Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

• Название: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
• Дата: 22.11.2018
• Размер: 151.49 Kb.
• Имя файла: Chislennye_metody_reshenie_SLAU_Bagramov_Robert_09-405_Avtosokhr.docx
• Тип: Решение; #57324
• страница: 9 из 10

Экспериментальная часть для метода верхней релаксации.

Метод релаксации отличается от предыдущих методов собственно наличием релаксационного параметра. Этот параметр лежит на интервале (1;2) и считается оптимальным, когда затрачивается минимальное количество итераций.

Покажем, как изменяется количество итераций для n=15, eps=, =(0; 0;…0) и различных значениях �� и найдем оптимальный релаксационный параметр.

w	итерации
1,1	69
1,2	2
1,3	3
1,4	2
1,5	2
1,6	1
1,7	1
1,8	2
1,9	1

Видно, что количество итераций после ��=1.1 колеблется в пределах от 1 до 3. И поэтому сделать конкретный выбор по наиболее оптимальному весу не представляется возможным.
Эксперимент 1.

Рассмотрим наиболее оптимальные значения w для различных n. Зафиксируем порядок eps = . w будем менять в интервале (1;2).

n	w-опт	eps	погрешность	h*h	итер
5	1,9	0,00800000	0,0145	0,0400	1
10	1,9	0,00100000	0,0072	0,0100	1
15	1,9	0,00029630	0,0053	0,0044	1
20	1,9	0,00012500	0,0040	0,0025	2
25	1,9	0,00006400	0,0032	0,0016	3
30	1,900	0,00	0,0027	0,0011	5
90	1,90	0,00	0,0009	0,0001	34
100	1,90	0,00	0,0008	0,0001	42

Мы видим, что точность достигается при достаточно больших n.

Эксперимент 2.

Зафиксируем значение n=30 и будем менять порядок eps.

eps	w-опт	погрешность	h*h	итер
h	1,90	0,181040	0,001	1
h^2	1,90	0,006632	0,001	5
h^3	1,90	0,002677	0,001	5
h^4	1,90	0,002572	0,001	5
h^5	1,90	0,002568	0,001	5

Мы видим, что при h заданная точность не достигается. Следовательно, нужно брать eps<
Рассмотрим более подробно случай, когда eps=

n	w-опт	eps	погрешность	h*h	итер
10	1,9	0,1	0,015979148	0,01	1
11	1,9	0,090909091	0,025094316	0,00826446	1
12	1,9	0,083333333	0,039164898	0,00694444	1

Из таблицы видно, что точность не достигается уже для 12. Это связано с тем, что количество итераций при решении такой СЛУ данным методом недостаточно, чтобы достичь точность о(h). Поэтому мы можем сделать вывод, что использовать для данной СЛУ в условии остановки метода eps=нецелесообразно.
Эксперимент 3.

Проведем эксперимент с разными начальными векторами . Зафиксируем eps=.

=(0,0, …,0)

n	w-опт	eps	погрешность	h*h	итер
5	1,9	0,00800000	0,0145	0,0400	1
10	1,9	0,00100000	0,0072	0,0100	1
15	1,9	0,00029630	0,0053	0,0044	1
20	1,9	0,00012500	0,0040	0,0025	2

= (0.1 ,…, 0.1)

n	w-опт	eps	погрешность	h*h	итер
5	1,9	0,2	0,014746422	0,04	1
10	1,9	0,1	0,008571966	0,01	1
15	1,9	0,066666667	0,037949752	0,00444444	1
20	1,9	0,05	0,066313882	0,0025	1

=(b[1]/A[1][1], …, b[n]/A[n][n])

n	w-опт	eps	погрешность	h*h	итер
5	1,9	0,2	0,01493502	0,04	1
10	1,9	0,1	0,014417567	0,01	1
15	1,9	0,066666667	0,077498992	0,00444444	1
20	1,9	0,05	0,12741712	0,0025	1

Вывод: Из таблиц мы видим, что начальное приближение влияет на погрешность. В данном случае в качестве начального приближения целесообразнее брать =(0,0, …,0), так как в других случаях погрешность выше.