Методы оптимизации управления для менеджеров - Зайцев М.Г.. Методы оптимизации управления для менеджеров компьютерноориентированный подход
 Скачать 7.64 Mb.
|
|
Модели не принимают решений! Это задача менеджера. Наличие множества альтернативных решений поможет ему выбрать решение, "приятное во всех отношениях". При этом оно необязательно должно быть оптимальным в строго математическом смысле слова. Вопросы 3-4 Согласно отчету об устойчивости (рис. 17), наибольшей теневой ценой обладает ресурс № 2 - "светлый шоколад". Однако интервал устойчивости, соответствующий этой цене, очень узок. Если запас светлого шоколада оценен с избытком в 10 единиц (т.е. на самом деле его запас не 149, а 139), то реальная прибыль будет ниже: ΔP max = Δb 2 Y 2 =-10*2,5=-25 у.е. Формулу для оценки уменьшения прибыли можно использовать, поскольку Δb 2 =-10 попадает в интервал устойчивости, выданный в отчете об устойчивости. Вместе с тем, если запас этого ресурса оценен с недостатком в 5 единиц (т. е. на самом деле его запас не 149, а 154), предсказать увеличение прибыли нельзя, так как Δb 2 =+5 выходит за границы интервала устойчивости. Вопрос 5 Разумеется, такие способы существуют. Оставляя в стороне очевидный и прямолинейный способ введения дополнительного ограничения на минимальное количество произведенных пакетиков "Батончика", необходимо обратить внимание на то, что причиной невхождения продукта в оптимальный план является то, что какой-либо из ресурсов для его производства является дефицитным и востребован другим продуктом, приносящим большую прибыль. Обратим внимание, что у не входящего в оптимальный план продукта ("Батончик" - рис. 10) прибыль на единицу продукта отнюдь не самая низкая. "Ореховый звон", "Райский вкус" и "Ромашка" менее прибыльны. Однако внимательное рассмотрение таблицы расходов ресурсов на единицу каждого продукта показывает, что "Батончик" конкурирует с "Белкой" за сахар и орехи. Расход этих ресурсов на два названных продукта наибольший. Такая же конкуренция идет и за темный шоколад, но, поскольку теневая цена этого ресурса мала, можно предположить, что не он является причиной невхождения "Батончика" в оптимальный план. Скорее всего, небольшое увеличение запасов темного шоколада вообще сделает этот ресурс избыточным. А вот увеличение запасов сахара (или орехов) может привести к вхождению "Батончика" в оптимальный план. Попробуйте увеличить по очереди запасы одного из ресурсов: сахара, орехов и темного шоколада на 40-50 единиц и заново решить задачу на максимум. Перед каждой новой попыткой возвращайте запас измененного ресурса к исходному значению. Опишите изменения оптимального плана. Заключение к разделу 3 Максимум или минимум целевой функции достигается в одной из угловых точек области допустимых планов. Эта точка является пересечением границ тех ресурсов, которые при оптимальном плане расходуются полностью. Существует определенный интервал устойчивости, в котором изменение целевых коэффициентов не приводит к изменению оптимального решения. При выходе за пределы интервала устойчивости оптимальное решение может измениться очень сильно. Теневая цена ресурса показывает, на сколько изменится прибыль от производства при изменении данного ресурса на единицу. Она характеризует субъективную ценность ресурса с точки зрения производителя и не имеет ничего общего с рыночной ценой ресурса. В частности, если ресурс имеется в избытке (не используется полностью в оптимальном плане), его теневая цена равна нулю. Если правая часть ограничения имеет другой смысл, нежели запас ресурса, ее теневая цена может быть даже отрицательна (увеличение правой части ограничения может приводить к снижению прибыли). Так же как и в случае целевых коэффициентов, существует некоторый интервал устойчивости, в котором изменение величины ресурса (или изменение правых частей ограничений) не приводит к изменению теневых цен. В этом интервале изменения ресурсов изменение прибыли (или целевой функции) может быть рассчитано по формуле ΔP= Δb i Y i , где ΔP - изменение прибыли, Y i - теневая цена, а Δb i - изменение i-го ресурса. За пределами интервала устойчивости теневая цена изменится скачком и применение указанной формулы для оценки прибыли будет невозможным. Отчет об устойчивости MS-Excel состоит из двух частей (двух таблиц). В первой таблице ("Изменяемые ячейки") представлены интервалы устойчивости для целевых коэффициентов и нормированные стоимости (reduced costs). Если некоторый продукт в задаче об оптимальном плане производства не входит в оптимальный план, то его нормированная стоимость меньше нуля, а ее величина показывает, на сколько нужно увеличить норму прибыли этого продукта, чтобы он вошел в оптимальный план. Во второй таблице представлена информация о теневых ценах и об интервалах устойчивости этих цен при изменении запасов ресурсов. Для ЛП-задач характерна высокая чувствительность решения к маним изменениям параметров. Малые изменения параметров приводят к огромным изменениям в наборе оптимальных переменных решения. При этом значения целевой функции, отвечающие этим различным оптимальным решениям, различаются очень незначительно. Это означает, что для ЛП-моделей, существует, как правило, множество альтернативных, близких к оптимальному решений. Наличие альтернативных решений позволяет менеджеру выбрать такое, которое в большей степени отвечает тем или иным неформализуемым требованиям и условиям, всегда присутствующим в практике принятия решений. Контрольные вопросы к разделу 3 1. В чем состоит анализ решения задачи линейного программирования, после того как оптимальное решение получено? На какие вопросы этот анализ должен ответить? Почему он важен для принятия управленческих решений? 2. Как выглядит область допустимых решений ЛП-задачи для двух переменных решения? Чем определяются ее границы? 3. Как вы думаете, отличаются ли области допустимых планов в задачах на максимум прибыли и на минимум издержек для целевой функции от двух переменных? Может ли (при разумной постановке задачи) в область допустимых планов задачи о минимуме издержек входить план Х 1 =Х 2 = 0? 4. Как будет выглядеть область допустимых планов в задаче об оптимальном плане мебельного цеха, - если в неравенстве, соответствующем ограничению на трудовые ресурсы, заменить знак < на знак >? - если такое же изменение знака произвести и в неравенстве, соответствующем расходу стекла? Будет ли существовать максимум прибыли при этих изменениях условия? Если да, то где? 5. Что называется интервалом устойчивости для изменения целевого коэффициента? Изменяется ли целевая функция при изменении целевого коэффициента внутри этого интервала? 6. Известно, что допустимое увеличение целевого коэффициента с л равно 120, а допустимое уменьшение целевого коэффициента с 2 равно 50. Изменится ли оптимальное решение, если с 1 увеличить на 60, а с 2 уменьшить на 40? 7. Объясните смысл столбца "Нормированная стоимость" в отчете об устойчивости MS-Excel. 8. Объясните смысл понятия "теневая цена" в задаче об оптимальном производственном плане. Какую важную информацию дают значения теневых цен для менеджера? 9. Может ли теневая цена ресурса совпасть с его рыночной ценой? Стоит ли менеджеру увеличивать (покупая на рынке) этот ресурс, если - решалась задача о максимизации прибыли? - решалась задача о максимизации дохода с продаж? 10. Может ли теневая цена равняться нулю? Что это значит? 11 .Что является теневыми ценами для двойственной задачи? Получите отчет об устойчивости для двойственной задачи, к примеру, "Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха". Объясните, что означают полученные теневые цены. 12. Что остается постоянным при изменении правой части ограничения b i (запаса i-го ресурса) внутри его интервала устойчивости? Можно ли сказать, что оптимальное решение задачи, для которой получен отчет по устойчивости, не изменяется при изменении b i внутри этого интервала? 13. Всегда ли можно пользоваться формулой ΔP max = Δb i Y i ,для расчета увеличения прибыли при увеличении правой части ограничения на i-и ресурс b i ? 14. Можно ли рассчитать изменение прибыли по формуле ΔP max = Δb 1 Y 1 +Δb 2 Y 2 , если b 1 , предполагается увеличить на 45, а b 2 - на 55 и известно, что допустимое увеличение коэффициента b 1 равно 80, а допустимое увеличение коэффициента b 2 равно 140? Примеры для самостоятельного анализа к разделу 3 1. Оптимальный план производства Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует двухстадийной сборки. Время, необходимое для сборки на каждой стадии, приведено в таблице. Время сборки Стадия № 1 Стадия № 2 Модель A 2,5 2 Модель B 1,8 1,6 ыМодель C 2,0 2,2 Оборудование на каждой стадии работает 7,5 ч в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель A дает прибыль 82,5 руб. за шт.; модель В - 70,0 руб. за шт.; модель С - 78,0 руб. за шт. Фирма может продавать все, что она произведет, и, кроме того, имеет на следующую неделю оплаченный заказ на 60 шт., по 20 шт. устройств каждого типа. a) Каков должен быть оптимальный производственный план? b) Все ли типы моделей выгодно производить? c) Если имеется убыточная модель, то что нужно изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в ценовой политике или увеличить время работы оборудования (за счет сверхурочных) так, чтобы все модели стали выгодными. Опишите результаты ваших попыток. d) Допустим, вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль? Используйте отчет об устойчивости для ответа на вопросы с) и d). Указания - В качестве переменных решения следует выбрать, очевидно, количество производимых моделей каждого типа. - Запишите целевую функцию, используя известные значения прибыли от производства единицы каждой модели. - Запишите ограничения. В данном случае основной ограниченный ресурс - это время работы оборудования. Рассчитайте затраты этого времени для каждой стадии обработки и ограничьте его известными ресурсами времени. - Не забудьте и о другом типе ограничений - заказе на производство каждой модели, который имеет фирма. - Для ответа на вопросы с) и d) обязательно используйте информацию отчета об устойчивости MS-Excel. - Проверьте ваши выводы, сделанные по отчету об устойчивости, прямыми вычислениями (запустите "Поиск решения" с измененными параметрами). 2. Оптимизация инвестиционного портфеля Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций, 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк. Тип вложения Риск Предполагаемый ежегодный доход, % Акции A Высокий 15 Акции B Средний 12 Акции C Низкий 9 Облигации долгосрочные 11 Облигации краткосрочные 8 Срочный вклад 6 Имея в виду качественные соображения диверсификации портфели и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг: - все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы; - по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в любимом банке; - по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском; - в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;- не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее чем 10%. a) Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода? b) Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменение ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных средств? Почему? c) Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) - это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам? Какая именно бумага портфеля наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода? d) Дайте интерпретацию значений теневых цен для правых частей каждого из ограничений. Указания - Переменные решения - это суммы, вложенные в каждый вид ценных бумаг. - Целевая функция - суммарный доход. При организации данных на листе MS-Excel обязательно используйте функцию СУММПРОИЗВ для этой функции. Подумайте, что в данном случае является аргументами этой функции. - Запишите все ограничения. Требование инвестировать всю сумму должно быть записано в виде равенства. - Для ответа на вопросы b), с) и d) обязательно используйте данные отчета об устойчивости. Заметьте, что общая интерпретация теневых цен всегда связана с формулой ΔP max = Δb i Y i 3. Управленческая наука - фермеру: оптимизация использования земель Фермер имеет 150 га земель в одной из южных областей и в предстоящем сезоне собирается выращивать пшеницу, кукурузу, овес и сою. В таблице представлены данные о величине ожидаемого урожая, финансовых и трудовых затратах, расходе минеральных удобрений и I предполагаемых ценах на выращенное зерно. Тип зерна Ожидаемая урожайность (ц/га) Труд (час./га) Издержки (руб./га) Удобрения (ц/га) Ожидаемая цена (руб./ц) Пшеница 21 8 1000 4 160 Кукуруза 30 10 1500 12 128 Овес 18 6 600 2 73 Соя 24 20 1200 8 155 Основываясь на анализе прошлогоднего рынка зерновых, фермер хочет произвести не менее 150 т пшеницы и не менее 150 т кукурузы, 1 но не более 125 т овса. Он располагает 250 тыс. руб. для покрытия издержек, связанных с обработкой и уходом за полями, и планирует работать 12 ч в день в течение 150-дневного сезона. Он также не хочет перерасходовать имеющийся у него с прошлого года запас минеральных удобрений в 120 т. a) Какое количество гектаров земли фермер должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая? b) Все ли культуры стоит выращивать? Если есть культура, которая исключена из оптимального плана, насколько нужно увеличить цену m центнер (при условии, что ожидаемая урожайность та же), чтобы ее выгодно стало выращивать? На сколько больше должна быть ожидаемая урожайность этой культуры (при условии постоянства цены), чтобы ее стало выгодно выращивать? c) Если снять ограничение на производство кукурузы, войдет ли она в оптимальный план? Как изменится прибыль, если кукурузу не выращивать? d) Близлежащий колхоз предлагает фермеру арендовать прилегающий к его полям участок 20 га за 50 тыс. руб. за сезон. Стоит ли фермеру принять это предложение? Указания - Отведите специальные ячейки под величину предполагаемого урожая каждой культуры (в центнерах). Целевая функция (прибыль) есть сумма произведений этих ячеек на цену каждой культуры. - Для ответа на вопросы b) и d) обязательно используйте данные отчета об устойчивости. - При анализе отчета об устойчивости не забудьте, что целевой коэффициент - это произведение трех чисел: урожайности, площади и цены. - Отказ от выращивания одной из культур означает лишь добавление еще одного ограничения (данные на листе MS- Excei менять не надо). - При рассмотрении каждого следующего варианта изменения условий возвращайте ранее измененные параметры к исходным значениям. 4. Максимизация прибыли универмага Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа - это костюмы широкого потребления: (1) костюмы из полиэстровых смесей, (2) шерстяные костюмы и (3) костюмы из хлопка. Четвертый тип - это дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, количество средств на рекламу и площадей в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице. Тип костюма Прибыль на один костюм, долл. Рабочее время продавцов Затраты на рекламу на один костюм Площадь на один костюм (кв. фут) Полиэстер 35 0,4 $2 1,00 Шерсть 47 0,5 $4 1,5 Хлопок 30 0,3 $3 1,25 Импорт 90 1,0 $9 3,00 Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов вдень, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100*60 футов. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15 тыс. долл. a) Сколько костюмов каждого типа нужно закупить, чтобы максимизировать прибыль? b) Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина? c) Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстрового костюма переоценена (недооценена) на 1 долл.? на 2 долл.? d) Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина: • отдать в распоряжение отдела костюмов 400 кв. футов от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь 750 долл. за последующие 90 дней; • истратить дополнительно 400 долл. на рекламу; • нанять дополнительно продавца на 26 полных дней (все субботы и воскресенья в течение весеннего сезона). Это будет стоить магазину 3600 долл. (зарплата, комиссионные) и добавит 260 ч труда продавцов отдела костюмов в течение 90 дней предстоящего сезона. е) Допустим, добавлено дополнительное условие, ограничивающее общее число закупленных костюмов 5 тыс. шт. Как это повлияет на оп-1имальное решение? |