Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
 Скачать 151.49 Kb.
|
Метод релаксации.Рассмотрим итерационный процесс:  (7)Этот метод называется методом релаксации, число w – релаксационный параметр. В случае нижней релаксации  Мы исследуем сходимость метода релаксации в случае, когда матрица  симметрична и положительно определена. С этой целью перепишем его в матричном виде. Обозначим через  нижнюю треугольную матрицу с нулевой главной диагональю; элементы, стоящие под главной диагональю матрицы , совпадают с соответствующими элементами матрицы . Через  обозначим диагональную матрицу, на диагонали которой стоят диагональные элементы матрицы . Понятно, что  . Нетрудно убедиться, что равенства (7) с учетом введенных обозначений принимают вид: После элементарных преобразований получим, что  (8)где  Нам потребуется следующая общая теорема, полезная при исследовании многих итерационных методов. Теорема: Пусть матрица симметрична и положительно определена. Тогда итерационный метод (9)где  , сходится при любом начальном приближении  , если  (10)Доказательство: Если  – решение, то, очевидно, (11) Вычитая почленно из равенства (11) равенство (9), получим  (12)Используя тривиальное равенство  преобразуем (12) к виду  (13)Умножим обе части равенства (13) скалярно на вектор  После элементарных преобразований с учетом симметрии матрицы получим: (14)Вследствие условия (10) первое слагаемое в правой части (14) неотрицательно, поэтому  , т.е. числовая последовательность  не возрастает. Кроме того, она ограничена снизу нулем, так как матрица положительно определена. Таким образом, последовательность имеет предел. Отсюда вытекает, что  при  , следовательно, и при ,а поскольку матрица  положительна определена (см. условие (10), то  при . Используя теперь уравнение (12) и невырожденность матрицы , получим, что  при .С использованием теоремы просто доказывается. Теорема: Пусть матрица положительно определена, параметр релаксации удовлетворяет условию: 0 < ω < 2. Тогда метод релаксации сходится при любом начальном приближении .Доказательство: Покажем, что при сделанных предположениях выполнено условие (10) при  , Действительно, ,но все диагональные элементы положительно определенной матрицы положительны, поэтому  при  , а  Метод релаксации сходится при любом начальном приближении , если матрица А – положительно определена и параметр релаксации удовлетворяет условию: 0< <2. Необходимо убедиться, что исходная система уравнений имеет положительно определённую матрицу.Матрица A называется положительно определённой, если для всех ≠0, Действительно,  :  Результаты вычислений при 
При данном параметре  метод показывает приемлемую точность. Построим график  Заметна более высокая точность при разбиении отрезка на большее количество частей. |