Методические рекомендации. Методические рекомендации к выполнению лабораторной работы Численное решение уравнений

• Название: Методические рекомендации к выполнению лабораторной работы Численное решение уравнений
• Анкор: Методические рекомендации
• Дата: 06.05.2022
• Размер: 67.83 Kb.
• Имя файла: Методические рекомендации.docx
• Тип: Методические рекомендации; #515472
• страница: 5 из 5

Метод хорд

Проверкавыполненияусловийсходимости.Для сходимости метода необходимо ^{знакопостоянство} f^(x) ^{на отрезке [a;b].}

Выбор начального приближения. Видрекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a;b] , для которого знак функции f(x)совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд:

x  x 

f(x_n )


_{(x  x ),} где x - неподвижная точка.


n1 n n

f(x) f(x_n )

^{Выше было показано, что для функцииf(x)=1–3x+cosx} f ^(x) <sup><0 на отрезке

[0;1]неподвижной точкой является точка x=b=1, так как</sup> f^(x)  ^f(1)>0.

Таким образом, полагая x₀=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

^xn 1 ^{ x}n

• 
  f(x_n )
  

f(1)  f(x_n )

(1 x_n ).

Условиеокончанияпроцессауточнениякорня.Оценку погрешности можно проводить по любой из формул в лекции.

2. «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

^xk 1 ^{ x}k

• 
  f(x_k )
  

f(1)  f(x_k )

(1 x_k ).

Результаты вычислений удобно представить в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)
0	0	2
1	0.5781	0.1032549
2	0.6059	4.080772 •10-3
3	0.6070	1.590771•10-4

3. 
   Погрешность численного решения нелинейных уравнений погрешность результата после трех итераций
   

x * x₃

 ^{3.841 3}  0.0011  3.08 10^4, 3

x * x₃

 0.53 10^4 .

4. Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Построить базовую схему алгоритма метода половинного деления и написать программу самостоятельно, провести контрольное тестирование.

5. Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

E	n	x	f(x)
0.01	2	0.6060	4.08077Е-03
0.001	3	0.60706	1.590771Е-04
0.0001	3	0.607057	1.590771Е-04

6. Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода хорд по данным таблицы построим зависимость n(E)

ε	0.01	0.001	0.0001
n	2	3	3

Контрольные вопросы по теме «Методы решения нелинейных уравнений»

1. 
   Что представляет собой нелинейное уравнение?
   
2. 
   Что является корнем нелинейного уравнения f(x)=0?
   
3. 
   Чему равна функция в точке корня?
   
4. 
   Как называется процесс нахождения возможно более узкого отрезка, содержащего только один корень уравнения?
   
5. 
   Каково условие существования на отрезке [a;b] хотя бы одного корня?
   
6. 
   При каких условиях корень xбудет единственным на отрезке [a;b]?
   
7. 
   Процесс решения нелинейного уравнения состоит из ... этапов.
   
8. 
   Как называются этапы решения нелинейного уравнения?
   
9. 
   В чем заключается этап «отделения корней» нелинейного уравнения?
   
10. 
    Что такое начальное приближение к корню?
    
11. 
    Что определяется на этапе уточнения корней?
    
12. 
    При каких условиях метод решения нелинейного уравнения сходится?
    
13. 
    Какие методы не относятся к методам отделения корня?
    
14. 
    Какие методы не относятся к методам уточнения корня?
    
15. 
    Какие методы используются на этапе отделения корней?
    
16. 
    Что необходимо, чтобы выбрать x₀ в качестве начального приближения в методе Ньютона?
    
17. 
    Что является необходимым условием существования корня на отрезке [a;b]?
    
18. 
    Какой метод решения нелинейного уравнения требует более близкого к корню начального значения?
    
19. 
    Что представляет собой метод решения нелинейного уравнения, в результате которого получается последовательность вложенных отрезков?
    
20. 
    Можно ли уточнить корень уравнения графическим методом?
    
21. 
    Что является первым приближением к корню, отделенному на отрезке [a;b], для решения нелинейного уравнения методом половинного деления?
    
22. 
    На каком этапе применяется метод хорд?
    
23. 
    При каких условиях метод половинного деления всегда находит корень уравнения f(x)=0?
    
24. 
    Что означает термин - «метод расходится»?
    
25. 
    Какой метод решения нелинейного уравнения обладает квадратичной сходимостью?
    
26. 
    Каково правило выбора итерирующей функции при использовании метода итераций?
    
27. 
    Что принимается за начальное приближение в методе итерации?
    
28. 
    Каково правило выбора неподвижной точки при использовании метода хорд?
    
29. 
    Какое значение выбирается в качестве начального приближения в методе хорд?
    
30. 
    Какой метод не предназначается для решения нелинейных уравнений?
    
31. 
    Как называется термин, который относится к методам решения нелинейных уравнений?
    
32. 
    Почему необходим этап отделения корней?
    
33. 
    При каких условиях метод хорд позволяет вычислить отделенный корень с заданной погрешностью?
    
34. 
    В каких случаях за неподвижный конец отрезка [a;b]в методе хорд выбирают конец отрезка?
    
35. 
    Для каких функций не рекомендуется применять метод Ньютона?
    
36. 
    Что можно сказать о методе итерации, если на заданном отрезке имеются два корня?
    
37. 
    Как могут осуществляться итерации приближения к корню в процессе решения уравнения методом простой итерации?
    
38. 
    Какой метод решения нелинейного уравнения обладает свойством «самокоррекции»?
    
39. 
    Что относится к способам улучшения сходимости метода простой итерации?