Радиоизмерения. Метрология и радиоизмерения
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
Интегральный закон распределения, или интегральная функция распределения случайной величины F(х), характеризует вероятность собы- тия того, что конкретная реализация случайной величины Х будет прини- мать значения, меньшие некоторой текущей величины х: F(x) = P[X < x]. (2.6) Интегральный закон распределения – это неубывающая функция, ко- торая при значении х = – ∞ равна нулю, а при х = + ∞ равна единице (т. е. F(– ∞) = 0, F (+ ∞) = 1). Интегральная функция распределения – самая универсальная харак- теристика случайной величины. Она существует для всех случайных вели- чин, как дискретных, так и непрерывных, и полностью представляет слу- чайную величину с вероятностной точки зрения. Для непрерывной случайной величины с непрерывной и дифферен- цируемой функцией распределения можно найти дифференциальный за- кон распределения f (x): F (x) = F′(x). (2.7) Эта функция называется также плотностью распределения вероятно- сти непрерывной случайной величины. Функция f (x) неотрицательна и подчиняется условию ( ) f x dx = 1. (2.8) 2.2.1.1. Нормальный закон распределения Плотность вероятностей при нормальном законе распределения слу- чайной величины х описывается соотношением 0 0 0 2 2 2σ 1 ( ) σ 2π x x x f x e , (2.9) где σ 0 – среднее квадратическое отклонение (СКО); 0 x – математическое ожидание. Отметим, что объем выборки ограничен и вместо σ 0 и 0 x (σ 0 и 0 x со- ответствуют числу измерений n → ∞) на практике используются оценки СКО и среднего арифметического значения (соответственно σ и x ). Глава 2. Основы теории погрешностей 81 а б Рис. 2.6. Графики влияния параметров 0 x на вид функции f (x) График функции f (x) приведен на рис. 2.6. При изменении 0 x и посто- янстве СКО вся кривая распределения плотности вероятностей перемещается вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рис. 2.6, а, кривые 1, 2, 3). Параметр σ 0 характеризует форму кривой распределения плотности вероятностей и является количественным показателем степени рассеива- ния случайных величин около их математического ожидания. При умень- шении σ 0 и неизменности 0 x кривая распределения вытягивается вдоль оси ординат, а при увеличении – становится более плоской и растягивается вдоль оси абсцисс (рис. 2.6, б, кривые 1, 2, 3). Интегральная функция распределения F(x) (для нормального закона) описывается соотношением 0 2 0 2 0 2σ 1 ( ) , σ 2π x x x F x e dx (2.10) где х, σ 0 , 0 x – определены выше. Интеграл, стоящий в правой части уравнения, не может быть сведён к элементарным функциям в конечном виде, однако может быть выражен через функцию ЛапласаФ(Т), называемую также интегралом вероятности: 1 ( ) 1 , 2 F x t (2.11) где 2 2 0 2 ( ) , 2 2 t T T e dt (2.12) 0 0 , X x T (2.13) 0 10 20 0 0,05 0,10 0,15 0,20 f (x) -20 -10 x 1 2 3 0,05 0,10 0,15 0,20 f (x) -7 -3 1 5 9 13 0 x 3 2 1 Раздел 1. Теоретические основы метрологии 82 0 0 x x t (2.14) Интеграл вероятности Ф(Т) табулирован, и его численные значения приведены в табл. 2.1, а график функции Ф(T) – на рис. 2.7. Таблица 2.1 Интеграл вероятности 2 2 0 2 Ф 2 t T T e dt T Ф(Т) T Ф(Т) T Ф(Т) T Ф(Т) 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,0000 0,0399 0,0797 0,1192 0,1585 0,1974 0,2358 0,2737 0,3108 0,3473 0,3829 0,4177 0,4515 0,4843 0,5161 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 0,5467 0,5763 0,6047 0,6319 0,6579 0,6827 0,7063 0,7287 0,7499 0,7699 0,7887 0,8064 0,8230 0,8385 0,8529 1,5 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 0,8644 0,8789 0,8904 0,9011 0,9109 0,9199 0,9281 0,9357 0,9426 0,9488 0,9545 0,9596 0,9643 0,9684 0,9722 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,81 3,20 3,50 4,00 0,9756 0,9786 0,9812 0,9836 0,9857 0,9876 0,9907 0,9931 0,9949 0,9963 0,99730 0,99806 0,99863 0,99953 0,99994 Рис. 2.7. График интегральной функция Ф(Т) для нормального закона распределения Интеграл вероятности Ф(Т) – монотонная функция, обладающая сле- дующими свойствами: Ф (– Т) = – Ф(Т), (2.15) –4 –2 0 2 4 –1 –0,5 0 0,5 1 Ф(Т) Т Глава 2. Основы теории погрешностей 83 Ф (+ ∞) = 1, (2.16) Р (Т) = Ф (– Т < t < + Т). (2.17) Соотношение (2.17) означает, что с вероятностью Р(Т) случайная ве- личина t не выйдет за пределы интервала ±Т. В теории погрешностей ин- тервал от –Т до +Т обычно называют доверительным интервалом, а соот- ветствующую ему вероятность Р(Т) – доверительной вероятностью. В дальнейшем доверительную вероятность будем обозначать Р. 2.2.1.2. Равномерный закон распределения Интегральное выражение функции распределения ( ) x a F x b a (2.18) Дифференциальное выражение функции распределения (рис. 2.8) 1 ( ) , f x a x b b a (2.19) Рис. 2.8. Кривая равномерного распределения случайной величины Основные характеристики равномерного распределения: математическое ожидание: ( ) 2 a b M x ; (2.20) дисперсия: 2 ( ) ( ) 12 b a D x ; (2.21) f (x) x b a 0 1/(b – a) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 84 среднеквадратичное отклонение: σ ( ) D x ; (2.22) коэффициент вариации: 2( ) 3( ) x b a v a b (2.23) Равномерный закон распределения погрешности измерения встреча- ется, например, при измерении временного интервала цифровым методом. 2.2.1.3. Распределение Стьюдента Распределением Стьюдента (t-распределение) называется распреде- ление случайной величины t: 2 1 Z t x k , (2.24) где Z – случайная величина, распределённая по стандартному нормально- му закону; х 2 – независимая от Z случайная величина, имеющая распределение с k степенями свободы. Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет следующий вид (рис. 2.9): 1 2 2 1 Г 2 ( ) 1 , Г 2 k k x х k n k (2.25) где Г(у) – гамма-функция в точке у. Кривая распределения Стьюдента симметрична относительно оси ординат, но по сравнению с нормальной кривой более пологая. При k → ∞ t-распределение приближается к нормальному. Практи- чески уже при k > 30 можно считать t-распределение приближённо нор- мальным. Математическое ожидание случайной величины, имеющей t-распре- деление, в силу симметрии её кривой распределения, равно нулю: M (t) = 0. (2.26) Глава 2. Основы теории погрешностей 85 Рис. 2.9. Кривая распределения Стьюдента Дисперсия t-распределения: ( ) 2 k D t k (2.27) 2.2.2. Среднеквадратичная погрешность В метрологической практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных результатов в ряду измере- ний от их среднего арифметического значения. Это отклонение иногда на- зывают стандартной погрешностью измерений. Если в результаты измере- ний введены поправки для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического значения можно рассматривать как случайные погрешности. В Рекомендациях по межгосударственной стандартизации РМГ 29-99 предлагается для упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность изме- рения», применять термин «средняя квадратическая погрешность». При обработке ряда результатов измерений, свободных от систематических по- грешностей, средняя квадратическая погрешность и СКО представляют собой одну и ту же оценку рассеяния результатов единичных измерений. Границы погрешности могут быть определены как предельные зна- чения или как доверительные границы с указанием вероятности попадания погрешности в указанный интервал. В качестве предельных значений или границ могут рассматриваться нижняя и верхняя границы ( н и в либо – и +), значение модуля погрешности (в случае если |– | = |+ |) или значение модуля погрешности, равное бóльшему из абсолютных значений |– | и |+ |. 2 3 φ(x) 0 1 x –1 –2 –3 Нормальная кривая N (0,1) Кривая t-распределения Раздел 1. Теоретические основы метрологии 86 2.2.3. Среднеквадратические погрешности среднеарифметического значения результата измерения Термин средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность среднего арифметического; средняя квадратическая погрешность) введен вместо ра- нее применявшегося термина среднее квадратическое отклонение резуль- тата измерений. Значение этой оценки погрешности рассчитывается как СКО случайной погрешности среднего арифметического значения резуль- тата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений по формуле 2 1 1 N i i x x x s S n n n , (2.28) где S – средняя квадратическая погрешность результатов единичных из- мерений, полученная из ряда равноточных измерений; n – число единичных измерений в ряду. 2.2.4. Оценка, соответствующая центру рассеяния Числовые характеристики случайных величин, полученных по ре- зультатам выборочных наблюдений (т. е. оценки истинных значений вели- чин) подразделяются на три вида: характеристики положения; характеристики рассеяния; характеристики формы распределения. К характеристикам положения относятся: среднее арифметическое значение X ; медиана М X ; мода 0 X ; среднее геометрическое значение ( q X ); среднее гармоническое значение ( h X ). Все перечисленные числовые характеристики определяют координа- ту центра распределения упорядоченной совокупности. Следует отметить, что только в случае нормально распределенных результатов наблюдений выборочное среднее арифметическое, медиана и мода совпадают между собой и могут быть приняты за центр распреде- ления статистической совокупности физической величины, полученной при измерениях. Глава 2. Основы теории погрешностей 87 К характеристикам рассеяния значений переменной относятся: минимальное (X min ) и максимальное (X max ) значения; размах вариационного ряда ( R X ; R ); дисперсия (S 2 ); среднее квадратическое (стандартное) отклонение (S; 25%-ный (L Q) и 75%-ный (U Q) квантили и межквантильный размах (R Q − U Q − L Q); среднее квадратичное отклонение среднего значения (S x ); 95%-ный доверительный интервал истинного среднего значения. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т. е. такой точки X М на оси x, слева и справа от которой веро- ятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5. В этом случае для интегральной функции распределения ве- роятностей должно выполняться следующее условие: М М M ( ) ( ) X X F X P X dX P X dX = 0,5. (2.29) При этом точку X М называют медианой, или 50%-ной квантилью. Для ее нахождения у распределения случайной величины должен сущест- вовать только нулевой начальный момент. Нулевым моментом в матема- тической статистике называют некоторое среднее значение, отсчитываемое от начала координат. Нулевой начальный момент равен единице. Он ис- пользуется для задания условия нормирования плотности распределения и определяется по формуле М 0 ( ) X X P x dX = 1. (2.30) Первым начальным моментом, как известно, является математиче- ское ожидание случайной величины X М . В качестве оценки центра распре- деления может выбираться одна из следующих оценок (в зависимости от типа распределения): выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах. При выборе оценок центра распределения следует учитывать, что они имеют различную чувствительность к наличию промахов в обрабатываемой совокупности исходных данных. Определение выборочного среднего арифметического выполняют по формуле: 1 1 n i i X x n , (2.31) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 88 где x i – отдельные результаты наблюдений; n – общее количество результатов. Выборочное среднее арифметическое для упорядоченной совокупно- сти (вариационного ряда) вычисляется по формуле 1 1 1 k k i i i i i i X x m x p n , (2.32) где m – частота повтора отдельных результатов наблюдений; p i = m i / n – частость (статистическая вероятность) попадания i-го на- блюдения в определенный k-й интервал. Выборочное среднее арифметическое X является несмещённой оцен- кой любого закона распределения, кроме этого – состоятельной, эффектив- ной и достаточной (характеристика полноты использования всей содержа- щейся в выборке информации). Однако оценка в виде среднего арифметиче- ского слабо защищена от влияния промахов. Она ослабляется лишь в n раз, где n – число наблюдений, в то время как его возможный размер не ограничен. 2.2.5. Медианная оценка Медианой М Х называют наблюдаемое значение x i (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу варианте. Медиана М Х вычисляется по нижеприведённым формулам. Если n – чётное, то медиана рассчитывается по формуле М 2 2 1 1 2 n n Х x x (2.33) Если n – нечётное, то – по формуле М 2 ( 1) 1 2 n X x (2.34) Следует иметь в виду, что медиана М Х является наиболее эффектив- ной оценкой для симметричных экспоненциальных распределений, в кото- рых контрэксцесс принадлежит интервалу 0 < χ < 0,45. Для класса распре- делений, близких к нормальному, с 0,45 < χ < 0,67 эффективными оценка- ми являются средние арифметические Х , 0,05 0,1 Х Х , занимающие медианное положение. Для распределений, близких к равномерному и арксинусоидальному, с 0,67 < χ < 1 целесообразно использовать центр размаха R X . Для двухмо- дальных распределений с 0,67 < χ < 1 – центр срединного размаха С X . Глава 2. Основы теории погрешностей 89 Медиана М X является эффективной оценкой центра экспоненциаль- ных пологоспадающих одномодальных распределений Лапласа с эксцес- сом E > 3,8. 2.2.6. Эффективные оценки истинного значения измеряемой величины для различных законов распределения погрешности Задачей измерения является нахождение по полученным наблюдени- ям наилучшей оценки измеряемой величины – результата измерения и оценки точности этого результата, т. е. степени его близости к истинно- му значению величины – погрешности измерений. При этом считается, что закон распределения наблюдений и погрешностей известен. Под оценкой в данном случае понимается нахождение значений параметров этих рас- пределений случайных величин по ограниченному числу наблюдений. По- лученные оценки параметров распределений являются лишь приближе- ниями к истинным значениям этих параметров и используются в качестве результата измерений и его погрешности. Для того чтобы оценку, полу- чаемую по результатам многократных наблюдений, можно было использо- вать в качестве параметра функции распределения случайной величины, она должна отвечать ряду требований – быть состоятельной, несмещённой и эффективной. |