Более точное решение, которое практически накладывается на точное.
Другие эксперименты. Экспериментальная часть для метода Якоби.
Эксперимент 1.
1.1 Зафиксируем значение eps=
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
5
|
10
|
0,008
|
0,038836019
|
0,04
|
6
|
14
|
0,00462963
|
0,040036738
|
0,027777778
|
7
|
21
|
0,002915452
|
0,033625109
|
0,020408163
|
8
|
29
|
0,001953125
|
0,029840483
|
0,015625
|
9
|
38
|
0,001371742
|
0,027583694
|
0,012345679
|
10
|
49
|
0,001
|
0,024749754
|
0,01
|
11
|
61
|
0,000751315
|
0,023142206
|
0,008264463
|
При n≥11 заданная точность не достигается.
Исходя из того, что метод Якоби чувствителен к значениям вектора начального приближения, проведем этот эксперимент с другим начальным приближением. Что при определенных значениях даст нам уменьшение погрешности при n≥11.
1.2 Зафиксируем значение eps=
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
5
|
12
|
0,008
|
0,009662575
|
0,04
|
6
|
23
|
0,00462963
|
0,002809168
|
0,027777778
|
7
|
27
|
0,002915452
|
0,007521441
|
0,020408163
|
8
|
44
|
0,001953125
|
0,001536698
|
0,015625
|
9
|
48
|
0,001371742
|
0,006712947
|
0,012345679
|
10
|
73
|
0,001
|
0,000949578
|
0,01
|
11
|
75
|
0,000751315
|
0,006375368
|
0,008264463
|
|
|
|
|
|
15
|
153
|
0,000296296
|
0,004656866
|
0,004444444
|
20
|
345
|
0,000125
|
0,00045461
|
0,0025
|
25
|
484
|
0,000064
|
0,002845788
|
0,0016
|
30
|
845
|
3,7037E-05
|
0,000308867
|
0,001111111
|
31
|
783
|
3,35672E-05
|
0,00228595
|
0,001040583
|
32
|
972
|
3,05176E-05
|
0,000277248
|
0,000976563
|
|
|
|
|
|
33
|
900
|
2,78265E-05
|
0,00214597
|
0,000918274
|
В данном случае заданная точность не достигается при n≥33.
Вывод: Получено экспериментальное подтверждение зависимости метода Якоби от вектора начального приближения. Таким образом, мы смогли достичь заданной точности при n до 33.
Эксперимент 2
Зафиксируем значение n = 30  . Будем изменять порядок eps.
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
30
|
275
|
0,001111111
|
0,071470535
|
0,001111111
|
30
|
845
|
3,7037E-05
|
0,000308867
|
0,001111111
|
30
|
1413
|
1,23457E-06
|
0,002486984
|
0,001111111
|
30
|
1981
|
4,11523E-08
|
0,002565232
|
0,001111111
|
Мы видим, что при значении eps= и n=30 заданная точность уже не достигается. Исследуем более подробно случай, когда eps=.
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
5
|
5
|
0,04
|
0,099535082
|
0,04
|
10
|
31
|
0,01
|
0,064396689
|
0,01
|
11
|
22
|
0,008264463
|
0,134577096
|
0,008264463
|
Мы видим, что при eps= n целесообразно брать до 10 включительно. Далее при увеличении n заданная точность уже не достигается.
Эксперимент 3
Рассмотрим, как зависит количество шагов итерации, погрешность от уменьшения порядка eps.
Будем менять n при значении 
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
10
|
92
|
0,0001
|
0,009117493
|
0,01
|
15
|
239
|
1,97531E-05
|
0,005883609
|
0,004444444
|
20
|
470
|
0,00000625
|
0,004282809
|
0,0025
|
25
|
786
|
0,00000256
|
0,003367734
|
0,0016
|
30
|
1193
|
1,23E-06
|
0,002771514
|
0,001111111
|
Будем менять n при значении  
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
10
|
134
|
0,00001
|
0,007646425
|
0,01
|
15
|
353
|
1,31687E-06
|
0,005121005
|
0,004444444
|
20
|
692
|
3,125E-07
|
0,003853261
|
0,0025
|
25
|
1159
|
1,02E-07
|
0,003087237
|
0,0016
|
30
|
1761
|
4,11523E-08
|
0,002574763
|
0,001111111
|
Вывод: При достаточно больших n и eps= и точность достигается. (Если точность достигается при eps= то при тем более точность достигается при тех же n)
Эксперимент 4.
Рассмотрим, как зависит метод от начального приближения.
Пусть начальный вектор  =(0,0, …,0) и eps= . Тогда:
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
10
|
91
|
0,0001
|
0,009166465
|
0,01
|
15
|
239
|
1,98E-05
|
0,00586313
|
0,004444444
|
20
|
469
|
0,00000625
|
0,004277529
|
0,0025
|
25
|
783
|
0,00000256
|
0,00336791
|
0,0016
|
30
|
1192
|
1,23E-06
|
0,002767627
|
0,001111111
|
Теперь возьмем вектор =(0.05 ,…, 0.05).
n
|
кол-во итераций
|
eps
|
погрешность
|
h*h
|
10
|
90
|
0,0001
|
0,009003361
|
0,01
|
15
|
238
|
1,97531E-05
|
0,005841149
|
0,004444444
|
20
|
468
|
0,00000625
|
0,004275496
|
0,0025
|
25
|
784
|
0,00000256
|
0,003364847
|
0,0016
|
30
|
1192
|
1,23E-06
|
0,002768912
|
0,001111111
|
По сравнению с предыдущими результатами, при =(0.05 ,…, 0.05) особых изменений не происходит. Количество итераций меняется от -1 до 1 при n от 10 до 30.
Теперь возьмем вектор = (0.1 ,…, 0.1).
N
|
итер
|
eps
|
погрешность
|
|
5
|
8
|
0.008
|
0.013
|
0.04
|
10
|
58
|
0.001
|
0,0026
|
0.01
|
15
|
119
|
0.00029
|
0.00029
|
0.0044
|
|
Скачать 151.49 Kb.