Методы оптимизации управления для менеджеров - Зайцев М.Г.. Методы оптимизации управления для менеджеров компьютерноориентированный подход
 Скачать 7.64 Mb.
|
|
Формулы для оптимального размера заказа и оптимальной величины дефицита Итак, перечислим параметры модели: - D - годовой спрос; - Н- удельные издержки хранения единицы запаса в течение года; - S - издержки оформления одного заказа (независимо от его размера); - С х - издержки, связанные с единицей отсутствующего товара (с поддержанием системы заказов и с частичной потерей "доброй воли" клиента). Переменными решения в данной модели являются: - Q - размер заказа и -Х- размер планируемого дефицита, т.е. планируемое количество единиц товара, на которое надо принимать заявки между последовательными прибытиями на склад партий продукции. Прежде всего заметим, что полные издержки за год теперь содержат три компонента: - издержки хранения ТН; - издержки, связанные с дефицитом ТХ\ - издержки оформления заказа TS. Выражение для последней компоненты TS такое же, как и в предыдущих моделях, а для определения издержек хранения ТН и издержек, связанных с планируемым дефицитом ТХ, необходимо найти средний уровень соответственно запасов и дефицита в течение года. Обозначим через Q размер закупаемой партии товара. Ввиду того что к моменту прихода этой партии на склад фирма имеет уже Л" заявок на отсутствовавший товар и соответственно Xединиц товара сразу же "уходит" со склада на удовлетворение этих заявок, максимальный уровень запаса на складе составляет Q—X. Через некоторое время t 1 уровень запаса падает до нуля (см. рис. 31), и в течение времени t 2 работает система приема заказов на дефицит. В это время уровень запаса остается равным нулю. Соответственно издержки хранения нулевые. Однако в это время фирма несет издержки, связанные с поддержанием системы заказов (а также с потерей доброго отношения клиентов к фирме из-за дефицита). Полное время между двумя последовательными поступлениями товара на склад равно t =t, + t 2 . Из рис. 31 очевидно, что средний уровень запаса в течение времени t x равен (Q—X)/2, а в течение времени t 2 - нулю. Таким образом, средний уровень запаса за весь цикл t можно записать в виде Аналогично средний уровень дефицита за весь цикл t равен Из рис. 31 легко также усмотреть, что Используя эти выражения, нетрудно написать формулу для полных складских издержек за год при данной системе: Видно, что полные издержки зависят от двух переменных решения: величины заказа Q и величины дефицита X. Читатель, изучавший основы математического анализа, вспомнит, что в точке минимума функции двух переменных обе ее частные производные должны быть равны нулю: Из этих двух уравнений и находятся оптимальные значения Q opt и Х орt . Подробный вывод выражений для Q opt и Х орt (для читателя, не забывшего основы теории функций двух переменных) приведен на вкладке. Для практики, однако, важен конечный результат. Прежде всего обратим внимание, что если затраты на единицу планируемого дефицита С х много больше, чем удельные издержки хранения Н, т.е. H « С х , то отношение лишь чуть-чуть больше единицы, а значит, Q opt ≈EOQ. В то же время отношение почти равно нулю и соответственно планируемый дефицит X также близок к нулю. Если издержки по поддержанию системы планируемого дефицита много больше, чем издержки хранения, то оптимальным является экономичный размер заказа и дефицит не следует планировать. Напротив, если издержки хранения много больше, чем издержки, связанные с поддержанием системы планового дефицита Н»С x , то т.е. система заказов почти полностью вытесняет содержание запасов. Весь заказ идет на покрытие предварительно принятых заявок. Интересно при этом, что размер заказа становится намного больше, чем EOQ. Если издержки по поддержанию системы планируемого дефицита много меньше, чем издержки хранения, выгодно перейти на прием предварительных заявок, почти полностью исключив обычный запас. Пример: Продажа автомашин со стоянки Проиллюстрируем полученные соотношения численным примером. Пусть компания продает автомашины стоимостью 10 тыс. долл. каждая. Удельные издержки хранения составляют 30% стоимости автомашины в год. Оформление и сопровождение заказа стоят 1 тыс. долл. (транспортные расходы включены в стоимость автомашины). Годовой спрос - 100 автомашин. Компания рассматривает возможность частичного перехода на систему заказов автомашин и желает оценить, как изменятся издержки хранения "запаса" машин на стоянке. Поскольку заранее оценить издержки, связанные с поддержанием системы планового дефицита, сложно, то рассматривают 3 возможных сценария развития событий. Для поддержки системы заказов и на дополнительную рекламу, компенсирующую потерю клиентов, желающих купить машину немедленно и отказывающихся ждать выполнения заказа, необходимы: • 1 тыс. долл. на каждую единицу дефицита (т.е. на каждую запрашиваемую клиентом и не оказавшуюся в наличии машину) в год; • 10 тыс. долл. на каждую единицу дефицита в год; • бесконечно большие издержки (т.е. никакая реклама не в состоянии компенсировать потерю клиентов. Машины просто перестанут покупать). Каковы оптимальный размер заказа, оптимальный размер планируемого дефицита и полные складские издержки в расчете т год? Анализ примера о продаже машин со стоянки Прежде всего рассчитаем размер оптимального заказа, используя модель EOQ (рис. 32). Видно, что заказ составляет всего 8 машин. Делать его надо более 12 раз в год, и суммарные издержки содержания "запаса" автомашин на стоянке составят при этом около 24 500 долл. Важно понять, что поскольку модель с планируемым дефицитом вводит дополнительную переменную решения X— размер планируемого дефицита, то при любых условиях она будет давать решение не хуже, чем EOQ. Из рис. 32 видно, что если издержки, связанные с поддержанием системы дефицита и заказов, бесконечно велики (для MS-Excel это число 10 +30 ), то модель планирования дефицита рекомендует фактически отказаться от дефицита (Х=0), размер оптимального заказа равен EOQ. Соответственно и издержки те же, что и в модели EOQ. Таким образом, несмотря на то что расчет производился по совершенно другим формулам, в случае, когда стоимость единицы дефицита в год намного выше, чем удельные издержки хранения, модель планирования дефицита приводит к тем же результатам, что и модель экономичного размера заказа. Если издержки на единицу дефицита в год составляют 10 тыс. долл., т.е. в 3 раза выше, чем удельные издержки хранения, то планирование небольшого дефицита все же выгодно. При равенстве издержек на единицу дефицита и удельных издержек хранения (С Х = Н) одна половина получаемого заказа идет на удовлетворение предварительных заявок, а вторая - в запас, что предопределяет будущий дефицит в половину полученного заказа. При этом полные издержки содержания запаса и системы заказов в 1,5 раза меньше, чем в модели EOQ. Наконец, при С х = 1 тыс. долл. модель рекомендует 75% величины заказа использовать на удовлетворение предварительных заявок, планируя дефицит в 12 машин и лишь 4 машины отправляя в запас. Следует обратить внимание на то, что, чем ниже издержки на единицу дефицита и, следовательно, чем выше планируемый дефицит, тем больше размер заказа и тем реже надо заказывать данный товар. Это в свою очередь означает, что клиенты должны дольше ждать выполнения заявки, что, несомненно, должно увеличивать их неудовлетворенность и соответственно затраты на поддержание системы планируемого дефицита С х . Выше отмечалось, что величину издержек С х на единицу дефицита в год весьма трудно оценить. Приведенное соображение еще больше усиливает неопределенность оценки С х . Теперь ясно, что это не просто трудноопределимая константа, но скорее трудноопределимая возрастающая функция времени, в течение которого клиенты ждут выполнения заявки. Все это, несомненно, затрудняет использование модели планируемого дефицита на практике. Однако, если рассматривать результаты расчета в этой модели не как истину в последней инстанции, а как грубые оценки, они могут служить весьма полезным ориентиром для выбора оптимальной политики управления запасами в конкретной ситуации. 6.5. Учет оптовых скидок в модели экономичного размера заказа В модели экономичного размера заказа мы рассматривали только две составляющие полных>издержек управления запасами - издержки хранения ТН и издержки оформления заказа TS. Между тем очевидно, что львиную долю затрат торговой фирмы составляет стоимость закупленного товара. В модели экономичного размера заказа предполагалось, что стоимость единицы запаса С не зависит от размера закупки Q. Тогда если годовой спрос на товар D задан, то заданы и постоянные затраты на закупку D единиц товара в год - С х D. Поскольку это величина строго постоянная, нет смысла добавлять ее к полным издержкам, чтобы найти оптимальный размер заказа EOQ. Такая добавка только поднимет кривую полных издержек на рис. 28 вверх, совершенно не изменив положение минимума. Однако на практике стоимость единицы товара С довольно часто зависит от размера закупаемой партии. Эти оптовые скидки могут существенно изменить решение об оптимальном размере закупки в сторону его увеличения. Разумеется, что сильное увеличение размера заказа Q по сравнению с EOQ может привести к значительному росту складских издержек. Однако, если увеличение складских издержек компенсируется оптовой скидкой на стоимость единицы закупаемого запаса, увеличение размера заказа, конечно, имеет смысл. Баланс выигрышей от оптовых скидок и потерь от роста складских издержек при росте размера заказа удобно анализировать с помощью MS-Excel. Пример: Выбор поставщика для оптовых закупок Рассмотрим конкретный пример такого анализа. Автомобильный завод может закупать коробки с мелкой деталью у одного из двух поставщиков на следующих условиях. Для оценки издержек хранения менеджмент использует внутреннюю норму доходности завода, равную 20%. Оформление заказа не стоит ничего. Доставка осуществляется на заводском грузовике, который способен увезти до 30 тыс. коробок за один раз. Его пробег к поставщику и обратно, загрузка и разгрузка стоят 40 долл. Годовая потребность завода - 25 тыс. коробок. Каков оптимальный размер заказа с учетом скидок каждого из поставщиков? Какого поставщика следует предпочесть? Анализ примера о выборе поставщика с помощью MS-Excel Для решения организуйте данные так, как показано на рис. 33. Все формулы протягиваются вправо. Формулы для экономичного размера заказа и двух видов издержек 77/и 71Уне требуют пояснений. Обратите внимание лишь на то, что для вычисления ТН и TS используется не экономичный размер заказа EOQ, а "Реальный Q\ т.е. тот минимальный размер, который поставщик разрешит купить по данной цене. Например, если мы собираемся купить товар по цене 3,8 долл. за коробку у первого поставщика, то, хотя с точки зрения минимизации складских издержек нам выгоднее купить 1622 коробки, поставщик не позволит этого сделать, так как порог, начиная с которого действует эта цена, - 4 тыс. коробок. Таким образом, реальный объем закупки, который мы можем сделать по цене 3,8 долл., - 4 тыс. коробок. В этом смысл данной строки и формулы в ней (максимум между экономичным размером заказа 1622 и порогом, начиная с которого действует данная цена, - 4 тыс.). При расчете последней строки - суммарных издержек в сумму необходимо включить не только издержки хранения и оформления заказа, но и стоимость годовой потребности в данном товаре при закупке его по цене, действующей для выбранного размера закупки. Данные расчетов, приведенные в таблице на рис. 33, позволяют легко выбрать наиболее выгодные условия закупки. Они соответствуют закупке партиями по 5500 коробок у первого поставщика, поскольку суммарные издержки в этой колонке минимальны. Характерно, что, хотя минимальная оптовая цена меньше у второго поставщика (3,6 долл. против 3,66 долл. у первого поставщика), порог, начиная с которого действует эта цена, слишком высок (14 тыс. против 5500 у первого поставщика). Поэтому выигрыш от использования такой скидки полностью "съедается" слишком высокими издержками хранения (5040 долл. против 2013 долл. у первого поставщика). 6.6. Оптимальный размер заказа для группы товаров Если на складе торговой компании хранятся тысячи наименований товаров, вряд ли можно себе представить, что каждый из артикулов будут заказывать независимо от других. Обычно под"заказом" в такой компании понимают выбор ассортимента товаров и количества единиц каждого артикула для достаточно большой группы товаров от одного и того же поставщика. При этом затраты S на составление, оформление, размещение и доставку такого заказа для группы товаров лишь условно можно было бы распределить между отдельными его артикулами. В этом случае, хотя конкретные формулы для экономичного размера каждого артикула в заказе и для частоты, с которой нужно делать подобный заказ, отличаются от приведенных выше выражений для EOQ и n, общая формулировка модели может быть полностью сохранена. Пример: Одновременный заказ группы товаров Фирма заказывает у одного и того же поставщика K=10 наименований товаров. Закупочные цены и оценки годового спроса на каждое наименование даны в таблице. Стоимость оформления, размещения и доставки каждого заказа для этой группы ТО варов составляет 60 долл. Издержки хранения для каждого наименования фирма оценивает в 10% в год от закупочной цены единицы товара. - Сколько раз в год нужно делать заказ для этой группы товаров? - Каковы будут при этом полные складские издержки фирмы за год для работы с этой группой товаров? - Если распределить затраты S на оформление и размещение заказа равномерно между всеми артикулами так, что S i = 6 долл. для каждого, каковы будут оптимальные размеры и частота заказа для каждого из артикулов? - Как сильно будут различаться издержки в случае независимого заказа каждого артикула и в случае заказа для группы товаров? - Насколько реалистично предположение о затратах на независимый заказ каждого из артикулов? Анализ примера о группе товаров с помощью MS-Excel Эта задача легко может быть решена аналитически. Однако мы начнем с "эвристического", численного решения с помощью MS-Excel и надстройки "Поиск решения". Сначала найдем размеры "экономичных размеров заказов" для каждого наименования в предположении, что издержки заказа для каждого наименования равны S i =6 долл. На листе MS-Excel "Оптимальный заказ для группы товаров" (рис. 34) произведен расчет по формулам для экономичного размера заказа для каждого наименования и просуммированы издержки для всех товаров, если бы они заказывались независимо. Годовые издержки в этом случае составили бы 3042 долл., а частота заказов варьировала бы от 61 раза в год для товара №1 до 10 раз в год для товара №10 (заметим, что наименования товаров упорядочены по стоимости годовых запасов). Если товары всех наименований заказываются одновременно, то следует задать число заказов в год для группы товаров п (это сделано в ячейке F27 рис. 34) и вычислять величину каждого заказа (в ячейках Е30:Е39) по формуле D i /n. Годовые издержки хранения для каждого наименования вычисляются так же, как раньше, а годовые издержки "оформления" заказа - это просто пхS. Суммарные годовые издержки представлены в ячейке Н40. Для того чтобы получить цифры, представленные на этом листе MS-Excel (рис. 34), - задайте сначала п = 10 в ячейке F27, - вызовите "Поиск решения" и задайте целевую ячейку Н40, а изменяемую ячейку - F27. "Поиск решения" (в результате решения нелинейной оптимизационной задачи) найдет оптимальное значение п = 30 и значение целевой функции (суммарных годовых издержек), равное 3612 долл. В случае нелинейной оптимизации следует иметь в виду, что любой алгоритм ищет лишь локальный минимум. Минимумов может быть много, и алгоритм в зависимости от начальных условийможет "сойтись" к различным минимумам. Поэтому в случае нелинейной оптимизации необходимо попробовать различные начальные условия поиска, чтобы увеличить уверенность в получении действительно минимально (или максимально) возможного результата для целевой функции. В данном случае можно повторить поиск, стартовав со значения n = 61. К счастью, в данной задаче получается тот же самый результат. Видно, что размеры и частоты в случае независимых для каждого наименования "оптимальных" заказов и в случае общего заказа для группы товаров разнятся очень сильно. Однако суммарные годовые издержки отличаются в этих случаях примерно лишь на 20%. При этом нужно понимать, что в данном случае "размазывание" издержек заказа S по отдельным артикулам вряд ли реалистично. Представим себе, что для доставки товаров от поставщика компания использует грузовик. Стоимость аренды грузовика не зависит от количества перевозимого груза (если его объем и вес не превышают некоторых предельных значений). Если стоимость доставки груза составляет основную часть издержек заказа S=60 долл., то при вычислении "экономичного размера заказа" для каждого наименования, независимо от других, скорее следует использовать S t = 60 долл., чем S t = 6 долл. Излишне говорить, что в этом случае годовые складские издержки будут намного выше (нетрудно проверить, что получится 9620 долл.), чем в случае оптимального заказа для группы товаров. В заключение приведем аналитическое решение этой задачи для группы из К товаров. |