Билеты по матану. Матрицей AAmn порядка mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов

• Название: Матрицей AAmn порядка mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов
• Анкор: Билеты по матану.docx
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 1.28 Mb.
• Имя файла: Билеты по матану.docx
• Тип: Документы; #6280
• страница: 3 из 6

17 Кривые второго порядка, определения и канонические уравнения

Кривые второго порядка – это эллипс, окружность, гипербола и парабола

Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

В частном случае, когда a=b (c=0, ε=0, фокусы сливаются в одной точке - центре), эллипс вырождается в окружность.

Гипербола - геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Парабола – геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от данной точки (фокус) и от данной прямой (директриса)

Канонические уравнения кривых второго порядка

    окружность радиуса , начало координат – центр симметрии (рис. 11);

     эллипс, осевая симметрия (рис. 11);

 



Рис. 11.  Эллипс и окружность

    гипербола,  пересекает ось  (рис. 12), осевая симметрия;

    гипербола, пересекает ось (рис. 12), осевая симметрия;



 

Рис. 12.  Сопряженные гиперболы

    парабола,   параметр, вершина в начале координат, ветви направлены вверх, ось  ось симметрии (рис. 13);

    парабола,   параметр, вершина в начале координат,  ветви направлены вниз, ось  ось симметрии (рис. 13);

    парабола,   параметр, вершина в начале координат,  ветви направлены вправо,  ось  ось симметрии (рис. 13) ;

    парабола,   параметр, вершина в начале координат, ветви направлены влево, ось  ось симметрии (рис. 13) .

 



 

Рис. 13.  Параболы

18 поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Определение Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Определение 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Определение 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Определение Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Определение 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x² = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x² = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x² – y² = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x² + y² + z² = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x² + y² = 1 – круговой цилиндр, уравнение x² + y² = z² – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.

19 Предел функции и его геометр.смысл одностороние пределы

Число А называется пределом функции в точке х_о (или при х→х_о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все хх_о, удовлетворяющих неравенству |х-х_о|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.



Геометрический смысл предела функции:



если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех ххо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).



Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число  называется правым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число  называется левым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

20 свойствва пределов. Первый и второй замечтльный предел

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:



2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:



3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:



4°   Константу можно выносить за знак предела:



°5   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:



Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:



Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Второй замечательный предел:



здесь е - число Эйлера.

21 Основные неопределенности пределов и их раскрытие.

С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.



22 бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция  называется бесконечно малой в точке , если .Аналогично определяются бесконечно малые функции при , , , , .

Функция  называется бесконечно большой в точке , если для любого  существует  такое, что при всех , удовлетворяющих , выполняется неравенство .В этом случае пишут, что , т.е. функция  стремится к бесконечности при .Если выполняется неравенство  , то пишут 

23 Эквивалентно беск.мал.

Функции  и  называют эквивалентными бесконечно малыми при , если 

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть  - бесконечно малая при .



24 Понятие непрерывности в точке

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению Δ х аргумента х в точке  соответствует  бесконечно малое приращение функции Δ y, т. е. . Другими словами, функция у = f (х)  непрерывна в точке , если 
, т. е. предел функции в точке  равен значению функции в этой точке.

Непрерывность функции

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

1. 
   Функция f (x) определена в точке x = a;
   
2. 
   Предел  существует;
   
3. 
   Выполняется равенство .
   

Определение непрерывности по Коши (нотация)

Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел  на другое подмножествоB действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа  существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению

выполняется неравенство

Точка  называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки  (то есть определена на некотором интервале, для которого  служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

,

то точка  называется точкой устранимого разрыва функции  .