Билеты по матану. Матрицей AAmn порядка mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов

Название	Матрицей AAmn порядка mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов
Анкор	Билеты по матану.docx
Дата	02.05.2017
Размер	1.28 Mb.
Формат файла
Имя файла	Билеты по матану.docx
Тип	Документы #6280
страница	6 из 6

1 2 3 4 5 6

46диффер.урав. осн понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и её производные , т. е. уравнение вида

$f(x,y,y\',y\'\',\ldots,y^{(n)})=0.$

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение  — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение $y\'\'+p(x)y=0$ , где  — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение  — уравнение 9-го порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее первую производную y¢, т.е. уравнение вида

F(x,y,y¢)=0 или y¢=f(x,y).

Частным решением дифференциального уравнения на интервале  называется каждая функция , которая при подстановке в уравнение вида

$f(x,\;y,\;y\',\;y\'\',\;\ldots,\;y^{(n)})=0$

обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. (Эта теорема верна только для линейных дифференциальных уравнений.)

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

$f(x,\;y,\;y\',\;y\'\',\;\ldots,\;y^{(n)})=0,$

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

$y=\varphi(x,\;c_{1}^{0},\;c_{2}^{0},\;\ldots,\;c_{n}^{0}),$

где $c_{1}^{0},\;\;c_{2}^{0},\;\;\ldots,\;\;c_{n}^{0}$ — конкретные числа, то функция вида

$y=\varphi(x,\;c_{1},\;c_{2},\;\ldots,\;c_{n})$

при всех допустимых значениях параметров (произвольных констант) $c_{1},\;\;c_{2},\;\;\ldots,\;\;c_{n}$ называется общим решением дифференциального уравнения.

47 задача коши

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная   f_y(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит областиD.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ, x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ, x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственнаяинтегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x₀) — семейство решений задачи Коши

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x₀) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

непрерывны на отрезке [a, b];
дифференцируемы в интервале (a, b);
"x О (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

f(b) − f(a)

g(b) − g(a)

f '(c)

g '(c)

48 Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов

, перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив

, запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

1 2 3 4 5 6