Методические указания и контрольные задания по выполнению контрольной работы для заочного отделения по учебной дисциплине

• Название: Методические указания и контрольные задания по выполнению контрольной работы для заочного отделения по учебной дисциплине
• Дата: 01.05.2023
• Размер: 1.87 Mb.
• Имя файла: Metod_kontr_rab_po_matem_zaochn_T.doc
• Тип: Методические указания; #1100042
• страница: 6 из 7

Задание 6
Найдите общее решение однородных дифференциальных уравнений.

2-го порядка.

.1	a) ; б) ; в) .	.16.	a) ; б) ; в) .
.2.	a) ; б) ; в) .	.17.	a) ; б) ; в) .
.3.	a) ; б) ; в) .	.18.	a) ; б) ; в) .
.4.	a) ; б) ; в) .	.19.	a) ; б) ; в) .
.5.	a) ; б) ; в) .	.20.	a) ; б) ; в) .
.6.	a) ; б) ; в) .	.21.	a) ; б) ; в) .
.7.	a) ; б) ; в) .	.22.	) ; b) ; c) .
.8.	a) ; б) ; в) .	.23	a) ; б) ; в) .
.9.	a) ; б) ; в) .	.24.	a) ; б) ; в) .
.10.	a) ; б) ; в) .	.25.	a) ; б) ; в) .
.11.	a) ; б) ; в) .	.26.	a) ; б) ; в) .
.12.	a) ; b) ; c) .	.27.	a) ; b) ; c) .
13.	a) ; b) ; c) .	.28.	a) ; b) y″−12y′−36y=0; c) .
.14.	a) ; b) ; c) .	.29.	a) ; b) ; c) .
.15.	a) ; b) ; c) .	.30.	a) ; b) ; c) .

. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка: а) ; б) ; в) .

Решение.

►а)

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, .

б)

Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, ;

в)

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно,

.◄

Ряды.

Теоретический материал
1. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. , где

2. Необходимый признаксходимости числового ряда: если ряд , сходится, то .

3. Эталонные числовые ряды

Вид и название числового ряда	Условия сх-ти и расх-ти ряда	Примеры
1. - гармонический ряд	Расходящийся ряд	-
2. - обобщённо-гармонический ряд		, ,
3. - ряд геометрической прогрессии		, ,

4. Признак Даламбера


Задание 7
. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера.

.1.		.16.
.2.		.17.
.3.		.18.
4.		.19.
.5.		.20.
.6.		.21.
.7.		22.
.8.		.23.
.9.		.24.
.10.		.25.
.11.		.26.
.12.		.27.
.13.		.28.
.14.		.29.
.15.		.30.

Задача. Исследовать ряды на сходимость по признаку Даламбера: а) ; б) .

Решение.

► а) Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для  -го и  -го членов ряда:, , .

, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

б) , .

, следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.◄

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Мы знаем, что наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например числом, имеющим смысл «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина X, закон распределения которой имеет вид

Значения хi	x1	x2	…	xn
Вероятности рi	p1	p2	…	pn

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины X называется число



Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины X равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.


Свойства математического ожидания:

1. 
   Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: .
   
2. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .
   
3. 
   Математическое ожидание суммы двух случайных величин, являющихся функцией одного случайного события A, равно сумме математических ожиданий этих случайных величин: .
   
4. 
   Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .
   

Пример1: Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
ее распределения:

Значения хi	1	2	3	4	5	6
Вероятности рi

Тогда математическое ожидание есть

М(Х) = 
Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание. Поэтому необходимо ввести еще одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной X, около ее математического ожидания.

Рассмотрим разность Х — M, гдеM(X)— математическое ожидание величины X.

Случайную величину Х — Mназывают отклонением величины Xот ее математического ожидания.

Дисперсией случайной величины X называется число



Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Следует отметить, что для вычисления дисперсии часто используют следующее свойство: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, то есть



Свойства дисперсии:

1. 
   Дисперсия постоянной величины равна нулю: .
   
2. 
   Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: .
   
3. 
   Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: .
   
4. 
   Дисперсия суммы случайной величины и постоянной равна дисперсии случайной величины: .
   

Пример 2.Дискретная величина задана следующим законом распределения:

48 53 57 61

0,2 0,4 0,3 0,1

Требуется вычислить дисперсию случайной величины X.

Решение: Чтобы вычислить дисперсию по формуле , составим закон распределения случайной величины Х 2:

² (48)² (53)² (57)² (61)²

0,2 0,4 0,3 0,1

Теперь найдем математическое ожидание .



.
М(Х)=48 0.2+53 0.4+57 0.3+61 0.1=54

.

Задание 8
Найдите математическое ожидание, дисперсию величины х.

.


1

х	3	4	5	6	7
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

2

х	0	1	2
р	0,3	0,5	0,2

3

х	10	15	20
р	0,1	0,7	0,2

4

х	2	4	5	6
р	0,3	0,1	0,4	0,2

5

х	4	5	10
р	0,2	0,3	0,5

6

х	1	2	6	8
р	0.2	0,1	0,4	0,3

7

х	13	14	16	18
р	0.05	0.1	0.25	0,6

8

х	10	20	30	40	50
р	0,2	0.3	0.35	0.1	0.05

9

х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

10

х	-2	-1	0	1	2
р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

11

х	2	4	8	10
р	0.4	0.2	0.1	0.3

12

х	10	20	30	40	50	60
р	0.24	0.36	0.20	0.15	0.03	0.02

13

х	20	30	40	50	60
р	0.03	0.02	0.2	0.45	0.3

14

х	5	8	10	12	15
р	0.02	0.03	0.65	0.2	0.1

15

х	30	50	70	80
р	0.1	0.2	0.3	0.4

16

х	60	70	80	90
р	0.02	0.03	0.65	0.3

17

х	10	20	30	40	50
р	0.01	0.02	0.17	0.2	0.6