу брошено 5 точек. Определить вероятность того, что две точки попадут на отрезок ]. 5 , 3 [ l 1 Предполагается, что вероятность попадания на любой отрезок пропорциональна его длине. №5. Отдел технического контроля проверяет 400 изделий из всей партии. Вероятность того, что изделие будет бракованное, равна 0,05. Если среди проверенных изделий окажется более 30 бракованных, то вся партия не принимается. Найти вероятность того, что партия будет принята. №6. В течение часа коммутатор получает в среднем 40 вызовов. Определить вероятность того, за три минуты: а) не будет ни одного вызова; б) будет не более двух вызовов. №7. Два сигнализатора срабатывают в аварийной ситуации с вероятностью 0,9 и 0,95. Дискретная случайная величина – число сработавших при аварии сигнализаторов. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом: ; ). , 1 ( , 1 ] 1 , 1 [ , arcsin ); 1 , ( , 0 ) ( x x x b a x x F Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности ), (x f математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что 41 случайная величина примет значение в интервале [0,5;2]. Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Диаметр детали, изготовленной на станке, – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и средним квадратическим отклонением 0,4 см. Найти вероятность того, что размеры двух наудачу взятых деталей имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 0,5 см. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(F)=100кг и средним квадратическим отклонением ϭ(F)=11кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2100кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 85 , 0 0 p №11. Двадцать равноточных измерений момента инерции коленчатого вала относительно оси вращения дали следующие результаты (в кг*м 2 ): 12,0 12,8 13,8 13,1 13,0 12,0 14,2 14,0 14,0 14,9 15,0 15,5 15,9 16,9 16,9 17,0 17,5 18,0 19,3 20,1 Найти доверительные интервалы для истинного значения момента инерции с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что результаты измерений распределены по нормальному закону. №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 1,2 1,8 2,3 3,1 4,1 4,6 5,2 6,7 8,3 Y 5,51 4,72 4,07 3,81 3,40 3,11 3,11 2,88 2,83 42 ВАРИАНТ 17 №1. Цифровой замок имеет четыре диска, каждый из которых разделен на шесть секторов. Замок открывается только при определенной цифровой комбинации. Определить вероятность того, что при случайной установке дисков замок откроется. №2. Буквы, составляющие слово “ремонт”, выписаны каждая на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешиваются, после чего вынимаются четыре из них в определенном порядке. Какова при этом вероятность получить слово “море”? №3. Объект возводят три бригады монтажников. Вероятности того, что каждая бригада допустит нарушение технологии при монтаже одного блока, равны соответственно 0,01; 0,015 и 0,02. Первая бригада выполнила 50% всего объема работ, вторая – 30%, третья – 20%. Какова вероятность того, что выбранный случайным образом блок смонтирован с нарушением технологии? №4. Рабочий обслуживает четыре станка, каждый из которых может выйти из строя в течение смены с вероятностью 0,02. Определить вероятность того, что из строя выйдут не более двух станков. №5. К цеховой магистрали сжатого воздуха подключено 100 пневматических инструментов, каждый из которых работает в данный момент времени с вероятностью 0,4. Магистраль не перегружена, если число работающих одновременно инструментов не превышает 50. Найти вероятность того, что магистраль в данный момент не перегружена. №6. Образец радиоактивного вещества в среднем за 10 секунд испускает четыре заряженные частицы. Найти вероятность того, что за две секунды образец испустит: а) хотя бы одну частицу; б) ровно одну частицу. №7. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8, а при втором – 0,95. Дискретная случайная величина – число попаданий при двух выстрелах. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: , 4 , 1 , 4 , 4 , 2 sin , 4 , , 0 ) ( x x x b a x x F 43 Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 6 , 0 Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Систематическая ошибка измерения дальности до объекта равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 100м. Найти вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной. №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 150 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 10 кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2000кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 9 , 0 0 p №11. Изготавливаются одинаковые детали на станке-автомате с минусовыми допусками. Измерения отклонения размера детали от заданного дали следующие результаты (в миллиметрах): 0,14 0,18 0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,26 0,14 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,10 0,14 0,18 0,14 Найти доверительные интервалы для среднего значения отклонения от заданного размера с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Предполагается, что измеряемый параметр распределен по нормальному закону №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0,1 0,3 0,9 1,5 2,1 2,4 3,1 4,1 5,3 y 31,3 10,1 3,85 2,25 1,81 1,44 1,30 0,98 0,91 44 ВАРИАНТ 18 №1. 30 каменщиков, среди которых 6 высшего разряда, разбиты случайным образом на 3 бригады по 10 человек в каждой. Какова вероятность того, что все каменщики высшего разряда попадут в первую бригаду? №2. Механизм состоит из трех узлов. Вероятность брака при изготовлении первого узла равна 0,008, второго узла – 0,012, третьего – 0,01. Определить вероятность появления брака при изготовлении всего механизма. №3. В партии из 600 радиоламп 200 изготовлены на первом заводе, 250 – на втором и остальные на третьем. Вероятность того, что лампа, изготовленная на первом заводе, окажется стандартной, равна 0,97, на втором заводе - 0,91 и на третьем - 0,95. Наудачу взятая лампа оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она изготовлена на первом заводе. №4. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Определить вероятность того, что сообщение из десяти знаков содержит не более двух искажений. №5. Сдается 400-квартирный дом. Вероятность того, что в одной квартире будут обнаружены строительные недоделки, равна 0,2. Определить вероятность того, что число непринятых из-за недоделок квартир окажется не менее 60 и не более 90. №6. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0,375 раза в течение часа работы станка. Определить вероятность того, что за восьмичасовую смену число обрывов нити будет: а) не менее двух и не более четырех; б) не менее двух. №7. В лаборатории имеются три осциллографа. Вероятность того, что в данный момент каждый из них включен, равна 0,4. Дискретная случайная величина – число включенных в данный момент осциллографов. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: , 4 , 1 , 4 , 4 , 4 sin , 4 , , 0 ) ( 2 x x x b a x x F 45 Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале ] , 0 [ Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 2,2 и средним квадратическим отклонением 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3;4], а при втором испытании – на отрезке [1;2]? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 120 ) ( F M кг и средним квадратическим отклонением ) (F 15 кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2100кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 p 0 №11. Проведенные измерения положения верхней мертвой точки поршня двигателя внутреннего сгорания дали следующие результаты (в миллиметрах): 81 79 85 81 82 81 81 80 81 81 81 82 80 80 79 83 79 78 79 77 Найти доверительные интервалы для истинного значения измеряемого параметра с надежностью 0,99 и среднеквадратического отклонения от истинного значения с надежностью 0,95. Предполагается, что определяемый параметр распределен по нормальному закону №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0,66 0,25 0,20 0,14 0,12 0,10 0,09 0,08 0,05 y 5,0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 11,3 9,2 11,8 46 ВАРИАНТ 19 №1. Упаковка содержит 20 плиток, причем 3 имеют дефекты. Контролер извлекает наугад 4 плитки. Определить вероятность того, что упаковка будет принята контролером, если для этого необходимо, чтобы он не обнаружил ни одной дефектной плитки. №2. Надежность прибора (вероятность безотказной работы за определенное время) равна 0,8. Этот прибор дублируется двумя такими же приборами. Определить надежность всей системы. №3. Цех изготовляет некоторые строительные детали, каждая из которых может быть дефектной с вероятностью 0,01. Деталь проверяется контролером, обнаруживающим дефект с вероятностью 0,95. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать хорошую деталь с вероятностью 0,005. Определить вероятность того, деталь будет забракована. №4. Среди коконов тутового шелкопряда в данной партии 70% содержат особь женского пола. Определить вероятность того, что среди случайно отобранных из этой партии десяти коконов содержат особь женского пола семь коконов. №5. Товаровед осматривает 24 образца некоторого товара. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти вероятность того, что годными к продаже окажутся не менее 12 образцов. №6. Известно, что в среднем число отказов радиоэлектронной схемы за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность того, что за 200 часов работы радиоэлектронная схема откажет: а) два раза; б) хотя бы один раз. №7. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих элемента, каждый из которых срабатывает в аварийной ситуации с вероятностью 0,6. Дискретная случайная величина – число сработавших при аварии элементов. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения ). (x F Построить график ) (x F №8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: ). , 1 ( , 1 ]; 1 , 1 [ , arcsin 1 ); 1 , ( , 0 ) ( x x x a x x F Определить параметр a , найти выражение для плотности вероятности ) x ( f , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что 47 случайная величина примет значение в интервале ] 3 ; 5 , 0 [ Построить графики ) (x F и ). (x f №9. Длина выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 20см и средним квадратическим отклонением 0,4см. В каких границах, симметричных относительно математического ожидания, следует ожидать размер длины детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,93? №10. Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если F является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 200 ) F ( M кг и средним квадратическим отклонением ) F ( 15 кг. Предельное напряжение для балки принять равным ] [ 2000кг/ 2 см , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной 95 , 0 p 0 №11. Время, затрачиваемое на выполнение некоторой операции при 20 независимых испытаниях, оказалось следующим (в минутах): 16,0 16,5 17,9 17,5 15,5 17,9 17,5 18,0 14,5 16,0 16,5 17,5 19,0 15,5 16,5 17,9 18,0 16,0 17,9 17,5 Найти доверительные интервалы для среднего времени с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Предполагается, что определяемая случайная величина распределена по нормальному закону №12. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью , b x a y определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 2,0 1,0 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 y 5,1 7,8 11,2 14,3 16,9 26,4 22,9 27,5 30,2 |