Квантовая физика гуап 2021. КвантоваяФизика2021. Методические указания по их выполнению. Указания ко всем лабораторным работам переработаны и до полнены
 Скачать 4.11 Mb.
|
|
Контрольные вопросы. В чем заключается эффект Холла. Чем объясняется эффект Холла. Чему равна и как направлена сила Лоренца? 4. Для каких целей практически используется эффект Холла. Выведите формулу для Холловской разности потенциалов. Как расположены эквипотенциальные поверхности при прохождении постоянного тока через образец а) в отсутствие магнитного поля в) при включенном магнитном поле. Что такое подвижность носителей тока Какова её размерность. Что такое постоянная Холла Чему равна её размерность. Как связана подвижность носителей тока с постоянного Холла С удельной электропроводимостью? Лабораторная работа № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Цель работы определение ширины запрещенной зоны германия на основании измерений температурной зависимости электро- проводности. Методические указания Рассмотрим N одинаковых атомов, удаленных друг от друга настолько, что взаимодействием между ними можно пренебречь. Электроны в каждом из этих атомов расположены на определенных энергетических уровнях, одинаковых во всех атомах. Начнем сближать атомы до тех пор, пока они не образуют кристаллическую решетку. Этот процесс эквивалентен непосредственному образованию кристалла при конденсации пара, минуя жидкое состояние. По мере сближения атомов между ними появляется взаимодействие тем большее, чем меньше расстояние между атомами. Это взаимодействие сильнее всего скажется на внешних, валентных электронах атома, возмущая их движение, в то время как возмущение внутренних электронов будет сравнительно слабым. Уровни энергии внешних электронов по мере сближения атомов будут смещаться и расширяться (рис. 1). При достаточно малом расстоянии между атомами возмущение внешних электронов будет столь велико, что они потеряют связь с определенными ядрами ив металлах, например, получат возможность двигаться по всему кристаллу. Из квантовой механики известно, что если число атомов, образовавших кристалл, равно N, то каждый из энергетических уровней электрона расщепится на N близко расположенных подуровней. При большом числе атомов расстояние между подуровнями столь мало, что они образуют одну квазинепрерывную зону. Чем глубже расположен энергетический уровень электрона в атоме, тем меньше для него расщепление, и для внутренних электронов это рас- Ýíåðãèÿ Рис. 1 50 щепление практически равно нулю. Системы расщепленных уровней образуют в кристалле разрешенные энергетические зоны, разделенные запрещенными зонами (рис. 2). Ширина зоны определяется величиной связи между атомами и не зависит от числа атомов в кристалле, количество же уровней в зоне равно числу атомов в кристалле. Проводимость кристаллов определяется распределением электронов по уровням. В изоляторах электроны доверху заполняют последнюю из занятых зон (валентную зону. Следующая – разрешенная зона (зона проводимости) не содержит электронов. Ширина запрещенной зоны, разделяющей валентную зону и зону проводимости, велика, так что электроны в обычных условиях не могут ее преодолеть и стать электронами проводимости, электрический ток возникнуть не может. В металлах электроны лишь частично заполняют последнюю из занимаемых зон, ив ней имеются свободные состояния. В присутствии поля электроны могут занимать эти состояния, и кристалл проводит ток. К полупроводникам относятся вещества, которые при низких температурах являются изоляторами. Они отличаются от обычных изоляторов небольшой шириной запрещенной зоны. Уже при комнатной температуре тепловое движение перебрасывает часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. При этом электропроводность возникает как в зоне проводимости, таки в валентной зоне. В зоне проводимости она определяется присутствующими там электронами (электронная проводимость. В валентной зоне проводимость становится возможной из-за появления свободных состояний, часть из которых может быть занята электронами зоны (дырочная проводимость). Величина проводимости в полупроводниках определяется числом электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Эти числа в чистых полупроводниках равны друг другу. Число электронов, находящихся в зоне проводимости, равно произведению числа имеющихся уровней N на вероятность их за çîíà r r 0 Ðàçðåøåííûå Рис. 2 51 полнения f(E). Вероятность заполнения уровней определяется функцией Ферми – Дирака, которая в случае невысоких температур мало отличается от экспоненты 1 ( ) exp( ), exp ( ) / F F E f E E kT kT − ε = ≈ − − т. кВ формуле (1) E – энергия уровняв зоне проводимости постоянная Больцмана, ε F – некоторая константа, называемая энергией Ферми. В собственных полупроводниках энергия Ферми лежит вблизи середины запрещенной зоны (рис. При обычных температурах заняты главным образом уровни, находящиеся у дна зоны проводимости, так что в качестве энергии E можно подставить энергию E C , соответствующую дну зоны проводимости. При этом вместо полного числа уровней в зоне нужно принимать некоторое эффективное число уровней N эфф , находящихся вблизи дна зоны. Таким образом, число электронов в зоне проводимости: n э = N эфф.э exp[(E C – ε F )/kT]. Строго говоря, число N эфф.э выбирается так, чтобы равенство (2) давало правильное число электронов при подстановке энергии дна зоны E C вместо Е. Вероятность появления дырки в валентной зоне определяется разностью (1-f(E)). Поэтому число дырок равно: эфф.д эфф.д 1 1 1 ( ) exp , exp[( ) д ε = − ≈ − ε + (где E v – энергия, соответствующая верху валентной зоны. При преобразованиях формулы (3) было принято во внимание, что энергия E v меньше ε F и дробь (E v – ε F )/kT является большим отрицательным числом (âàëåíòíàÿ) çîíà Çîíà ïðîâîäèìîñòè E c E v E Çàïðåùåííàÿ çîíà ∆ε Óðîâåíü Рис. 3 Перемножим формулы (2) и (3) и примем во внимание, что число электронов равно числу дырок: n э n д = N эфф.э ·N эфф.д ·exp[–(E C –E v )/kT)]. Разность E C –E V равна ширине запрещенной зоны Обозначая произведение N эфф.э ·N эфф.д = и извлекая квадратный корень из (4), получим = C exp(–ΔE/2kT). Найдем теперь проводимость полупроводника. При наличии электрического поля большая часть электронов в зоне проводимости начинает двигаться в сторону, противоположную полю. Средняя скорость электронов отлична от нуля и направлена вдоль поля. При этом вплоть до самых сильных полей (практически до пробоя) выполняется формула: v ср = э, где v ср – среднее значение скорости электронов Е – напряженность электрического поля э – подвижность электронов. Из закона Ома в дифференциальной форме j = σE, где плотность тока j = v ср ne ; n концентрация носителей тока и из формулы (7) следует, что проводимость полупроводника э э д д | ( ). j e n n E σ = = μ + Подставляя в (8) значение э = д из (6), получим: э д 2 | | ( )exp( / ) exp( / ), e c E kT A E kT σ = μ + где предэкспоненциальный множитель заменен константой А. Точные расчеты показывают, что величина А слабо зависит от температуры. Однако этой зависимостью можно пренебречь по сравнению с быстро изменяющейся экспонентой. Температурная зависимость проводимости собственного полупроводника, представленная выражением (9), лежит в основе одного из самых распространенных методов определения ширины запрещенной зоны полупроводниковых материалов. Если уравнение (9) прологарифмировать и построить график в координатах lnσ от 1/T 2 ln ln , E A kT Δ σ = − (10) то ширина запрещенной зоны –ΔE может быть определена из наклона этой линейной зависимости (рис. 4). Действительно, тангенс угла наклона этой прямой равен tg 1 2 ln d E k d T σ Δ α = = (Используя соотношение (10) для двух температур, также можно найти ΔE: 2 1 ln E k T Δ σ Δ = ⋅ Δ Приведенные соображения верны лишь для случая, когда основной вклад в проводимость вносит собственная проводимость полупроводника, те. переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости. При небольших температурах это обычно не имеет места, так как полупроводники всегда содержат примеси. Примесная проводимость полупроводников происходит из-за внедрения в кристалл донорных и акцепторных атомов. Для типичных полупроводников кремния и германия – элементов IV группы таблицы Менделеева, донорами являются атомы V группы. Элементы V группы содержат в наружной оболочке лишний по сравнению с германием и кремнием электрон. У атома, вошедшего в состав кристаллической решетки полупроводника, связь этого электрона с атомом ослабляется. Внутри запрещенной зоны у самого дна зоны проводимости (рис. 5) вследствие этого появляется небольшое количество дополнительных уровней (их число равно числу атомов примеси. Уже при комнатной температуре эти уровни оказываются практически незанятыми электроны уходят с них в зону проводимости. Акцепторами для германия и кремния служат обычно элементы III группы таблицы Менделеева. Создаваемые ими локальные уровни также располагаются в запрещенной зоне, но вблизи верхнего α k E tg 2 ∆ = ln , 1 T Рис. 4 края валентной зоны. Эти уровни заполняются электронами из валентной зоны, а в валентной зоне появляются дырки. В зависимости от степени чистоты полупроводника примесная проводимость может вносить больший или меньший вклад. Она искажает температурный ход собственной проводимости. Чтобы правильно определить ширину запрещенной зоны, нужно проделать измерения в широком интервале температур и выбрать участок, где зависимость lnσ от 1/T имеет линейный характер. Описание лабораторной установки Схема установки показана на рис. 6. Исследуемый полупроводниковый (германиевый) образец в специальном зажиме помещается в электронагревательную печь П. Через образец пропускается постоянный электрический ток I, контролируемый миллиамперметром А. Необходимая величина тока устанавливается с помощью реостата R . При помощи зондовых электродов и 2 со средней части образца снимается падение напряжения U x , которое измеряется цифровым вольтметром В. Зная площадь поперечного сечения образца S и расстояние между зондами l, можно вычислять удельную проводимость исследуемого полупроводника по формуле l U S ⋅ σ = (13) Âàëåíòíàÿ çîíà Çàïðåùåííàÿ çîíà E v E c E Äîíîðíûå óðîâíè Àêöåïòîðíûå óðîâíè Çîíà Рис. 5 Îáðàçåö A R ÏÅ×Ü 1 V 2 Термометр ÏÅ×Ü Рис. 6 Нагрев образца в электропечи регулируется реостатом, расположенным на основании печи. Температура в печи измеряется термометром. Цена деления термометра составляет 2°С. Порядок выполнения работы. Образец находится в электропечи. Включите в сеть источник постоянного тока (типа АГАТ) и установите с помощью регулятора блока питания ток вцепи равный мА. Сила тока измеряется миллиамперметром. С помощью цифрового вольтметра измерьте падение напряжения между зондами при комнатной температуре. Включите электронагревательную печь в сеть переменного тока и измерьте падение напряжения между зондами через каждые 10° вплоть до температуры С. Величина силы тока контролируется миллиамперметром. Постройте график зависимости σ(T). 6. Постройте графики по наклону его прямолинейной части (при высоких температурах) определите ширину запрещенной зоны по формуле (12). Результат приведите в электрон– вольтах. 7. Рассчитайте погрешность полученного результата. Сравните результат с табличным значением. Контрольные вопросы. Как объясняет зонная теория деление твердых тел наметал- лы, полупроводники и диэлектрики. Что такое валентная зона Зона проводимости Запрещенная зона Как они образуются. Сформулируйте принцип Паули. Запишите формулу статистического распределения Ферми- Дирака. Как из неё можно получить зависимость сопротивления полупроводника от температуры. Объясните механизм собственной проводимости в полупроводниках. Как зависит сопротивление полупроводника от температуры и почему. Объясните механизм примесной проводимости в полупроводниках. Как образуются донорные полупроводники Акцепторные полупроводники 56 8. Нарисуйте схему энергетических зон для примесных полупроводников типа и р-типа. Где расположен примесный уровень утехи у других. Что такое уровень Ферми Энергия Ферми Как изменяется положение уровня Ферми с изменением температуры. Что такое энергия активации. Объясните методику определения ширины запрещенной зоны (энергии активации) полупроводника Лабораторная работа № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ АТОМОВ Цель работы Определение потенциалов возбуждения атомов и демонстрация существования дискретных уровней энергии. Методические указания 1.Согласно теории Бора, атому присущ ряд стационарных состояний, каждому из которых соответствует определенная энергия E n (n = 1, 2, 3,..). Находясь в стационарном состоянии, атом не излучает. Уровни энергии E 1 , E 2 , E 3 ,… образуют энергетический спектр. Энергия атома может изменяться лишь скачком, прерывисто. Наиболее устойчивым является состояние с минимально возможным уровнем энергии. Это состояние называется основным. Остальные стационарные состояния называются возбужденными. В результате соударения с заряженной частицей или при поглощении фотона атом может перейти из одного стационарного состояния в другое, с более высоким уровнем энергии. Наглядно дискретность уровней энергии проявляется при ионизации и возбуждении атомов за счет электронного удара. В этом случае атомы газа испытывают соударения с электронами, разгоняемыми с помощью электрического поля. Первые опыты были проведены Франком и Герцем в 1913 году. Пучок электронов проходил через пары ртути. Столкновения электронов с атомами могут быть двух типов. Первый тип – упругие соударения, в результате которых энергия и скорость электронов не меняется, меняется лишь направление векторов их скоростей. Второй тип столкновений – неупругие соударения, при которых электроны теряют свою энергию и передают ее атомам ртути. Дискретность уровней энергии атома обнаруживается в том, что электрон не может испытать неупругое столкновение, за исключением отдельных случаев (особых значений кинетической энергии. Атом способен принимать энергию лишь порциями 2 1 2 3 и т.д. – , – , Кинетическая энергия электрона без труда определяется и контролируется в опыте, поскольку задается ускоряющее напряжение U 2 эл 2 , m A eU υ = = где m – масса электрона, v – егоскорость, A эл – работа электрического поля, e заряд электрона. Таким образом, величины скачков энергии становятся доступными измерению. Эти величины (выраженные в электрон- вольтах) называются энергиями возбуждения. В соответствии с этим, первый потенциал возбуждения определяется формулой = eU = ej 1 (2) 2. Рассмотрим принципиальную схему опыта (рис. 1). Установка включает в себя катод К испускающий электроны при накаливании, сетчатый электрод Си анод А, помещенные в стеклянный сосуд. Сосуд содержит инертный газ или иное газообразное вещество. Между катодом и сеткой приложена разность потенциалов U уск , ускоряющая электроны. Между сеткой и анодом приложена небольшая задерживающая разность потенциалов U зд . В опыте с парами ртути использовалось U зд = 0,5 В. Таким образом, промежуток между сеткой и анодом оказывается непроходимым для тех электронов, которые, подлетая к сетке, не имеют достаточного запаса энергии. Исследованию подлежит зависимость анодного тока I от ускоряющего напряжения U уск (вольтамперная характеристика, рис. 2). На начальном участке с ростом U уск возрастает и ток I. Это означает, что все большее количество электронов оказывается в состоянии долететь до анода. Затем наблюдается максимум тока и резкое последующее падение. В отсутствие побочных эффектов (в идеальном опыте) первый резкий спад тока наблюдается для ртути при значении U 1 ≈4,9 В. Это значение совпадает с потенциалом возбуждения атома ртути j 1 . Наблюдаемый эффект объясняется следующим образом. До тех Рис. 1 пор, пока электроны, ускоряемые полем, не приобретут энергию ej 1 ≈4,9 эВ, они испытывают лишь упругие столкновения, и анодный ток возрастает. Как только кинетическая энергия электрона достигает 4,9 эВ, начинают происходить неупругие столкновения. Электрон с таким значением энергии имеет возможность отдать энергию атому ртути, в результате чего происходит переход атома из основного энергетического состояния на возбужденный уровень. В свою очередь электрон, испытавший подобное столкновение, теряет энергию и не может преодолеть задерживающего электрического поля. То есть электрон не достигает анода, наблюдается падение анодного тока. При дальнейшем увеличении ускоряющего напряжения U уск ток начинает возрастать вновь. Затем он опять достигает максимума и снова резко падает. Это новое падение тока наблюдаются при значении U 2 = 2U 1 ≈ 4,9·2 = 9,8 В, а затем U 3 = 3U 1 ≈ 4,9·3 = 14,7 В. Электроны с энергией eU 2 имеют возможность почти полностью растерять энергию на пути к сетке. Это произойдет с теми из них, которые дважды испытают столкновения с атомами. Уточнение. В реальном опыте вольт – амперная характеристика оказывается смещенной влево по сравнению с идеальной кривой. В случае ртути U 1 ≈ 4,1 В. Дело в том, что в ускоряющих трубках с горячим катодом катод и анод выполнены из различных металлов, и поэтому между ними существует некоторая контактная разность потенциалов. Эта разность ускоряет электроны даже при отсутствии приложенного внешнего напряжения. Ясно, что сдвиг кривой не изменяет расстояния U 2 –U 1 между точками спада тока. Рис. 2 Следовательно, мы можем корректно найти потенциал возбуждения на основе формулы j 1 = Описание лабораторной установки Установка для определения потенциалов возбуждения атомов позволяет изучать характеристики газа, наполняющего трехэлектродную лампу. Устройство лампы показано на рис. Нить накала К одновременно является катодом лампы. Сетка С выполнена в виде спирали, навитой вокруг нити накала. Вокруг сетки расположен цилиндрический анод А. Электроды находятся в стеклянном баллоне Б, заполненном газом. Схема включения лампы приведена на рис. 4. Регулируемый источник тока накала 1 позволяет установить ток, при котором получается удобная для измерений вольтам- перная характеристика лампы. Между катодом и сеткой включен источник 2 ускоряющего напряжения U уск . Установка дает возможность снятия вольтамперной характеристики (ВАХ) вручную и с помощью осциллографа. При снятии характеристик вручную (по точкам) напряжение источника U уск регулируется ручками на лицевой панели. Для получения характеристик на экране осциллографа этот источник переводится в режим, при котором его напряжение изменяется по пилообразному закону (развертка) с частотой 15–20 Гц. Потенциал анода относительно сетки U зд устанавливается отрицательным с помощью источника задерживающего напряжения 3 . Значение этого напряжения регулируется ручкой со шкалой на панели установки. Ê Ñ À Á Рис. 3 U çä I A R A U óñê 2 Рис. 4 Для измерения анодного тока измеряют падение напряжения на резисторе Отметим, что измеряемые величины, как правило, определяются приборами не непосредственно, а после их обработки электронной схемой. Однако наиболее важное для конечного результата ускоряющее напряжение U уск выводится напрямую. Вид передней панели приведен на рис. 5. В установке размещены две лампы, наполненные различными газами. Выбор лампы производится тумблером «Л1/Л2» на передней панели блока. Исследуемые лампы видны в окне Стрелочный измерительный прибор З измеряет анодный ток А, предел шкалы прибора – 100 мкА. Ручка 4 устанавливает значение задерживающего напряжения U зд в соответствии со шкалой, расположенной вокруг ручки. Его можно измерить мультиметром, подключенным к гнездами Ускоряющее напряжение U уск регулируется ручками 5 ивы- ведено на гнездо 13 и измеряется мультиметром между гнёздами 13 и 11. Под мультиметром находятся предохранители Ток накала регулируется ручкой 7 и контролируется измерением напряжения на резисторе н = 1,00 Ом между гнездами ни U уск Значение измеренного напряжения в вольтах равно значению тока в амперах. Тумблер « = Л управляет режимом измерений. В положении « = » производится снятие характеристики по точкам, с помощью мультиметра. В положении Л измерение производится с помощью осциллографа. С гнёзд «X» и «Y» установки сигналы подаются на соответствующие входы осциллографа. На гнездо 10 (Y) выведено напряжение, пропорциональное анодному току А. Максимальное напряжение 10 В соответствует току 100 мкА. На гнездо 12(X) выведено напряжение, пропорциональное напряжению U уск . Максимальному напряжению 10 В соответствует ускоряющее напряжение В. Рекомендуемые коэффициенты отклонения по обеим осям осциллографа – 1 В/деление. |